用二分法求方程的近似解A级——基础过关练1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1【答案】C 【解析】因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．(2020年福州高一期中)利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】D 【解析】设f(x)＝log3x－(5－x)，因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D．3．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )A．(2，2.25)B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75)D．(2.75，3)【答案】C 【解析】因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知方程的根在区间(2.5，2.75)．故选C．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( )A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.4375【答案】D 【解析】由参考数据知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.0315
25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D．5．(2021年太原高一期末)已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续数函数，且f(0)f(1)＜0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )A．2 B．3C．4 D．5【答案】C 【解析】设须计算n次，则n满足＜0.1，即2n＞10.故计算4次就可满足要求，所以将区间[0，1]等分的次数为4次．故选C．6．(2021年苏州高一期末)已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点在区间(n，n＋1)内，则整数n＝________．【答案】1 【解析】方程3x＋x－5＝0的解就是函数f(x)＝3x＋x－5的零点，可知f(x)＝3x＋x－5在R上单调递增，又因为f(1)＝3＋1－5＜0，f(2)＝9＋2－5＞0，所以f(1)·f(2)＜0.又因为f(x)在R上连续，根据零点存在定理可知f(x)在(1，2)上有零点，故n＝1.7．(2021年兰州高一期末)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________次．【答案】7 【解析】设至少需要计算n次，则n满足＜0.001，即2n＞100，由于26＝64，27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算列表如下：端(中)点的值中点函数值符号零点所在区间|an－bn|(1，1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25，1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25，1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125，1.375)0.0625则函数零点的近似值为________．【答案】1.3125 【解析】因为精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数零点的近似值为1.3125.9．5
在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．解：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面．将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面．从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．B级——能力提升练10．(多选)用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－2在区间[0，2]上的零点近似值，取区间中点1，则( )A．下一个存在零点的区间为(0，1)B．下一个存在零点的区间为(1，2)C．要达到精确度1的要求，应接着计算fD．要达到精确度1的要求，要接着计算f【答案】AC11．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，内，则与f(0)符号相同的是( )A．f(1)B．f(2)C．fD．f(4)【答案】A 【解析】零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.所以与f(0)符号相同的是f(1)．12．(2020年成都高一期中)方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )5
A．B．C．∪(5，＋∞)D．【答案】B 【解析】由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则解得－＜m＜5.故选B．13．(2021年武汉高一期末)函数f(x)在区间(0，1)内连续不断，用二分法研究函数f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得f(0)＜0，f(0.5)＜0，f(1)＞0，那么下一次应计算x＝________时的函数值．【答案】0.75 【解析】因为f(0)＜0，f(0.5)＜0，f(1)＞0，所以根据函数零点存在定理，函数零点落在区间(0.5，1)内，取x＝0.75.14．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用“二分法”求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0＝________．【答案】5 【解析】开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.05，即2n＞20，解得n≥5.故计算5次就可满足要求，所以将区间(0，1)等分的次数至少是5次．因为f(0)<0，f(1)>0，f＜0，所以第一次得到区间为；因为f＞0，所以第二次得到区间为；因为f＞0，所以第三次得到区间为；因为f＜0，所以第四次得到区间为；因为f＞0，所以第五次得到区间为.所以函数零点为＝.C级——探究创新练5
15．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)＝－<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1，2)．再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，所以f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.再取x3＝×＝，得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.故f(x)＝0的实数解x0在区间内．5
