小学数学讲义秋季四年级第11讲超常体系

第11讲第十一讲火车过桥知识站牌四年级春季四年级春季流水行船相遇与追及综合四年级秋季火车过桥四年级秋季四年级暑假环形跑道追及问题掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入同学们出门旅游的时候坐过火车吗？你们了解车次前的“T”、“D”、“K”、“L”、“Z”该怎么念，代表什么意思吗？教学目标1.掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法；2.学会分析行程问题中不同物体之间的运动关系.经典精讲火车过桥问题实际上是很简单的相遇与追及问题.通过火车过桥看尾巴,可以把火车过桥问题转化成人的简单行程问题及人与人之间的相遇与追及问题.一、火车过桥完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长加一个火车长．完全在桥上：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长减一个火车长．一般我们所说的火车过桥是指完全过桥的这种情况．二、铁路旁的人与火车问题1．人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长．2．人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长．3．人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长．4．人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程这个过程实质还是人和火车的相遇、追及问题．此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的速度，长度为零的桥．2第7级下超常体系教师版\n第11讲三、超车、错车问题1．超车问题：是指同向行驶的两列火车从快车的车头与慢车的车尾对齐到快车的车尾与慢车的车头对齐的过程．这个过程我们可以把慢车看成是可以运动有长度的桥，是追及问题．所以追及的路程差为快车车长加一个慢车车长．2．错车问题：是指相向行驶的两列火车从车头对齐到车尾对齐的过程，这个过程我们可以把其中一辆车看成是可以运动有长度的桥，是相遇问题．所以相遇的路程和为快车车长加一个慢车车长．3．齐头问题：是指两列火车快车的车头与慢车的车头对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程．这个过程中追及的路程差为快车车长.4．齐尾问题：是指两列火车快车的车尾与慢车的车尾对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程．这个过程中追及的路程差为慢车车长.四、单位换算问题1千米/时(13.6)米/秒，1米/秒(13.6)千米/时知识点回顾1.浩浩从家到学校，每分钟行60米，一共走了10分钟，请问浩浩家到学校一共有多少米？【分析】600米2.小明距电线杆200米，他以每秒2米的速度走到电线杆处需要多少秒？【分析】2002100（秒）．3.小白和小黑这两名铁道工人相距20米，且分别以每秒2米的速度和每秒3米的速度同时出发，相向而行，两人相遇时用了多少秒？【分析】20(23)4（秒）．4.小白和小黑这两名铁道工人相距20米，且分别以每秒2米的速度和每秒3米的速度同时同向而行，小白在前，小黑在后，小黑多长时间追上小白？【分析】20(32)20（秒）5.甲乙两车分别从相距200千米的A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇，已知甲车比乙车每小时多走20千米，求甲乙两车的速度各是多少？【分析】乙车速度：（200÷2-20）÷2=40千米/时，甲车速度：60千米/时．例题思路第7级下超常体系教师版3\n模块一：火车与人（例1）模块二：火车与桥（例2、例3、例4）模块三：火车与火车（例5、例6、例7、例8）例1小新以每秒10米的速度沿铁道边小路骑车行进，⑴身后一辆火车以每秒100米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？⑵过了一会，另一辆火车以每秒100米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒．那么车长是多少？【分析】（1）这是一个追及过程，把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．根据追及问题的基本关系式：(A的车长B的车长)(A的车速B的车速)=从车头追上到车尾离开的时间，在这里，B的车长(也就是小新)为0，所以车长为：（10010）4360(米)；（2）这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．根据相遇问题的基本关系式，(A的车+B的车长)(A的车速+B的车速)=两车从车头相遇到车尾离开的时间，车长为：（10010）3330(米)．例21、已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，火车速度每秒40米，车长200米，（1）火车完全在桥时间是多少？（2）火车从开始上桥到完全下桥所用时间是多少？【分析】（1）（1000200）4020（秒）；（2）（1000+200）4030（秒）.2、已知一列长200米的火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进入隧道到完全出来共用60秒，整列火车完全在隧道里面的时间为40秒，求火车的速度？【分析】建议教师画图帮助学生分析解决．