第3讲第三讲几何计数初步知识站牌四年级春季四年级寒假统筹与最优化包含与排除四年级秋季几何计数初步四年级秋季四年级暑假体育比赛中的数学加乘原理初步结合加乘原理数图形漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入数学的发明是从计数开始的，那么是谁最早发明计数的呢？结绳计数的发明，相传是老祖先伏羲受到渔网启发而想到的.那时没有人知道什么叫数，也没有人能够计数.伏羲联想到结渔网时绳子上的结头可以分出很多，于是就取来一条软绳，在渔网的绳子上打结以计数.这样的方法很快就被流传开，粗粗细细打满结的绳子就成了一个记录本，不单可以用来记录打鱼的收成，也可以把其它收获的东西一一记录下来.后来人们觉得结绳计数做起来太麻烦，就想到了新办法，在树枝上刻下痕迹.慢慢刻痕计数的方法逐步推广，就形成了今天的图形和文字.今天就让我们一起来学习数图形.教学目标1.认识几何中的计数问题，体会到按一定规律去数，可以做到不重复、不遗漏，发展有序思维2.引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律3.掌握分类的方法有规律地解答几何中的计数问题4.帮助学生养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步掌握通过观察、思考探寻事物规律的能力经典精讲本讲我们重点练习各种类型的“数格子”、“数组合图形”，初步学习归纳递推在计数中的应用．本讲也是杯赛热点和难点，学生在学习本讲时容易轻敌，错误率很高，因此应该注重通法的学习，强化模型意识.1.在数组合图形时，可以先将其分成若干基本图形，先数基本图形；但注意在把基本图形组合起来的时候，并不是基本图形的简单相加，因为可能会有重复或有新的图形出现．2.注意分类、排除法、容斥关系和递归思想在计数中的运用．3.基本图形数法总结：数线段的方法一条线段上如果有n条基本线段，则线段总数为n(n1)(n2)…+1条.数正方形个数分类讨论，一般分成11,22,33,44,55mn型（m大于n），正方形个数是：nm(n1)(m1)(n2)(m2)1(mn1)；nn方阵型，正方形个数是：nn(n1)(n1)(n2)(n2)2211.长方形个数为：长边上的线段数×短边上的线段数.2第7级下超常体系教师版\n第3讲知识点回顾1.下图中共有几条线段？【分析】两点确定一条线段，则共有线段432110（条）．2.下图中共有几个角？【分析】从一点出发的两条线段确定一个角，则共有角432110（个）．3.下图中共有几个三角形？【分析】三角形的个数与AB边上的线段数一样多，也与C点处角的个数一样多，所以可按数线段或数角的方法来数，共有432110（个）．ABC4.图中共有个不同的三角形．【分析】只由1个小三角形组成的有6个；由2个小三角形组成的有3个；由3个小三角形组成的有6个；还包括1个最大的三角形，共有6+3+6+1=16个．第7级下超常体系教师版3\n例题思路模块一：三角形计数（例1~例3）模块二：长方形计数（例4，例5）模块三：正方形计数（例6~例8）例1数一数，下图中各有多少个三角形？图1图2图3图4图5【分析】(1)图中共有432110个三角形.(2)图中共有(4321)220个三角形.(3)图中共有(4321)330个三角形.(4)图中共有30434个三角形.（就在上题基础之上增加了四个以斜线和底边组合而成的三角形）(5)图中共有34104149个三角形（.在图4基础上增加了下面的10个三角形和上下合起来看的4个，还有斜线与下面图形结合的1个）4第7级下超常体系教师版\n第3讲例2数一数，下图中三角形共多少个？(学案对应：超常班学案1、超常123班学案1)【分析】（按形状分类）类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．例3将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图，问图中共有多少个三角形？(学案对应：超常班学案2、超常123班学案2)【分析】正立的：边长是1有：12728边长是2有：12621边长是3有：12515…边长是7有：1个倒立的：边长是1有：12621边长是2有：123410边长是3有：123因此共有：2821151063121103118个三角形.第7级下超常体系教师版5\n例4数一数，下面各图中有多少个长方形？图1图2图3【分析】图（1）中共有(54321)(21)45个长方形.图（2）中共有(54321)(321)90个长方形.图（3）中共有(7654321)(321)(321)(321)58个长方形.自然界中的几何蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料.蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小.丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精确的计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒，而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学.因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少.真正的数学“天才”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”.它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”.天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天.例5由20个边长为1的小正方形拼成的一个45的大长方形中有一格有“☆”，则图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个.6第7级下超常体系教师版\n第3讲(学案对应：超常班学案3、超常123班学案4)【分析】根据鼠标法，☆左上角共有6个点，右下角有8个点，所以含有“☆”的长方形共有6848（个）.例6在下面边长为8的大正方形中，(1)一共有多少个正方形？(2)有多少个田字形？(3)有多少个形？(4)有多少个形？(5)有多少个面积为1.5的直角三角形？(6)有多少个面积为3的直角三角形？【分析】(1)8×8+7×7+6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=204（个）；(2)7×7=49（个）；(3)每个田字格里有4个L形，49×4=196（个）；(4)6×8×2=96（个）；(5)96×4=384（个）；(6)对应2×3的长方形或是1×6的长方形，2×3的长方形共有6×7×2=84（个），1×6的长方形共有3×8×2=48（个），而每个长方形中有4个面积为3的直角三角形，（84+48）×4=528（个）.第7级下超常体系教师版7\n例7下图中共有____个正方形．(学案对应：超常班学案4)【分析】每个44正方形中有：边长为1的正方形有42个；边长为2的正方形有32个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有12个；总共有4232221230(个)正方形．