第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数1.锐角的三角函数第1课时正切\n1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）学习目标\n智者乐水，仁者乐山图片欣赏导入新课\n思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？陡陡意味着倾斜程度大！\n想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？\n铅直高度水平宽度梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课☆正切的定义相关概念\n问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大——梯子越陡\n问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲乙\n问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA\n问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.\n若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？AC1C2B2B1合作探究2\n两个直角三角形相似(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3想一想相等相似三角形的对应边相等\n在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即ABC∠A的对边∠A的邻边┌tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.\n定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.3.tanA﹥0且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.\nABC┌锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议\n例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,β6m┐乙8mα5m┌甲13m乙梯中,∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析\n1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tanA=______，tanB=______．练一练互余两锐角的正切值互为倒数.2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.ABCD(1)tanA==AC()CD()(2)tanB==BC()CD()BCADBDAC\n4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABC┌C3.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.==\n正切通常也用来描述山坡的坡度.☆坡度、坡角坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.\n例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切100m60m┌αi概念学习\n例2如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，B【总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．\nBCA(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5，tanA=,AC=().1.完成下列填空：当堂练习\n2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.D这个图呢？CABCAB\n3.如图,P是的边OA上一点，点P的坐标为，则=__________.M记得构造直角三角形哦！OP(12,5)Axy\n4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).ABC┌解：\n5.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB┌D解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∴在Rt△ABD中，易知BD=5，AD=12.\n6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA=,求AC和BC.4k┌ACB153k\n7.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1，求tan∠ADN的值.ADBNMC解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵M、N两点关于对角线AC对称,∴DM=1BN=DM=1.\n如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tan∠PAO的值.M能力提升解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，\n（2）当S=10时,求tan∠PAO的值.M解：又∵点P在直线y=-x+6上，∴x=2.∴AM=OA-OM=5-2=3.\n课堂小结正切定义坡度∠A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系
