第3讲第三讲几何计数初步知识站牌四年级春季四年级寒假统筹与最优化包含与排除四年级秋季几何计数初步四年级秋季四年级暑假体育比赛中的数学加乘原理初步结合加乘原理数图形漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入数学的发明是从计数开始的，那么是谁最早发明计数的呢？结绳计数的发明，相传是老祖先伏羲受到渔网启发而想到的.那时没有人知道什么叫数，也没有人能够计数.伏羲联想到结渔网时绳子上的结头可以分出很多，于是就取来一条软绳，在渔网的绳子上打结以计数.这样的方法很快就被流传开，粗粗细细打满结的绳子就成了一个记录本，不单可以用来记录打鱼的收成，也可以把其它收获的东西一一记录下来.后来人们觉得结绳计数做起来太麻烦，就想到了新办法，在树枝上刻下痕迹.慢慢刻痕计数的方法逐步推广，就形成了今天的图形和文字.今天就让我们一起来学习数图形.教学目标1.认识几何中的计数问题，体会到按一定规律去数，可以做到不重复、不遗漏，发展有序思维2.引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律3.掌握分类的方法有规律地解答几何中的计数问题4.帮助学生养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步掌握通过观察、思考探寻事物规律的能力经典精讲本讲我们重点练习各种类型的“数格子”、“数组合图形”，初步学习归纳递推在计数中的应用．本讲也是杯赛热点和难点，学生在学习本讲时容易轻敌，错误率很高，因此应该注重通法的学习，强化模型意识.1.在数组合图形时，可以先将其分成若干基本图形，先数基本图形；但注意在把基本图形组合起来的时候，并不是基本图形的简单相加，因为可能会有重复或有新的图形出现．2.注意分类、排除法、容斥关系和递归思想在计数中的运用．3.基本图形数法总结：数线段的方法一条线段上如果有n条基本线段，则线段总数为n(n1)(n2)…+1条.数正方形个数分类讨论，一般分成11,22,33,44,552第7级下优秀A版教师版\n第3讲mn型（m大于n），正方形个数是：nm(n1)(m1)(n2)(m2)1(mn1)；nn方阵型，正方形个数是：nn(n1)(n1)(n2)(n2)2211.长方形个数为：长边上的线段数×短边上的线段数.知识点回顾1.下图中共有几条线段？【分析】两点确定一条线段，则共有线段432110（条）．2.下图中共有几个角？【分析】从一点出发的两条线段确定一个角，则共有角432110（个）．3.下图中共有几个三角形？【分析】三角形的个数与AB边上的线段数一样多，也与C点处角的个数一样多，所以可按数线段或数角的方法来数，共有432110（个）．ABC4.图中共有个不同的三角形．第7级下优秀A版教师版3\n【分析】只由1个小三角形组成的有6个；由2个小三角形组成的有3个；由3个小三角形组成的有6个；还包括1个最大的三角形，共有6+3+6+1=16个．例题思路模块一：三角形计数（例1~例2）模块二：长方形计数（例3）模块三：正方形计数（例4~例5）例1数一数，下图中各有多少个三角形？图1图2图3图4（学案对应：1）【分析】(1)图中共有3216个三角形.(2)图中共有(321)212个三角形.(3)增加一条线，多了6个，图中共有12+6=18个三角形.(4)又增加一条线，多了4个，图中共有18+4=22个三角形.想想练练：数一数，下图中有多少个三角形？【分析】图中共有（6+5+4+3+2+1）×2+9=51个三角形4第7级下优秀A版教师版\n第3讲例2图中共有个三角形．【分析】从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有10个，包含两块的三角形有10个，包含三块的三角形有10个，包含五块三角形有5个，所以共有35个．自然界中的几何蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料.蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小.丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精确的计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒，而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学.因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少.真正的数学“天才”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”.它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”.天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天.例3数一数，下面各图中有多少个长方形？图1图2图3第7级下优秀A版教师版5\n（学案对应：2）【分析】（1）图中共有5432115个长方形.（2）图中共有(54321)(21)45个长方形.（3）图中共有(7654321)(321)(321)(321)58个长方形.想想练练：下图中有个长方形．【分析】图中共有(54321)(321)90个长方形.例4如图，在4×4的网格中，数一数：(1)图中共有___________个1×1的小正方形.(2)图中共有___________个2×2的小正方形.(3)图中共有___________个3×3的小正方形.(4)图中共有___________个正方形.(5)图中共有___________个形如的图形.（学案对应：3）【分析】(1)图中共有4×4=16个1×1的小正方形.(2)图中共有3×3=9个2×2的小正方形.(3)图中共有2×2=4个3×3的小正方形.(4)图中共有16+9+4+1=30个正方形.(5)图中共有2×4×2=16个形如的图形.6第7级下优秀A版教师版\n第3讲想想练练：下图一共有__________个正方形.【分析】图中共有39个正方形.3×3有14个正方形，44有30个正方形，两个方阵重合“田字格”有5个正方形，所以一共14+30-5=39个.例5如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用一根绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．图（1）图（2）图（3）（学案对应：4）【分析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到9+4+1=14个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到14+4+2=20个正方形．第7级下优秀A版教师版7\n3根火柴棒可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已知大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，摆成这个图形一共需要多少根火柴棒？…………空……【分析】所有的火柴棒共有3种方向：“╱”、“╲”和“—”．大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，最里面每条边都是12根火柴棒，中间的火柴棒就从3种方向分别计算个数：“╱”的有27根，“╲”的有27根，“—”的有27根，所以这个图形共需要153123273162根．杯赛提高由20个边长为1的小正方形拼成的一个45的大长方形中有一格有“☆”，则图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个.【分析】根据鼠标法，☆左上角共有6个点，右下角有8个点，所以共有长方形有6848（个）.知识点总结1.数线段的方法：一条线段上如果有n条基本线段，则线段总数为n(n1)(n2)…+1条.8第7级下优秀A版教师版\n第3讲2.数正方形个数分类讨论，一般分成11,22,33,44,55mn型（m大于n），正方形个数是:nm(n1)(m1)(n2)(m2)1(mn1).nn方阵型，正方形个数是:nn(n1)(n1)(n2)(n2)2211.3.长方形个数为:长边上的线段数×短边上的线段数.家庭作业1.数一数右图中有几个三角形.【分析】图中共有5+4+3+2+1=15个三角形.2.数一数右图中共有________个三角形．【分析】图中共有6+4+2+1=13个三角形.3.右图一共有__________个正方形.【分析】图中共有554433221155个正方形.4.右图中共有__________个正方形．【分析】图中共有11+5+1=17个正方形.5.数一数，图中共有_______个长方形．第7级下优秀A版教师版9\n【分析】图中共有(654321)(321)126个长方形.6.下图中共有多少个长方形？【分析】横大长方形内有长方形：(4321)(21)30（个）．竖大长方形内有长方形：(4321)(21)30（个）．中间重复的长方形有：(21)(21)9（个）．故图中共有长方形：3030951（个）A版学案【A版学案1】如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中有____________个三角形.ABCDEF【分析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．【A版学案2】下图中共有个长方形．【分析】(54321)(321)(5244)75【A版学案3】下图中共有个正方形.10第7级下优秀A版教师版\n第3讲【分析】本题考点主要是：⑴按大小数正方形；⑵图形的包含与排除.222222所求个数为(1234)3(12)280个【A版学案4】图中共有个正方形．【分析】5+4+1+5+4+1=20个第7级下优秀A版教师版11
