§1.4高斯定理在介绍高斯定理之前,首先引入一个基本概念,叫“通量”.通量是矢量场的共性,并且它总是和一个假想的面联系在一起的.一任意矢量场的通量S中有闭合任意矢量场合面S,将它分成许多无限小面元ds,ds很小,以致每常量.个面元上的场矢量可视为定义面元矢量矢量通过面元的通量定义为\n对整个闭合面的通量对有限开曲面二（电）通量电场中的场矢量是电场强度矢量,故（电）通量为对闭曲面\n对开曲面说明通量1、通量是标量,但它不是点函数,只能说某面元或某曲面的而不能说某点的通量.2、通量是代数量（即可正可负）.在场强一定时,其正负取决于面元法向的选取.如图：两种取法,通量等值异号.时,通量为零.对于闭合曲面,通常规定自内向外的方向为面元法线的正方向,对非闭合曲面,应根据情况事先规定好法线方向.\n三高斯定理1、内容及数学表达式（P19）在真空中的任何静电场中,场强通过任意闭合通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的.数学表达式为曲面的代数和除以（1-25）或由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性.\n2、证明（1）包围点电荷+q的闭合曲面为球面在正点电荷q的电场中,以+q为中心,作半径为r的球面,在球面上任取一面元,通过面元的通量r+q对整个球面有\n即取不同r值的任一球面都能得出上述结果.q是负电荷时同理可以证明,只是将q换为-q即可.与q成正比,与球面的半径r无关（r显任意性）,（2）包围点电荷+q的闭合曲面S是任意形状任意形状的闭合面S,其间有点电荷+q\n以q为球心,任一r1为半径作一球面S1,以q为顶点和,作任一小锥体,分别在S1和S上截出面元其电通量分别为\n现在又以q为中心,r2为半径作球面S2,与锥体截出,如图.面元为由立体几何知都非常小,故认为有因为面元\n∴有相等的通量,而S面及S1面可用许多锥体分成这样一对对面元,故S面的电通量等于S1面的电通量,而S1面是球面,故有\n即包围点电荷q的曲面为任意曲面时,仍能得（4.1）式的结果（既高斯定理仍然成立）.q是负电荷的情况同理可以证明,只需将q换为-q即可.（3）点电荷q在任意闭合曲面S之外任意闭合曲面S,在S面上选一闭合曲线L,把S分成S1和S3两部分（非闭合）.再以L为边线作非闭合曲面S2,使S2分别与S1和S3组成闭合曲向并包围了q,这时（利用步骤（2）的结果）S1qS2S3LS=S1+S3\n（正负电荷都有此结果）根据场强叠加原理将上述结论进行推广.（4）推广①面S内有q1、q2、……qn个点电荷,且它们可正可负S1qS2S3LS=S1+S3\n（1-25）即多个点电荷的通量等于它们单独存在时的代数和.通量②闭合曲面S外有多个点电荷③电荷为连续分布的任意带电体把带电体分为点电荷的集合,再利用叠加原理,积分,即（1-25）式仍成立,但此时面内净电荷量改成\n3、对高斯定理的说明①高斯定理是静电场的基本定理之一,揭示了场和场源的内在联系,它说明静电场是有源场.②高斯定理和库仑定律可以互相推导,都可以作为静电学的基础,从这点来说,它们是等价的.对于迅速变化（迅变）电磁场,库仑定律不成立,而高斯定理可以推广到迅速变化的电磁场,所以高斯定理比库仑定律应用更广泛.使用上有不同的分工：库仑定律（及叠加原理）解决从电荷分布求场强的问题,高斯定理使我们能从场强（场强作为已知的点函数）求出电荷分布.\n③通量中的场强,是闭合曲面内外所有电荷共同激发的,即是说,闭合面S上任一点的场强,是S内外所有电荷在该点产生的场强的矢量和,而高斯定理数学表达式右端的电荷量,只是闭合面内的净电荷量.若点电荷恰好位于闭合面上,它对这个闭合面的通量有没有贡献呢？A1带电体SA2当带电体与闭合面相交时,带电体不能被看成点电荷.实际上,闭合面把带电体A分成两部分A1和A2,根据高斯定理,只有位于闭合面内的那部分A2才对整个闭合面的电通量有贡献.④总通量的三个无关\n总通量与闭合面内电荷的分布无关.总通量与闭合面S的形状、大小无关.总通量与S面外的电荷无关.注意理解四用高斯定理求场强1、解题步骤（1）分析电场的对称性（2）根据电场不同的对称性,选取相应的适当的高斯面（高斯面是闭合曲面并过场点）（3）分别计算通过高斯面的电通量和高斯面内的净电荷量,根据高斯定理列出方程,求出场强的大小.（4）讨论2、举例\n例1（补充）：求均匀带正电的无限长细棒的电场分布,该棒上线电荷密度为.rlr高斯面POdq2dq1解：细棒无限长,其上任一点都可视为中点,图中取O点为中点,在O点上下的对称位置,取任一对等量的电荷元：由叠加原理,P点的总场强必然垂直于棒而离开棒.场具有轴对称性\n根据场强具有轴对称性的特点,选取与细棒同轴的半径为r的封闭圆柱面为高斯面,设柱面高l,通过高斯面的电通量为高斯面内的净电荷量为根据高斯定理列方程得无限长细棒外任一点P的总场强其方向垂直于棒而离开棒.\n例2（书P20例1）：电荷以面密度均匀分布于一个无限大平面上,求其激发的场强.解：用反证法证明无限大带电平面外的场强方向垂直于平面.PS1PS2面对称或中心对称高斯面取圆柱面、正方体或长方体的表面根据高斯定理得\n写成矢量为背离带电平面的单位矢讨论①\n②无限大均匀带电平面的电场中,各点的场强与场点的位置无关,带电平面的两边各形成一个均匀电场.③利用上述结果,得到a、两个带等量同号电荷的无限大平行平面的场强分布b、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布\n例3(补充)：求无限长均匀带电圆柱面的电场.柱面半径R,电荷面密度.RlSPr解：电场分布具有轴对称性过P点作与圆柱面同轴的高为l,半径为r的封闭圆柱面为高斯面.由高斯定理得令表示圆柱面每单位长度上的电荷,则（和例1无限长带电直线的结果一样）带电圆柱面内部各点场强等于零.\n例4：求均匀带电球面内外的电场.P22例2q例5：求均匀带电球体内外的电场.P22例3①用高斯定理求场强的关键,在于分析电场的对称性②应选取适当的高斯面③对于非对称电场,虽然不能用高斯定理求出场强,但定理仍然是成立的.结论：习题：1.4.5；1.4.8；*1.4.9；*1.4.10电场分布具有球对称性高斯面取球面
