第5讲第五讲环形跑道知识站牌四年级春季四年级秋季相遇与追及综合火车过桥四年级秋季环形跑道四年级暑假四年级暑假追及问题相遇问题简单的环形跑道中的相遇与追及漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们都跑过步对吧？那你们也知道，现在的跑道大多都是圆形的，但是你们知道最早的田径跑道是什么形状吗？最早的田径跑道是长方形的直跑道，一圈一两百米.终点线会有一根绳子，抓住绳子就算到达终点.之后又慢慢演变成了马蹄型的运动场，这样的场地一直沿用到了早期的奥运会上.二十世纪初，又演变成半圆式场地，这种场地一直沿用到现在.在这期间还出现过篮曲式和三圆心式场地.目前世界各国都采用半圆式田径场地.你们知道吗?一开始半圆式田径场地的周长不统一，给场地的测量带来了很大的麻烦.以洛杉矶奥运会为例，在洛杉矶奥运会的200米比赛中，由于测量问题，所有运动员都多跑了2米.直到第七届现代奥运会才确定为400米，两个半圆的半径r有36米的，有37.898米的，目前国际田联建议标准田径场地两个半圆的半径最好修建成36.50米.然而内圈是400米的跑道，外圈究竟差了多少呢？一条跑道宽1.25米.八条跑道就差了10米长，一圈下来可就差了接近62.8米.今天就让我们一起来研究环形跑道问题.教学目标1、进一步学习行程问题，强化学生的行程概念.2、掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次.（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.3、熟练运用线段图解决行程问题.经典精讲环形跑道问题的本质就是相遇与追及.当两人同向运动时就是追及问题，追及距离就是环形跑道周长的倍数与二人初始距离之和；初次追及的追及距离就是二人初始距离.一旦追上之后，二人相当于从同时同地同向而行，再往后每一次追及的时间都是一样的，追及距离都是跑道周长.当二人反向运动时就是相遇问题，相遇距离也是环形道路周长的倍数与二人初始距离之和；初次相遇的相遇距离就是二人初始距离.一旦相遇之后，二人相当于从同时同地反向而行，再往后每一次相遇的时间都是一样的，相遇距离都是跑道周长.对于环形跑道上的多人问题，要学会寻找不同的人之间的相遇追及关系，建立一系列等量关系求解；对于环形跑道上的多次相遇或追及问题，要善于用路程和去分析，进一步巩固路程、速度、时间三者之间的关系.环形跑道问题还是一类周期问题，许多问题需要借用周期问题的方法解决.2第7级下优秀A版教师版\n第5讲知识点回顾1、甲乙两人在相距300米的A、B两地相向而行，甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，两人多久之后第一次相遇？【分析】300÷（60+40）=3分2、甲乙两人同时从A点出发沿相反方向在一条笔直的公路上行走，已知甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，10分钟后两人相距多远？【分析】（60+40）×10=1000米3、甲乙两人在一条笔直的公路上比赛跑步，两人同时从A点出发，同向而行.甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，问10分钟后两人相距多远？【分析】（60-40）×10=200米4、小红从家去学校，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈发现小红忘了带课本，立即骑车去追她，妈妈每分钟走100米，问妈妈追上小红需要几分钟？【分析】60×10÷（100-60）=15分例题思路模块一：环形跑道中的相遇问题.(例1，例2)模块二：环形跑道中的追及问题（例3，例4）模块三：综合运用（例5）例1小张和小王各以一定速度，沿相反方向在环形跑道上跑步．小王的速度是160米/分．小张的速度是120米/分，从同一地点出发10分钟后两人相遇.（1）环形跑道的周长是多少米？（2）两人继续前行，第二次相遇需要多少分钟？（3）从第一次相遇到第3次相遇一共用了多少分钟？（4）到第10次相遇两人共走几圈，共用多长时间？【学案对应：1】【分析】（1）（160+120）×10=2800米.（2）第二次相遇两人还是合走一圈，速度不变，所以时间还是10分钟.（3）3次相遇共用了2×10=20分钟.第7级下优秀A版教师版3\n（4）10次共走了10圈，一共用了100分钟.此题老师可以列表总结：环形跑道中的同地相遇存在周期问题，n次相遇，走了n圈，所用的总时间=每圈的时间×n想想练练：一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．大齐每分钟走66米，胡胡每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【分析】大齐和胡胡每分钟共行6659125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254（分钟）．