第二十六章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1.cos45°的值为( )A.B.C.D．12．如图，点A(t，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t的值是( )A．4B．6C．2D．2(第2题) (第3题)3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为( )A.B.C.D.4．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D停止，则在这个过程中，从点A观测点C的俯角将( )A．增大B．减小C．先增大后减小D先减小后增大(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )A.B.C.D.6．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24m，那么旗杆AB的高度是( )A．12mB．8mC．24mD．24m7．若计算器的四个键如图所示，在角的度量单位为“度”的情况下，用计算器求sin13
47°，正确的按键顺序是( )(第7题)A．①②③④B．②④①③C．①④②③D．②①④③8．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )A．26mB．28mC．30mD．46m(第8题) (第9题)9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB＝( )A.B.C.D．210．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为( )A．204mB．206mC．208mD．210m(第10题) (第11题) (第12题)11．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2m13
C．(2－2)mD．(2－2)m12．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB等于( )A.B.C.D.13．如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为10海里，渔船将险情报告发给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好与渔船相遇，那么救援船航行的速度为( )A．10海里/时B．15海里/时C．5海里/时D．30海里/时(第13题) (第14题)14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC的长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )A.B.C.D.15．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论：①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个(第15题) (第16题)13
16．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．如图，他从点D处走到点A处，然后沿着斜坡AB从点A处走了8m到达点B处，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点测得观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到点C处，测得观景塔顶端的仰角为30°，B，C之间的水平距离BC＝10m，则观景塔DE的高度约为(精确到1m，≈1.41，≈1.73)( )A．14mB．15mC．19mD．20m二、填空题(17、18题每题3分，19题每空2分，共12分)17．在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是________．18.如图，八个完全相同的小长方形恰好能拼成一个边长为4的正方形，连接小长方形的顶点得△ABC，则tan∠ACB＝________．(第18题) (第19题)19．如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．嘉琪同学是这样解决的：连接格点A，D，可得△ADC为等腰直角三角形，则AD⊥CD，又∠CPB＝∠APD，那么∠CPB就变换到Rt△ADP中．由BD∥AC，可得DPPC＝________，则tan∠CPB的值为________．【探索延伸】如图②，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，则sin∠APD的值为________．三、解答题(20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共66分)20．计算：(1)(－2)3＋－2sin30°＋(2020－π)0；13
(2)sin245°－cos60°－＋2sin260°·tan60°.21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(第22题)(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝，求AD的长．13
23．如图，某山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，在△ABC中，tan(∠C－∠B)＝，AC＝，AB＝5，求BC的长．(第24题)25．某校为检测师生体温，安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门13
AD的顶部A处距地面2.2m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6m的小聪做了如下试验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；当他在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)(第25题)26．在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝.(1)如图①，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M，N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值；(2)如图②，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值．(第26题)13
答案一、1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B7．D 8.D 9.C 10.C 11.B 12.B13．D14．B 【点拨】设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝x.根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x.如图，过点E作EM⊥AD于点M，易知AM＝AD＝x.在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝.(第14题)15．C16．C 【点拨】过点B作BF⊥DE于F，过点A作AH⊥BF于H，易知DF＝AH.∵∠EBF＝45°，AB⊥BE，∴∠ABH＝45°.∴DF＝AH＝8×＝4(m)．在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，∴CF＝EF.在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF.∵CF－BF＝BC，∴EF－EF＝10m，解得EF＝(5＋5)m，∴DE＝EF＋DF＝5＋5＋4≈19(m)．二、17.75°18. 【点拨】由正方形的边长为4，易得小长方形的长为2，宽为1.如图，延长CA13
，交正方形一边于点D，连接DB，易得BD⊥AC，DB＝，DC＝3，∴tan∠ACB＝＝.(第18题)19．12；3；【点拨】如图，连接CE，DE，过D作DM⊥CE于点M.(第19题)∵BC∥AE，BC＝AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE∥AB，∴∠APD＝∠ECD.∵△ECD的面积＝3×4－×1×4－×2×3－×1×3＝，∴CE·DM＝.易得CE＝，∴DM＝，易得CD＝，∴sin∠APD＝sin∠ECD＝＝.三、20.解：(1)原式＝－8＋4－2×＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝.21．解：由2a＝3b，可得＝.设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k，∴sinB＝＝＝，13
cosB＝＝＝，tanB＝＝＝.22．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6.在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8.∴BC＝BE－CE＝6－8.(2)在Rt△ABE中，sinA＝＝，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.易得tanE＝＝，∴＝，解得DE＝.∴AD＝AE－DE＝10－＝.23.解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝xm，小明的行走速度是am/s.∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝xm，AC＝xm.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝＝＝2x(m)．∵小军的行走速度为m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴＝，解得a＝1.答：小明的行走速度是1m/s.24．解：如图，在BC上取一点E，使AE＝AC＝，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，过点A作AD⊥CE于点D，13
则∠AEC＝∠C，DE＝CD.(第24题)∵∠EAF＝∠AEC－∠B，∴∠EAF＝∠C－∠B.∵tan(∠C－∠B)＝，∴tan∠EAF＝，即＝，设EF＝6x，则AF＝17x，由勾股定理得AF2＋EF2＝AE2，∴(17x)2＋(6x)2＝()2，∴x＝(负值舍去)，∴EF＝，AF＝，∴BF＝AB－AF＝5－＝，∴BE＝＝＝2.∵S△ABE＝AB·EF＝BE·AD，∴AD＝＝＝3，∴CD＝DE＝＝2，∴BC＝BE＋DE＋CD＝2＋2＋2＝6.25.解：如图，连接BC并延长BC交AD于点E，易知DE＝1.6m，则AE＝AD－DE＝0.6m.在Rt△ABE中，BE＝≈≈1.88(m)，在Rt△ACE中，CE＝≈≈0.35(m)．易知四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝BE－CE≈1.88－0.35≈1.5(m)．13
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m.(第25题)26．解：(1)∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠MAB＋∠ABM＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠NBC＋∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB∽△BNC，∴＝＝tan∠BAC＝.∵点B是线段MN的中点，∴BM＝BN，∴在Rt△AMB中，tan∠BAM＝＝＝.(2)过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥BP于点E.∵tan∠BAC＝，∠APB＝∠BAC，∴tan∠BAC＝＝，tan∠APB＝＝.设BC＝x，则AB＝2x，BP＝4x，∴CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.易得∠BAC＝∠ECD，∴∠APB＝∠ECD.∵DE⊥BP，∴CE＝EP＝CP＝x.13
∵∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠CED＝90°，∴△ABC∽△CED，∴＝＝＝，∴在Rt△ACD中，tan∠PAC＝＝.13
