小学数学讲义秋季四年级第1讲超常体系

第1讲第一讲定义新运算初步知识站牌四年级秋季四年级秋季小数的计算多位数计算四年级秋季定义新运算初步三年级春季三年级寒假小数的认识速算巧算之四则运算运用一些基本的速算技巧解决简单的定义新运算漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入1.在数学里,我们常常会遇到各种形式的运算符号,同学们，你们知道哪些运算符号？+、－、×、÷、=2.你们知道＋、－符号是怎么来的吗？远古时期，古希腊人和印度人都是把两个数字写在一起表示加法,把两个数字写得分开一些来表示减法.中世纪后期，欧洲商业逐渐发达.一些商人常在装货的箱子上画一个“+”，表示重量超过一些;画一个“-”，表示重量略微不足.文艺复兴时期，意大利的艺术大师达•芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“-”的记号.公元1489年，德国人威德曼在他的著作中正式用这两个符号来表示加减运算.后来经过法国数学家韦达的大力宣传和提倡，这两个符号才开始普及，到1603年终于获得大家的公认.3.你们见过除了+、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？实际上,除了四则运算外,我们还可以预先规定好符号的运算意义,形成新的对应方法,并按定义进行运算,注意有括号时仍然先算括号里的.今天，让我们一起来看看这些有趣的运算符号吧.教学目标1.理解概念,明确“定义新运算”表达的意思．2.明确“定义新运算”中的注意事项．3.能够熟练计算简单的定义新运算.4.能够运用一些速算技巧解决定义新运算.经典精讲定义新运算是指用一个新定义的运算符号和已知运算表达式表示一种新的运算．新定义的运算符号，如△、◎、※等等所表示的特定意义是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算.下面通过几个实例加以说明．如规定：ababab242424642424210一般情况下我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）对于规定的新运算不成立，但也有成立的，这时就要求我们去证明．2第7级下超常体系教师版\n第1讲知识点回顾1、计算下列各题.40＋160÷40288-144÷18+35（58+37）÷（64-9×5）【分析】原式=40+4=44原式=288-8+35=315原式=95÷（64-45）=95÷19=52、123181920=.57911131517192123．【分析】原式(120)20221202210．原式（723）（515）（911）（1317）（1921）1403、解下列一元一次方程：⑴x38；⑵8x3；⑶x39；⑷3x9．【分析】⑴x38解：x3383（根据等式基本性质1，方程两边同时减3）x83（移项，变号）x5⑵8x3解：8xx3x（根据等式基本性质1，方程两边同时加x）83x（移项，变号）3x83x383（根据等式基本性质1，方程两边同时减3）x5⑶x39解：x3393（根据等式基本性质2，方程两边同时乘以3）x93x27⑷3x9解：3x393（根据等式基本性质2，方程两边同时除以3）x93x3第7级下超常体系教师版3\n4.解方程：63x18解方程：15x306x39【分析】解：63x18解：15x306x39636x1815x306x396x181815x6x3930x09x9x1例题思路模块一：选择型定义新运算（例1、例2）模块二：公式型定义新运算（例3~例6）模块二：规律型定义新运算（例7、例8）例1定义新运算，.规定abba,ba如：588,7127.那么，2010200920082007....21________.(学案对应：超常班学案1)【分析】可以看出，箭头指向哪边，结果就是哪边.所有括号外的箭头都指向左边，结果肯定在最左边的括号中；最左边的括号指向2009，因此2009就是最终答案.例2已知x、y满足x[]y2009，{}xy20.09；其中[]x表示不大于x的最大整数，{}x表示x的小数部分，即{}xx[]x，那么x.（学案对应：超常123班学案1）【分析】根据题意，[]y是整数，所以x2009[]y也是整数，那么{}xx[]x0，由此可得y20.09{}20.090x20.09.所以[]y20，x2009[]y2009201989.例3我们规定a※b表示为3倍的a减去2倍的b，即a※b=3a-2b，例如：3※2=3×3-2×2=5；同时，a△b表示为3倍的a加上2倍的b，即a△b=3a+2b，例如：1△2=1×3+2×2=7.4第7级下超常体系教师版\n第1讲(1)计算：5※4；4※5；2△3；3△2.(2)请问：这两个运算有交换律吗？(3)计算：(8※7)※9；(2△3)△5.(4)请问：这两个运算有结合律吗？(5)计算：(5※4)△(3※2)△1.(6)若m※4=10，求m；若n△6=18，求n.(7)若(6※4)※m=14，求m；若(n△3)△4=35，求n.(8)计算：1※1+2※2+3※3+4※4+…+100※100.(9)计算：(2※3)△(4※6)△(6※9)△(8※12)△…△(200※300).（学案对应：超常班学案2，超常123班学案2）【分析】(1)5※4=5×3-4×2=7；4※5=4×3-5×2=2；2△3=2×3+3×2=12；3△2=3×3+2×2=13.(2)没有(3)(8※※7)9=(8×3-7×2)×3-9×2=12;(2△3)△5=(2×3+3×2)×3+5×2=46.(4)没有(5)（5※4）△（3※2）△1=95.(6)m※4=m×3-4×2=10,得m=6；n△6=n×3+6×2=18,得n=2.(7)(6※※4)m=(6×3-4×2)×3-m×2=14，得m=8；若(n△3)△4=(n×3+3×2)×3+4×2=35，得n=1.(8)1※1+2※2+3※3+4※4+…+100※100=1+2+3+…+100=5050.（此题可以直接套公式找规律，也可以先根据题目中a=b的特殊关系将定义化简为a※b=3a-2b=3a-2a=a，再代入）(9)先求括号内的值发现规律，可知(2※3)△(4※6)△(6※9)△(8※12)△…△(200※300)=0例4我们规定a△b=b(a+1)-a(b-1)，计算：(2△1)+(4△3)+(6△5)+(8△7)+(10△9)=（学案对应：超常班学案3）【分析】将定义整理可知a△b=ab+b-ab+a=a+b,所以原式=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.