例2一个圆形操场跑道的周长是400米，两个学生同时从相距200米的A、B两地出发，背向而行，已知甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，（1）经过多久两人第一次相遇？（2）又经过多久两人第二次相遇？（3）又经过多久两人第三次相遇？（4）到第10相遇两人一共用了多少分钟？（5）50分钟内两人相遇几次，共跑几圈？【学案对应：2】【分析】（1）200÷（60+40）=2分（2）400÷（60+40）=4分（3）400÷（60+40）=4分（4）2+9×4=38分（5）（50-2）÷4+1=13次，共跑了12圈.例3学校有一长300米的环形跑道，青青和小胖同时从起跑线起跑，青青每秒跑6米，小胖每秒钟跑4米，（1）经过多久青青第一次追上小胖？（2）青青第一次追上小胖时两人各跑了多少米？多少圈？（3）青青第二次追上小胖共花了多长时间？（4）当青青第二次追上小胖时两人各跑了多少圈？（5）当青青第20次追上小胖时，两人各跑了多少圈？【学案对应：3】【分析】（1）300÷(6-4)=150秒（2）青青：150×6=900米=3圈，小胖：150×4=600米=2圈.（3）150×2=300秒.（4）青青：900×2÷300=6圈，小胖：600×2÷300=4圈（5）青青：3×20=60圈，小胖：2×20=40圈.此题老师可以列表总结：环形跑道中的同地追及存在周期问题，n次追及，多走了n圈，所用的总时间=每次追及的时间×n想想练练：小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？4第7级下优秀A版教师版\n第5讲【分析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据Svt，可知小新第一次超过正南需要：差差800（250210）20(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要8003（250210）60(分钟)．莫比乌斯环数学史上流传着这样一个故事：有人曾经提问，用一张白色长纸条首尾相粘做成一个纸圈，然后给纸圈涂上颜色，要求用同种颜色涂同一个面，不同的颜色涂不同的面，最后能否把整个纸圈涂成一种颜色，不留下一点空白？对于这样一个看似简单的问题，几百年间，曾有许多科学家进行了研究，结果都没有成功.后来，德国数学家莫比乌斯对此发生了浓厚的兴趣，然而长时间的研究试验也没有得到什么结果.有一天，他去野外散步，头脑中仍然在思考着那个神奇的圆环.在他眼中，看到田野里一片片肥大的玉米叶子就好像绿色的纸条一样.他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着.玉米叶子弯曲着耷拉下来，有许多是拧成一个圈的，呈半圆形.他摘下一片，顺着叶子的方向自然地对成一个圈，他发现这正是他想要的.他立刻赶回了办公室，将裁好的纸条一端扭转了180度后环成一个圈儿，再粘在一起，神奇地形成了他想要的圆环.他将一只小甲虫放在上面爬，小虫爬遍了整个圆圈.他不禁惊喜地说：“公证的小甲虫，你证明了这个圈只有一个面.”这个简单而又奇妙的纸圈，竟然震动了整个科学界，人们叫它莫比乌斯环.例4如下图，在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，(1)如果两人都沿顺时针方向跑，1)经过多长时间甲第一次追上乙？2)到第二次追上乙时经过多长时间?第三次呢？(2)如果两人逆时针方向跑，1)经过多长时间甲第一次追上乙？2)到第二次追上乙时经过多长时间?AB第7级下优秀A版教师版5\n【分析】（1）第一次100÷（5-4）=100秒；第二次400÷（5-4）+100=500秒；第三次500+100=600秒.(2)第一次300÷（5-4）=300秒；第二次400÷（5-4）+300=700秒；第三次700+300=1000秒.例5两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【学案对应：4】【分析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：25020050(米/分)，所以路程差为：50452250(米)，即环形道一圈的长度为2250米．所以反向出发的相遇时间为：2250（250200）5(分钟)．想想练练：在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【分析】甲乙的速度和为：4004010(米/秒)，甲乙的速度差为：4002002(米/秒)，甲的速度为：（102）26(米/秒)，乙的速度为：（102）24(米/秒)．史密斯先生计划驾驶汽车从芝加哥去底特律，然后返回.他希望整个往返旅行的平均速度为每小时60英里，然而在抵达底特律的时候，他发现他的平均速度只达到每小时30英里.为了把往返旅行的平均速度提高到每小时60英里，史密斯先生在返回时的平均速度必须是每小时多少英里呢？