从火车进隧道到完全出来用60秒走的路程隧道长火车长，完全在隧道中的时间40秒走的路程隧道长火车长，可知60秒比40秒多20秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时为20210(秒)．车长为200米，所以车速：2001020(米/秒)例3一个车队以6米/秒的速度缓缓通过一座长250米的大桥，共用152秒．已知每辆车长6米，两车间隔10米．问：这个车队共有多少辆车？（学案对应:超常班学案1、超常123学案1）【分析】由“路程时间速度”可求出车队152秒行的路程为6×152=912（米），故车队长度为912250662(米)．再由植树问题可得车队共有车(6626)(610)142(辆)．4第7级下超常体系教师版\n第11讲例4小胖用两个秒表测一列火车的车速.他发现这列火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是多少米？（学案对应:超常班学案2，超常123学案2）【分析】火车40秒走过的路程是660米车身长，火车10秒走过一个车身长，则火车30秒走660米，所以火车车长为6603220（米）.火车的历史火车曾在人类交通历史上占据了一百多年的霸主地位．它的存在使人类的移动速度第一次超过马，从而改变了人类的生活方式，甚至促进了世界旅游业的兴起．1804年，一个名叫德里维斯克的英国矿山技师，首先利用瓦特的蒸汽机造出了世界上第一台蒸汽机车．因为这种车使用煤炭或木柴做燃料，所以人们叫它“火车”，这个名称也一直沿用至今．但是使用燃煤蒸汽动力的蒸汽机车有一个很大的缺点，就是必须在铁路沿线设置加煤、水的设施，还要在运营中耗费大量时间为机车添加煤和水．这些都很不方便，于是在19世纪末，许多科学家转向研究电力和燃油机车．1879年，德国西门子电气公司研制了第一台电力机车，重约954公斤，但它只在一次柏林贸易展览会上做了表演．1903年10月27日，西门子与通用电气公司研制的第一台实用电力机车才正式投入使用．1894年，德国研制成功了第一台汽油内燃机车，并将它应用于铁路运输，开创了内燃机车的新纪元．但这种机车烧汽油，耗费太高，不易推广．1924年，德、美、法等国成功研制了柴油内燃机车，并在世界上得到广泛使用．随着科技的飞速发展，世界各国并不满足于内燃机车，而是大力投入发展高速列车．例如法国巴黎至里昂的高速列车，时速达300公里；日本东京至大阪的高速列车时速也达到300公里以上．但是人们对这样的高速列车仍不满足，法国、日本等国率先开发了磁悬浮列车；我国也在上海修建了世界第一条商用磁悬浮列车线．这种列车悬浮于轨道之上，时速可达700－800公里．在可以预见的将来，火车必然还会在人们的生活中继续扮演重要的角色，把源源不断的旅客送到世界各地．例5一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米．⑴两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？⑵两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾超过慢车车头，需要几秒钟？第7级下超常体系教师版5\n【分析】⑴这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和：250263513(米)，两列车的速度和为151227(米/秒)，5132719(秒)，所以从车头相遇到车尾离开要19秒．(2)这是一个超车过程，也就是一个追及过程，路程差为两车车长和．所以超车时间为：（250263）（1512）171(秒)．例6现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间.（学案对应:超常班学案3）【分析】快车车长为(1810)1296（米），慢车车长为(1810)972（米），所以超车时间为(9672)(1810)21（秒）例7两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米．两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？（学案对应:超常班学案4，超常123学案3）【分析】首先统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010(米)，乙车的速度是每秒钟54000360015(米)．此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇．更具体的说是和乙车的车尾相遇．路程和就是乙车的车长．这样理解后其实就是一个简单的相遇问题．（1015）14350(米)，所以乙车的车长为350米．同理甲车车长为(1015)11275米，所以两列火车的错车时间为(350275)(1015)25秒.例8马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每秒5米．马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？（学案对应，超常123学案4）车走30秒车走6秒乙甲乙走甲乙二人的甲走32秒甲走6秒2秒间隔距离【分析】由“某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲”，可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度：（5615）62.5(米/秒)；而汽车与乙是一个相遇的过6第7级下超常体系教师版\n第11讲程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度：（1552）22.5(米/秒)．汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（52.5）（0.5602）80(米)，甲、乙相遇时间：80（2.52.5）16(秒)．