第7级下超常体系教师版5\n爱因斯坦和他的成功秘诀爱因斯坦是一位成就辉煌的科学家.他从小喜欢运动，一生坚持不懈，直到老年，人们尊重地称他“老年运动家”.他在学习或工作十分紧张的情况下，仍抽空参加多种文体活动，尤其喜欢爬山、骑车、赛艇、散步等体育活动.有人形容他工作时的劲头“简直像个疯子，似乎有使不完的精力”.爱因斯坦在瑞士苏黎世工业大学就读时，尽管每天学习任务紧张，仍抽出一定时间散步，节假日还要出外旅游或划船.爱因斯坦的这种爱好，不但是从兴趣出发，而且也能提高学习效率.他常对人说：学习时间是个常数，它的效率却是个变数，单独追求学习时间是不明智的，最重要的是提高学习效率.他认为参加文体活动，有助于获得充沛的精力，保持清醒的头脑.有一次，一个美国记者问爱因斯坦关于他成功的秘诀.他回答：“早在1901年，我还是二十二岁的青年时，我已经发现了成功的公式.我可以把这公式的秘密告诉你，那就是A=X+Y+Z!A就是成功，X就是努力工作，Y是懂得休息，Z是少说废话！这公式对我有用，我想对许多人也一样有用.”例5规定a△ba(a2)(a1)b,计算：（2△1）（11△10）______.（学案对应：超常123班学案3）【分析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．2a△ba(a2)(a1)b就变成了a△ba(a2)(a1)(a1)a．222所以2△12，3△23，…，11△1011，2222111223则原式2＋3＋4＋…＋111505．6例6对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示自然数.(1)求1100的值；(2)已知x1075，求x为多少？(3)如果（x3）2121，那么x等于几？【分析】(1)11001234(11001)5050(2)x10x(x1)(x2)(x3)(x101)10x4575,解得x36第7级下超常体系教师版\n第1讲(3)方法一：由题中所给定义可知，b为多少就有多少个加数．1216061，即：602121，则x360；60192021，即19360,所以x19．方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2y(y1)121,所以y60，那么也就有x360，xx1x260，所以x19．例7左下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是_____.（学案对应：超常123班学案4）【分析】运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是余数，1999÷9=222……1.所以C=1.例8黑猫警长在追踪嫌犯时，拾到嫌犯丢失的一张写有电话号码的破纸条（见下图）.电话：387963×3=38×7=87×7×7=6(8+7+3)×9=39在侦查过程中，黑猫警长进一步了解到算式中所使用的符号与通常表示的意义相同，进位也是十进制，但数字所表达的数都不同.据此，黑猫警长很快破译出了电话号码，这个电话号码是.【分析】因为7×7×7=6，三个一位数相乘等于一个不同的一位数可知7是2,6是8，因为8×7=8，可知8是0，又因为3×3=3，所以3是1.最后由(8+7+3)×9=39推出9是5，最后答案：10258.第7级下超常体系教师版7\n如图2,一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式：21222111的路线．图1图2【答案】如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减去1，向左前进一格要减去2，向右前进一格要加上2.知识点总结定义新运算是指用一个新定义的运算符号和已知运算表达式表示一种新的运算．新定义的运算符号，如△、◎、※等等这些特殊的运算符号，所表示的特定意义是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算.一般情况下我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）对于规定的新运算不成立，但也有成立的，这时就要求我们去证明．附加题1.一个特殊的计算器上面有个“X*”键，当计算器上显示的数是a时，按一下“X*”键后，计算器上的a立刻消失并显示一个新数2a+1.现在，这个计算器上显示5，那么连续按“X*”键_____次后，8第7级下超常体系教师版\n第1讲会显示95；接着再按“X*”键4次，计算器上显示的数将是____.【分析】2×5+1=11，2×11+1=23.2×23+1=47.2×47+1=95.这时已按4次.接着再按4次，分别显示2×95+1=191.2×191+1=383.2×383+1=767.2×767+1=1535.即按4次键，显示95.再按4次，显示1535.2.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.【分析】因为4※1=342110,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.家庭作业1.若AB*表示A3BAB，求5*7的值.【分析】A*B的结果是这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积.由A*B＝(A＋3B)×(A＋B)可知：5*7＝(5＋3×7)×(5＋7)＝(5＋21)×12＝26×12＝312.2.MN表示(MN)2,(20122014)2013____【分析】原式201220142*20132013*201320132013220133.定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值.【分析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算.由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7.4.已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,abab2,那么4(68)(35).【分析】原式4[(681)(352)]4[1313]4[13131]4254252985.