【答案】史密斯先生根本没有办法把他的平均速度提高到每小时60英里.因为在抵达底特律的时候，史密斯先生已经走过了一定的距离，这花去了他一定的时间.如果他要把他的平均速度翻一番，他应该在同样的时间中走过上述距离的两倍.很明显，要做到这一点，他必须不花任何时间便回到芝加哥，显然这是不可能的.杯赛提高在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆6第7级下优秀A版教师版\n第5讲时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要多少秒？【分析】甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束.正好追上.知识点总结1.环形跑道中的相遇问题如果同地出发，则每相遇一次合走一圈.如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地相遇的问题.2.环形跑道中的追及问题如果同地出发，则每追上一次就多跑一圈.如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地追及问题了.家庭作业1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【分析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254（分钟）．2.上海小学有一长400米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【分析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要400(64)200秒，小亚跑了62001200（米）.小胖跑了4200800（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈.3.一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟行450米，乙跑步每分钟行250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？【分析】400（450250）2(分钟)．4.一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇？【分析】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400÷50=8（分），所以跑8分钟第7级下优秀A版教师版7\n5.如图：在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，甲用多长时间第一次追上乙？A100B【分析】100÷（5-4）=100秒.6.两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，45秒后两人相遇.如果同向而行，几秒后两人再次相遇？【分析】（4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315秒A版学案【A版学案1】有一条圆形跑道长600米，小明和小林在同一地点同时出发，沿跑道背向而行.小明每分钟行90米，小林每分钟行60米.20分钟后，两人相遇了次.【分析】行程问题：环形跑道相遇.小明和小林第1次相遇共用600÷（90＋60）＝4分钟，相遇后两人又在同一地点同时出发，沿跑道背向而行；所以经过20分钟后，两人共相遇了20÷4＝5次．【A版学案2】在周长为2160米的环形跑道上，小天和小云两人分别站在相距1080米的A、B两点，沿相反方向同时起跑，小天的速度是240米/分，小云的速度是300米/分，几分钟后两人第一次相遇？第二次呢？【分析】第一次：1080÷（240+300）=2分，第二次2+4=6分.【A版学案3】成才小学有一条200米长的环形跑道，包包和昊昊同时从起跑线起跑，包包每秒钟跑6米，昊昊每秒钟跑4米，问包包第一次追上昊昊时两人各跑了多少米，第一次追上昊昊时两人各跑了多少圈？【分析】包包第一次追上昊昊所需要的时间：200÷（6-4）=100（秒）．包包第一次追上昊昊时他所跑的路程应为：6×100=600（米）．昊昊第一次被追上时所跑的路程：4×100=400（米）．包包第1次追上昊昊时所跑的圈数：600÷200=3（圈）．昊昊第1次被追上时所跑的圈数：400÷200=2（圈）【A版学案4】在长300米的环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？【分析】速度和=300÷12=25米/秒，速度差=300÷4=75米/秒，则两人的速度分别为50米/秒和25米/秒，那么两人各跑一圈则需要300÷50=6分，300÷25=12分.8第7级下优秀A版教师版
