第二十六章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．cos45°的值为( )A.B．1C.D.2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( )A．3 B.C.D.3．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝( )A．30°B．45°C．60°D．75°4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝8，AC＝15，设∠BCD＝α，则cosα的值为( )A.B.C.D.5．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是( )A．45°B．60°C．90°D．105°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4，那么AD＝( )A．6B．4C.D.15
7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A.米B.米C.米D.米8．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )A．26mB．28mC．30mD．46m9．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据求出A，B间距离的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组10．李红同学遇到了这样一道题：求tan15
(α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是( )A．40° B．30° C．20° D．10°11．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论中正确的有( )①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm.A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为( )A. B．4C.D．415
13．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20m到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6m，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1m，≈1.414)( )A．34.14mB．34.1mC．35.7mD．35.74m14．如图，在等边三角形ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转到点E处，则tan∠CDE的值是( )A.B．3C.D.15
15．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20nmile.客轮以60nmile/h的速度沿北偏西60°方向航行h到达B处，那么tan∠ABP的值等于( )A.B．2C.D.16．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO＝α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO＝100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是( )A．(60＋100sinα)cmB．(60＋100cosα)cmC．(60＋100tanα)cmD．以上选项都不对二、填空题(17，19题每题3分，18题4分，共10分)17．cos60°＋sin45°＋tan30°＝________．18．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________．15
19．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25min后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__________．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)20．计算：(1)2－1－tan60°＋(π－2022)0＋；(2)(π－)0＋＋(－1)2023－tan60°.21．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.15
(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝，求AD的长．23．如图，甲建筑物AD与乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)24．为了缓解交通拥堵，方便行人，市政府计划在某街道修建一座横断面为四边形ABCD的过街天桥(如图)，BC∥AD，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1：1.2，BC＝10m，天桥高度CE＝5m，求AD的长度．(结果精确到0.1m．参考数据：sin15
35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)25．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．26．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.74)15
(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离之和．15
答案一、1.C 2.A 3.C4．D 点拨：如图，根据勾股定理可知，AB＝＝17.∵∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A＝α，在Rt△ACB中，cosα＝＝.故选D.5．C6．B 点拨：如图，由题意知，AC＝ABsinB＝ABsin30°＝2.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝＝＝30°.∴AD＝＝4.故选B.7．A 点拨：如图，设PA＝PB＝PB′＝x米，在Rt△PCB′中，sinα＝，∴sinα＝，∴x＝.15
8．D9．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.10．D 11.C12．A 点拨：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4，易证DF＝AE，∴DF＝4，再解Rt△DCF即可求出CD.13．C 点拨：过点B作BF⊥CD于F，过点B′作B′E⊥BD于E.于是得到AB＝A′B′＝CF＝1.6m，易知点B′在BF上，∠B′DF＝90°－67.5°＝22.5°，∠BDB′＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠B′DF＝∠BDB′.∴B′F＝B′E＝BB′·sin45°≈14.14(m)．易知△BFD为等腰直角三角形，则CD＝CF＋FD＝CF＋BF＝CF＋BB′＋B′F≈35.7m.14．B 15.A 16.A二、17.2 18.；19．750m 点拨：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(m)，∴AD＝AC·sin45°＝375m.在Rt△ABD中，易知∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750m.即小山东西两侧A，B两点间的距离为750m.三、20.解：(1)2－1－tan60°＋(π－2022)0＋＝－3＋1＋＝－1.(2)(π－)0＋＋(－1)2023－tan60°＝1＋2－1－3＝－1.15
21．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，sinB＝，∴a＝c·sinA＝8×＝12，b＝c·sinB＝8×＝4.(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.∴b＝a＝3.∴c＝＝6.22．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6.在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝＝8.∴BC＝BE－CE＝6－8.(2)∵∠ABE＝90°，sinA＝＝，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝.∴AD＝AE－DE＝10－＝.23．解：设AD＝xm，则BC＝6xm.在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，15
∴AE＝＝＝x(m)，DE＝2AD＝2xm.在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴BE＝＝＝2x(m)，EC＝2BE＝4xm．∵AE＋BE＝AB，∴x＋2x＝90，解得x＝10.∴DE＝20m，EC＝120m.在△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得CD＝＝20(m)．答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为20m.24．解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，∴BF＝CE＝5m，EF＝BC＝10m.在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝，∴AF＝≈≈7.14(m)．∵斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，∴＝.∴ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．∴AD＝AF＋FE＋ED≈7.14＋10＋6≈23.1(m)．故AD的长度约为23.1m.25．解：(1)如图．(2)如图，连接BD.∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝.15
易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2.∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.∴tan∠BAD＝＝＝.26．解：(1)如图，过点M作CD∥AB，过点N作NE⊥AB于点E.∴四边形AEDC为矩形，∴AC＝DE，AE＝DC.在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5千米，sin∠CAM＝≈0.6，cos∠CAM＝≈0.8，∴CM≈3千米，AC≈4千米．在Rt△ANE中，∠NAE＝90°－53.5°＝36.5°，AN＝10千米，sin∠NAE＝≈0.6，cos∠NAE＝≈0.8，∴NE≈6千米，AE≈8千米．在Rt△MND中，MD＝CD－CM＝AE－CM≈5千米，ND＝NE－DE＝NE－AC≈2千米，∴MN＝≈＝(千米)．(2)如图，作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，连接NP.点P即为站点．∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG，NG＝2NE≈12千米，DG＝NG－DN≈10千米．在Rt△MDG中，15
MG＝≈＝＝5(千米)．∴最短距离之和约为5千米．15