规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b.那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=.【分析】196.“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3234；7⊙278：第7级下超常体系教师版9\n3⊙534567，……，按此规则，如果n⊙868，那么，n____.【分析】因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，⊙后面的数表示加数的个数，于是：n(n1)(n2)(n7)68，即8n2868.n5.7.已知AB*ABAB，则1*9*9*9**9*9．共10次运算【分析】1*9911919，1*9*919*919991920919199，1*9*9*91999919920091991999，根据规律可以推得1*9*9*9*919999999999．共10次运算8.有一个数学运算符号，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73?【分析】通过对248，5313，3511，9725这几个算式的观察，找到规律：ab2+,ab因此7327317.超常班学案【超常班学案1】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.求1991☉2000；(5☉19)☉19；(19☉5)☉5.【分析】1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.ac2540【超常班学案2】我们规定：adbc，求的值．bd16212540【分析】2521401652564011651621【超常班学案3】对于任意自然数x，y，定义运算☆如下：如果同奇同偶，则x☆y(xy)2；如果x，y奇偶性不同，则x☆y(xy1)2.求：①(19941995)☆☆(19951996)☆☆(19961997)☆☆☆(2012☆2013)②20062006201020122013☆☆☆☆【分析】①(19941995)☆☆(19951996)☆☆(19961997)☆☆☆(2012☆2013)19951996199719981999☆☆☆☆☆…☆2012☆20131996199719981999☆☆☆☆…☆20122013☆1997199819992000☆☆☆☆…☆20122013☆199819992000☆☆☆…☆20122013☆10第7级下超常体系教师版\n第1讲20122013☆2013②20062006201020122013☆☆☆☆2006201020122013☆☆☆200820122013☆☆2010☆20132012【超常班学案4】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8=8，9×9×9=5.9×3=3，(93+8)×7=837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+、-、×、÷、()、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同.请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57=______.【分析】由红毛族算式“9×9×9=5’’可知“9”是2，“5”是8.由“9×3=3”，知“3”是0.继而可推得“8”是1，“7”是5.于是可知“89×57”是12×85=1020，即“8393”.123班学案【123班学案1】用{}x表示数x的小数部分，[]x表示x的整数部分.如{2.3}0.3，[2.3]2.若a[]15.3b，{}ab7.8，则a，b.【分析】因为[]b是一个整数，且a[]15.3b，所以a的小数部分是0.3，即{}0.3a.又由于{}ab7.8，即0.3b7.8，求出b7.5.于是[]7b，a15.378.3.【123班学案2】对于数a、b、c、d，规定，<a、b、c、d>＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x>＝7，求x的值.【分析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可.将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知<1、3、5、x>＝7，故1＋x＝7，x＝6.【123班学案3】定义ab为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：714(791113)410，1810=(18+16+14+12+10)5=14.在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【分析】根据定义新运算先算括号里的得出：1999=(19+99)2=59所以方格中填的数一定大于80第7级下超常体系教师版11\n如果填的是个奇数：那么只能是80×2-59=101如果填的是个偶数：那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80×2-60=100因此所填的数可能是100或101.【123班学案4】如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如21#（21#x）=5，则x可以是________（x小于50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47，…，即形如21N+5，这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8与16.第二步求（21#x）8与（21#x）16.对于（21#x）8可分别解得，把21作被除数时：x13，把21作除数时为：x29，50，…，形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#x）16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x37，58，…，所有形如21N+16这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．12第7级下超常体系教师版