用二分法求方程的近似解[A级 基础巩固]1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝log4xD．f(x)＝ex－2解析：选ACD f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是( )A．[2，2.5]B．[2.5，3]C．[2，2.25]D．[2.75，3]解析：选A 令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，f(2)f(2.5)<0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]，故选A.3．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：x121.51.6251.751.8751.8125f(x)－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )A．1.6B．1.7C．1.8D．1.9解析：选C 由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在区间(1.75，1.8125)内．结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.4．(2021·山西太原高一质检)已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )A．2B．3C．4D．5解析：选C 设需计算n次，则n满足<0.1，即2n>10，故计算4次就可满足要求，故选C.5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，内，则与f(0)符号相同的是( )6
A．f(1)B．f(2)C．fD．f(4)解析：选A 零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.所以与f(0)符号相同的是f(1)．6．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是________．解析：精确度为0.001，即|a－b|<0.001，又b>a，∴b－a<0.001.答案：b－a<0.0017．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.答案：a2＝4b8．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．解析：令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，f＝ln－＜0，∴下一个含根的区间是.答案：9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．6
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.再取x3＝×＝，得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.综上所述，所求的实数解x0在区间内．10．已知方程2x＋2x＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：x1.251.281251.31251.3751.52x2.3782.4302.4842.5942.828解：(1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．(2)用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值符号(1，2)1.5f(1.5)>0(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25，1.3125)1.28125f(1.28125)<06
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.3125－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数的零点近似值为1.3125，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.3125.[B级 综合运用]11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )A.B.C．εD．2ε解析：选B 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.12．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则( )A．f(x)在上有零点B．f(x)在上有零点C．f(x)在上无零点D．f(x)在上无零点解析：选B 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．13．已知f(x)＝－lnx，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________．若用二分法求x0的近似值(精确度0.01)，则至少需要将区间等分________次．解析：f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1>0，f(2)＝－ln2<0，6
∴f(x)的零点x0∈(1，2)，故n＝1.设至少需等分n次，则≤0.01且n∈N，解得n≥7，故至少需等分7次．答案：1 714．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，最多要查多少次？解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推…(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．解：(1)易知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴即∴－13≤m≤3，∴实数m的取值范围是[－13，3]．(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，易求出f(－1)＝9，f(1)＝－7.∵f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间(－1，1)上单调递减，∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0.∵f(0)＝－1<0，∴f(－1)·f(0)<0，∴x0∈(－1，0)．∵f＝>0，∴f·f(0)<0，6
∴x0∈.∵f＝>0，∴f·f(0)<0，∴x0∈.∵f＝>0，∴f·f(0)<0，∴x0∈.∵＝<＝0.2，∴所求区间为.6
