23.1锐角的三角函数1.锐角的三角函数第2课时正弦和余弦\n1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；（重点、难点）2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点)学习目标\n导入新课回顾与思考1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.\n2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ABC邻边b对边a斜边c\n任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能试着分析一下吗？ABCA'B'C'讲授新课☆正弦的定义合作探究\n在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．ABCA'B'C'\n∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c概念学习\n典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.解：在Rt△ABC中，即∴BC=200×0.6=120.ABC\n变式：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,求:△ABC的周长和面积.解:在Rt△ABC中,20┐ABC\n☆余弦的定义合作探究任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能试着分析一下吗？ABCA'B'C'\nABCA'B'C'在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．\n∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c概念学习\n例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.提示:过点A作AD⊥BC于D.556ABC┌D\n如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？AsinA的值越大,梯子越;cosA的值越,梯子越陡.陡小81068106A议一议\n例3：sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.【总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.D\n如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦归纳总结\n定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切(习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.\n例4：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3，AB=6,求sinA和cosB.┌BCA36想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系?\n求:AB,sinB.10┐ABC变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?\n如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，归纳总结sinA=cosB\n1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinAsinB;(2)若sinA=sinB,则∠A∠B.ABC┌C==当堂练习\n3.如图,∠C=90°CD⊥AB.4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______.┍┌ACBD()()()()()()CDBCACABADAC5.如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cosα=_____,tanα=_______.xyo34Pα\n6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵又∵ABC610\n变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC设AC=15k，则AB=17k所以∴\n变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值．ABC8解：∵\n7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.解：设正方形ABCD的边长为4x，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．由勾股定理可知，AMEDBC\n7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.AMEDBC由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.\n8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(1)如图所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝,∴BH=3，OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)．\n8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．∵在Rt△AHB中，BH=3，\n在Rt△ABC中=abtanA=课堂小结
