§1.6电势一静电场的环路定理1、静电场力所做的功与路径无关(由库仑定律及场强叠加原理证明)（1）单个点电荷所产生的电场Qqr+drrr1r2P2P1在点电荷Q产生的电场中,电场力将试探电荷q从P1点沿某一路径移到P2点.在路径上取一无限小位移（称为位移元）,其上场强的大小和方向可视为不变.在此位移元上,电场力对q所做的元功为\n由图可知∴电场力所做的总功为在点电荷Q的电场中,电场力对试探电荷所做的功与连接起点、终点的路径无关,只依赖于试探电荷的大小和起点、终点的位置.（2）点电荷组或任意带电体所产生的电场将试探电荷沿任意路径L从a移到b时,电场力所做的总功为（用叠加原理）\n上式中每一项都与路径无关,故各项之和（总功）也与路径无关,只与试探电荷大小和始末位置有关.结论：试探电荷在任何静电场中移动时,电场力所做的功,只与试探电荷电荷量的大小以及路径的起点和终点的位置有关,而与路径无关.这是静电场的一个重要性质,叫做有势性（或称有位性）,具有这种性质的场叫做势场（或称位场）.因此静电场是势场（位场）.2、静电场的环路定理\n设在静电场中有一闭合曲线L,如图,a、b两点将L分成两部分,电场力将试探电荷q沿从a点移到b点时,电场力所做的功相等,即令则有环路定理场强沿任一闭合曲线的环路积分为零.l2Ll1ba(q)\n3、用环路定理证明电场线的性质2用反证法.设某条电场线构成了闭合曲线,沿此闭合曲线（电场线）计算场强的线积分得二电势和电势差这与环路定理矛盾,所以电场线不能构成闭合曲线.1、电势电场力做功（与P、P0、q有关）令q=+1,且P0点选作参考点固定下来（如可选P0点在“无穷远处”）,A就只与P点有关,说明此功A反映了静电场中P点的性质.\n定义：单位正电荷从P点移到参考点P0时,电场力所做的功,称为P点的电势（或电位）,记作V,表达式为上式是电势的定义式,也是电势和场强的积分关系,它说明一点的电势与整个积分路径上的场强均有关.电势是标量点函数,参考点确定后,场中每一点都有确定的电势值,而参考点的电势显然是零.2、电势差定义：静电场中任意两点电势的差值,称为电势差（也称电压）.\n如对场中A、B两点有静电场中A、B两点的电势差,在数值上等于单位正电荷在电场中从A点经过任意路径到达B点时,电场力所做的功.点电荷在电场中运动时,电场力所做的功∵∴3、说明（1）电势是描述电场性质的物理量.电势由电场确定,而电势差由电场完全确定.\n（2）电势、电势差的区别：电势是一标量点函数,电势差是标量,但不是点函数；电势与参考点的位置有关,而电势差与参考点无关.（3）电势具有相对性.,即与参考点的选择有关,那么如何选参考点呢？原则上说是任意的,但必须保证在参考点选定之后,计算出的电势值是确定的,有限的.参考点的电势值也可取为非零的任意有限值.①场源电荷分布在有限区域内,选无限远处为参考点,且②电荷分布在无限远处,参考点选在有限区域,一般选在无限长带电线上,无限长圆柱面上或轴线上.③实际应用中,常把大地或仪器机壳选为电势参考点,并令其电势为零.如“接地”\n（4）电势具有叠加性对场中某点P,如有几个电荷在此激发电场,则∴几个点电荷在某点P的电势等于每个点电荷单独存在时在该点的电势的代数和.（5）电势沿电场线方向不断减小AB∵而沿电场线方向,永远有∴VA>VB\n三电势的计算1、电势叠加法从点电荷电场中的电势公式出发,利用电势的叠加原理求解.（1）点电荷电场中的电势求点电荷Q的电场中距Q为r处的P点的电势.PQ（已知q、,求V）（已知,求V）选参考点：P0在无限远处,且令Vp0=0.选路径：静电场力做功与路径无关,只与P和P0点的位置有关,所以选矢径直线为积分路径.\n点电荷Q产生的电场中电势的分布公式为在点电荷Q产生的电场中,以Q为球心,以r为半径的球面上各点电势是相等的.（2）点电荷系(组）的电场中的电势（3）任意带电体产生的电场中的电势\n参考点为2、场强积分法注意：①选好参考点；②在整个积分路径上,场强要已知,若各的分布函数不同,应分段积分.段上\n例1（补充）：求均匀带电圆环轴线上任一点P的电势.圆环半径为R,所带电荷总量为q.电荷线密度为,参考点在无限远.dqxxPqRO☆因参考点选在无限远处,所以用第1种方法求解.解：电荷元在圆环轴线上P点产生的电势整个带电圆环在P点产生的电势①当P点位于轴线上相当远处,即x>>R\n②当x=0时（待求点P位于环心）（电势最高点在球心处）例2（P33例1）：求带电圆盘轴线上任一点的电势.PxxO解：取宽度为dr的某一带电圆环,则dq在轴线上任一点P产生的电势为\n整个圆盘的电场中P点的电势为方法一用第2种方法求解参考点：无限远积分路径：选圆盘轴线例3(P34例2)：求均匀带电球面内外的电势.(略讲)解：可用两种方法求解,书上用第2种方法,场强积分时须注意分段积分.\n注意：求电势时究竟利用哪种方法应视问题而定,没有绝对的含义.已知电荷分布,容易求出各个点电荷或电荷元在场点的电势时,用方法1；容易求出场强时用方法2.四等势面1、等势面的定义静电场中,电势相等的各点所构成的曲面.2、等势面的性质推论：在任意静电场中,在等势面上移动试探电荷时,电场力做功为零.在任何带电体的静电场中,电场线和等势面之间处处垂直.AB\n试探电荷q从A点移到B点,电场力做功为是同一等势面上的线元.证明：在电场力作用下,A、B在同一等势面上,VA=VB.此功用A、B间的电势差表示成：,而∴其中均不为零,只有这说明是等势面上的线元,A点电场线在A点的切线方向,说明通过A点的电场线垂直于通是等势面上取的任意线元,的方向就是电场过A点的等势面.又由于所以等势面和电场线处处垂直.\n书P36用反证法证明上述性质的正确性.3、作等势面的规定规定：相邻两等势面间的电势差为常数,这样作等势面后得到一个结果：等势面较密集的地方场强大；等势面较稀疏的地方场强小.根据V与的积分关系推导V与的微分关系.积分关系五电势与场强的微分关系P36可推导出电势与场强的微分关系\n1、证明等势面较密集的地方场强大,较稀疏的地方场强小.推广到三个等势面情况如果作等势面图时,取所有各相邻两等势面间的电势差均一样,则上述结果就可用于各对等势面之间,从而具有普通性,所以上述结论成立.两个相邻等势面S1、S2,在相同的情况下,由有小的地方（等势面密）,大；大的地方（等势面疏）,小.这是两个等势面的情况.\n2、已知电势分布V（x、y、z）,可求场强分布（矢量形式）在一般情况下,可以选取适当的坐标系,求出的三个分量,从而得场强的三个分量①直角坐标系中场强的各分量②柱坐标中\n③球坐标中解：取电势对r的导数场强方向沿矢径方向.例4（补充）：从点电荷的电势表达式求点电荷的场强.习题：*1.6.4；*1.6.5；1.6.6
