3.1.3用二分法求方程的近似解（一）教学目标1．知识与技能掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.2．过程与方法体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.3．情感、态度及价值观在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.（二）教学重点与难点重点：用二分法求方程的近似解；难点：二分法原理的理解（三）教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1问题：一元二次方程可用师：怎样求方程lnx+2x–6=0的根.判别式判定根的存在性，可引导：观察图形用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式.求根：如何求得方程的根呢？①函数f(x)=lnx+2x–6在区间(2，3)内有零点.由旧到新设②如果能够将零点所在的范生：方程的根在(2，3)区间内疑、析疑导围尽量缩小，那么在一定精师：能否用缩小区间的方法逼近方程入课题，实提出问题确度的要求下，我们可以得的根例分析了解引入课题到零点的近似值.生：应该可用二分法、进③通过“取中点”的方法逐师：我们现用一种常见的数学方法—一步师生合步缩小零点所在的范围.二分法，共同探究已知方程的根.作尝试二分④取区间(2，3)的中点2.5，师生合作，借助计算机探求方程根的法.用计算器算得f(2.5)≈近似值.–0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.区间中点的值中点函数近再取内间(2.5，3)的中点似值2.75，用计算器算得f(2.75)(2,3)2.5–0.084≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)(2.5,3)2.750.512＜0，所以零点在区间(2.5，(2.5,2.75)2.6250.2152.75)内.(2.5,2.625)2.56250.066,⑤由于(2，3)≠(2.5，3)(2.5,2.5625)2.53125–0.009(2.5，2.75)，所以零点所(2.53125,2.5625)2.5468750.029≠在的范围确实越来越小了.(2.53125,2.546875)2.53906250.010⑥例如，当精确度为0.01时，(2.53125,2.5390625)2.535156250.001由于|2.5390625–2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x–6零点的近似值，也即方程lnx+2x–6=0根的近似值.1．对于区间[a，b]上连续不师生合作回顾实例：断且f(a)·f(b)＜0的函数y=求方程lnx+2x–6=0的近似解(精f(x)，通过不断地把函数f(x)确度0.01)的操作过程.掌握二分法，的零点所在的区间一分为总结应用二分法的步骤二，使区间的两个端点逐步师：讲授二分法的定义.逼近零点，进而得到零点近生：总结应用二分法的步骤.似值的方法叫做二分法.学生交流总结，学生代表口述步骤，2．给定精确度，用二分法老师完善并板书.求函数f(x)零点近似值的步聚如下：（1）确定区间[a，b]，验证由特殊到一f(a)·f(b)＜0，给定精确度般形成概；形成概念念，归纳总（2）求区间(a，b)的中点c；结应用二分法的步骤.（3）计算f(c)；①若f(c)=0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b)).（4）判断是否达到精确度：即若|a–b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.师生合作应用二分法，遵循二分法的尝试体验二步骤求解，并借助函数图象检验.分法，培养例1借助计算器或计算机用例1解：原方程即2x+3x–7=0，令应用举例应用二分法二分法求方程2x+3x=7的f(x)=2x+3x–7，用计算器或计算机从而固化基近似解(精确度0.1).作出函数f(x)=2x+3x–7的对应值本理论技能表与图象,x01234f(x)=2x+3x–7–6–231021x5678f(x)=2x+3x–74075142273观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).再取(1，1.5)的中点x2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)由于|1.375–1.4375|=0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1．借助计算器或计算机，用1．解：由题设可知f(0)=–1.4＜0，二分法求函数f(x)=x3+f(1)=1.6＞0，1.1x2+0.9x–1.4在区间(0，于是f(0)·f(1)＜0，1)内的零点(精确度0.1).所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2进一步体验+0.9x–1.4在区间(0，1)内的零点二分法，巩取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算固应用二分巩固练习器可算得f(0.5)=–0.55.因为法的方法与f(0.5)·f(1)＜0，技巧及注意所以x0∈(0.5，1).事项.再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)＜0，所以x0∈(0.5，0.75).同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，所以原方程的近似解可取为0.65625.,2．借助计算器或计算机，用2．解原方程即x+lgx–3=0，令f(x)二分法求方程x=3–lgx在=x+lgx–3，用计算器可算得f(2)≈区间(2，3)内的近似解(精确–0.70，f(3)≈0.48，度0.1).于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.下面用二分法求方程x=3–lgx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1=2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5，3).再取区间(2.5，3)的中点x2=2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5，2.75).同理可得x0∈(2.5，2.625)，x0∈(2.5625，2.625).由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625.巩固二分法课后练习3.1第三课时习案学生独立完成应用技能备选例题例1用二分法求函数f(x)=x3–3的一个正实数零点(精确到0.1).【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0=1，b0=2f(1)=–2，f(2)=5[1，2]12x1.5f(x0)=0.375＞0[1，1.5]0211.5x1.25f(x1)=–1.0469＜0[1.25，1.5]121.251.5x1.375f(x2)=–0.4004＜0[1.375，1.5]221.3751.5x1.4375f(x3)=–0.0295＜0[1.4375，1.5]321.43751.5x1.46875f(x4)=0.1684＞0[1.4375，1.46875]421.43751.46875x1.453125f(x5)＞0[1.4375，1.453125]52x6=1.4453125f(x6)＞0[1.4375，1.4453125]由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