一只瓢虫在一把长12厘米的直尺上匀速爬行．它从尺子一端的12厘米刻度线爬到尺子正中的6厘米刻度线花了12秒钟．然而它用同样的速度从中点的6厘米刻度线爬到尺子另一端的1厘米刻度线却只用了10秒钟，这是为什么呢？【答案】6厘米刻度线到1厘米刻度线之间只有5厘米知识点总结火车过桥问题实际上是很简单的相遇与追及问题.通过火车过桥看尾巴,可以把火车过桥问题转化成人的简单行程问题及人与人之间的相遇与追及问题.一、火车过桥完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长加一个火车长．完全在桥上：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长减一个火车长．一般我们所说的火车过桥是指完全过桥的这种情况．二、铁路旁的人与火车问题1．人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长．2．人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长．3．人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长．4．人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程这个过程实质还是人和火车的相遇、追及问题．此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的速度，长度为零的桥．第7级下超常体系教师版7\n三、超车、错车问题1．超车问题：是指同向行驶的两列火车从快车的车头与慢车的车尾对齐到快车的车尾与慢车的车头对齐的过程．这个过程我们可以把慢车看成是可以运动有长度的桥，是追及问题．所以追及的路程差为快车车长加一个慢车车长．2．错车问题：是指相向行驶两列火车从车头对齐到车尾对齐的过程，这个过程我们可以把其中一辆车看成是可以运动有长度的桥，是相遇问题．所以相遇的路程和为快车车长加一个慢车车长．3．齐头问题：是指两列火车快车的车头与慢车的车头对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程．这个过程中追及的路程差为快车车长.4．齐尾问题：是指两列火车快车的车尾与慢车的车尾对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程．这个过程中追及的路程差为慢车车长.四、单位换算问题1千米/时(13.6)米/秒，1米/秒(13.6)千米/时家庭作业1.小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头遇到小新到车尾经过他身旁共用18秒，已知火车全长342米，请大家算一算火车速度.【分析】本题相当于小新和火车的相遇问题，相遇路程为火车长度342米，相遇时间为18秒，则速度和为：3421819(米/秒)，火车速度：19217(米/秒)．2.小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头遇到小新到车尾经过他身旁共用了21秒．已知火车全长336米，求火车的速度．【分析】火车从小新身边经过的相对速度等于火车速度与小新速度之差：3362116(米/秒)，火车速度为：16218(米/秒)．3.一列火车长160米，全车通过一座桥需要30秒钟，这列火车每秒行20米，求这座桥的长度．火车桥火车火车行驶路程【分析】由图知，全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车30秒钟走过:2030600(米)，桥的长度为：600160440(米)．4.一列火车长450米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔3米，这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第101棵树用了0.5分钟．这列火车每分钟行多少米？【分析】第1棵树到第101棵树之间共有100个间隔，所以第1棵树与第101棵树相距3100300(米)，火车经过的总路程为：450300750(米)，这列火车每分钟行7500.51500(米)．8第7级下超常体系教师版\n第11讲5.快车A车长120米，车速是20米/秒，慢车B车长140米，车速是16米/秒.慢车B在前面行驶，快车A从后面追上到完全超过慢车B需要多少时间？【分析】从“追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头，“追上”时A落后B的车身长，“超过”时A领先A的车身长，也就是说从“追上”到“超过”，A的车头比B的车头多走的路程是：B的车长A的车长，因此追及所需时间是：(A的车长B的车长)(A的车速B的车速)．由此可得追及时间为：（120140）（2016）65(秒)．6.甲乙两列火车,甲车每秒行22米,乙车每秒行16米,若两车齐头并进,则甲车行30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行26秒超过乙车.求两车各长多少米?【分析】两车齐头并进：甲车超过乙车,那么甲车要比乙车多行一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行22-16=6米,30秒超过说明甲车长6×30=180米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于6×26=156米.7.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析】这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长,相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度.