现有5个44的正方形，它们重叠部分是4个22的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130．例8一块木板上有13枚钉子（如左下图）．用一根橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）．请回答：可以构成多少个正方形？(学案对应：超常123班学案4)【分析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有5个、1个、4个、1个，共11个．8第7级下超常体系教师版\n第3讲3根火柴棒可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已知大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，摆成这个图形一共需要多少根火柴棒？…………空……【分析】所有的火柴棒共有3种方向：“╱”、“╲”和“—”．大三角形最外面每条边都是15根火柴棒，最里面每条边都是12根火柴棒，中间的火柴棒就从3种方向分别计算个数：“╱”的有27根，“╲”的有27根，“—”的有27根，所以这个图形共需要153123273162根．附加题1.在8×8的表格中可以数出多少如图所示的“凸”字形图形?(“凸”字形图形可旋转)【分析】先考虑没有经过旋转的“凸”字形图形，在一个3×8的方格里，可以找到7个，而在一个8×2的方格里，可以找到6个，而由于“凸”字形图形可以通过旋转形成四种图形，7×6×4＝168，所以一共可以数出168个．2.下图中三角形共有个．第7级下超常体系教师版9\n【分析】不可分割的三角形有7个．由2个不可分割的三角形构成的三角形有6个．由3个不可分割的三角形构成的三角形有4个．由5个不可分割的三角形构成的三角形有2个．由7个不可分割的三角形构成的三角形有1个．一共有三角形7642120个．知识点总结1.数线段的方法：一条线段上如果有n条基本线段，则线段总数为n(n1)(n2)…+1条.2.数正方形个数分类讨论，一般分成11,22,33,44,55mn型（m大于n），正方形个数是:nm(n1)(m1)(n2)(m2)1(mn1).nn方阵型，正方形个数是:nn(n1)(n1)(n2)(n2)2211.3.长方形个数为:长边上的线段数×短边上的线段数.家庭作业1.下图中共有个三角形．【分析】20个.2.下图中共有个三角形.【分析】一共有10个三角形．五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另外还有5个较大的三角形，所以共有5510（个）三角形．3.下图中共有个正方形．10第7级下超常体系教师版\n第3讲【分析】设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有6个，边长为2的正方形有5个，边长为4的正方形有2个，边长为6的正方形有1个，边长为8的正方形有1个，所以总共有6+5+2+1+1=15（个）．4.图中内部有阴影的正方形共有个．【分析】面积为1的正方形有8个，面积为4的正方形有8个，面积为9的正方形有8个，面积为16的正方形有2个，共计26个．5.数一数，下图中共有_____个长方形（不包括正方形）【分析】里面一共有60个图形，其中有20个正方形，所以有40个长方形6.如图，18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.那么图中包含“＊”的各种大小的正三角形一共有多少个？【分析】按大小数，有6个.7.图中共有几个长方形？【分析】6×3×2+4=408.图中，不含“A”的正方形有个．第7级下超常体系教师版11\nA【分析】面积为1的有15个，面积为4的有7个，面积为3的有2个，共24个．超常班学案【超常班学案1】数出下图中三角形的个数.【分析】本图是由两个五边形内接五角星的图形叠加而成的，其中每一个单独来看都是由35个三角形组成的，当两图叠加时，又多出5315个，共计3521585个．【超常班学案2】如图是半个正方形，它被分成小的等腰直角三角形，则图中正方形有个，三角形有个．【分析】设图中最小的三角形的面积是1，则面积是2的正方形有6个；面积是4的正方形有3个，面积为8的正方形有1个，所以图中共63110个正方形．面积是1的三角形有18个，面积是2的三角形有15个，面积是4的三角形有8个，面积是8的三角形有3个，面积是9的三角形有2个，面积是18的三角形有1个，所以图中共有1815832147个．【超常班学案3】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【分析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（个）不同的长方形．【超常班学案4】数一数，图中共有（）个正方形.12第7级下超常体系教师版\n第3讲222222【分析】6543214(63)127123班学案【超常123班学案1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如下图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形有多少个？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【分析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)3×2=6(个)3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个)1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．第7级下超常体系教师版13\n【超常123班学案2】数一数图中共有多少个三角形？ABC【分析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2×59=118（个）．【超常123班学案3】图中含有“”※的长方形总共有________个．※※【分析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右下※号的长方形有：662624个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834个．14第7级下超常体系教师版\n第3讲【超常123班学案4】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用一根绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．图（1）图（2）图（3）【分析】先看横着的正方形如图⑴，可以得到94114个正方形，再看斜着的正方形如图⑵可以得到4个正方形，如图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220个正方形．第7级下超常体系教师版15