所以可先求出两车的速度和3851135（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间280358（秒）8.某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？【分析】通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长．车速为：（342234）（2317）18(米/秒)，车长：182334272(米)，两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程和速度和相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间为（7288）（1822）4(秒)，所以两车错车而过，需要4秒钟．超常班学案【超常班学案1】一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔8米.问：这个车队共有多少辆车？【分析】由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8）＋1=41（辆）.【超常班学案2】某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着以两倍的速度通过第二个长216米的隧道用了8秒钟，求这列火车的长度？【分析】如果通过第二个隧道时速度没有提高，那么将需要8216秒，所以火车原来的速度为360216241618(米/秒)．火车的长度为182436072(米)．第7级下超常体系教师版9\n【超常班学案3】甲乙两列火车,甲车每秒行25米,乙车每秒行15米,若两车齐头并进,则甲车行30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行26秒超过乙车.（1）求两车各长多少米?（2）两列火车相向行驶，从两车的车头相遇到车尾离开共需多少秒？【分析】（1）两车齐头并进：甲车超过乙车,那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行25-15=10米,30秒超过说明甲车长10×30=300米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于10×26=260米.（2）（300+260）÷（25+15）=14秒【超常班学案4】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是294米，慢车的车长是357米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是17秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析】先求出两车的速度和3571721（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间2942114（秒）.123班学案【超常123学案1】一列火车长500米，铁路沿线的每根电线杆之间相隔5米，这列火车从车头遇到第1根电线杆到车尾离开第201根电线杆用了2.5分钟．这列火车每分钟行多少米？【分析】第1根电线杆到第201根电线杆之间共有200个间隔，所以第1根电线杆到第201根电线杆相距52001000(米)，火车经过的总路程为：10005001500(米)，这列火车每分钟行15002.5600(米)．【超常123学案2】小英和小敏用两块秒表测量飞驶而过的火车的速度和车身长.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【分析】火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)，车身长是:20×15=300(米)【超常123学案3】两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列火车错车时间是9秒，求：（1）乙列车长多少米？（2）甲列车通过这个道口用多少秒？（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？【分析】（1）这是一个典型的相遇问题，已知两车的速度和相遇的时间，可以求出两车的长度和，（2520）9405(米)，那么乙列车的长度为：405225180(米)．（2）把道口看作是没有速度没有长度的火车，那么甲车通过道口的路程也就是甲列车的长，所以甲列车通过道口的时间为：225259(秒)．（3）小明坐在甲车上，实际上是以甲车的速度和乙车相遇，路程和是乙车的车长，所以小明看到乙列车通过用了：180（2520）4(秒)．10第7级下超常体系教师版\n第11讲【超常123学案4】甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离开甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过多长时间甲乙二人相遇？【分析】火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：火车长＝（V车-V人）×8；火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题火车长=（V车+V人）×7.可得8（V车-V人）＝7（V车+V人），所以V车=15V人.甲乙二人的间隔是：车走308秒的路－人走308秒的路，由车速是人速的15倍，所以甲乙二人间隔15×308－308＝14×308秒人走的路.两人相遇再除以2倍的人速，所以得到7×308＝2156秒第7级下超常体系教师版11