小学数学讲义暑假四年级超常第3讲等差数列进阶

第3讲第三讲等差数列进阶知识站牌五年级暑假四年级春季分组与配对整数与数列四年级暑假等差数列进阶三年级春季等差数列初步三年级寒假速算与巧算之四则运算复杂的等差数列问题;等差数列的应用与构造漫画释义第7级上超常体系教师版1\n课堂引入观察下列数列,指出它们的共同特征（1）0,5,10,15,20,（2）21,24,27,30,（3）50,46,42,38,34,（4）1,1,2,2,3,5,3,5,8,4,7,11,（5）2,2,2,2,2,【分析】（1）,（2）,（3），（5）都是基本等差数列，（4）是三个等差数列的综合备注：老师在此处可开始等差数列的复习：可用自然数列和奇数等差数列来进行复习：项数、首项、末项以及求和（包括中项定理）的计算方法，因为这两个数列应用很多，此处可跟孩子强调求和公nn(1)2式：自然数列的和=，从1开始奇数的等差数列的和=n2教学目标（1）熟练掌握等差数列的基本公式；（2）灵活运用等差数列公式解决问题.（3）简单构造等差数列经典精讲等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用sn表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n－1)×d项数公式：n=(an－a1)÷d+1公差：d=（an－a1）÷(n－1)数列和公式：sn=(a1+an)×n÷2关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的关系式子.2第7级上超常体系教师版\n第3讲基本题型：1.求项数（n）；2.求总和（sn）；3.求单项（an）；4.求公差（d）.例题思路模块一：等差数列拓展例一：双重等差数列和分组构造等差数列例二：二次等差数列模块二：等差数列简单应用例三：等差数列在应用题中的简单运用例四：等差数列在数阵中的运用例五：等差数列在整除性问题中的运用例六：等差数列在几何计数中的运用模块三：等差数列的变形应用例七、八：等差数列在应用题中的复杂应用例1计算：（1）12457810245247248250（2）10009999989979969957654321．【分析】（1）方法一：此题不是一个直接的等差数列，我们观察可知，缺某些项，所以我们可以把此数列变成等差数列：123456724724824925036912249=3137510458=20917方法二：把这个数列拆分为两个数列1471013247250和25811245248，对它们分别求和：原式（1250）842（2248）8321054210375=20917．（2）本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：10001997171411．这是100099774和1111的组合，分别计算结果即可：原式（10004）33321333167500例2有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，，问这列数第101个数是多少?【分析】从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，，依此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：第1个数：11，第2个数：211，第7级上超常体系教师版3\n第3个数：422112，第4个数：7341123，第5个数：11474112311234，第6个数：16511511234112345，第n个数：112345(n1)．第101个数为：112345(1011)1123451005051公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出。那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10、…等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做“三角形数”。如图所示：不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为a（i=1、i2、3、…、n）则：a11a1232a12363a1234104a100123451005050就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从1开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数，而且正好是第n个三角形数。nn(1)∴1234n24第7级上超常体系教师版\n第3讲例3（1）1～100中是5的倍数的数的和是多少？（2）1～100中除以5余2的数的和是多少？（3）1～100中不是5的倍数的和是多少？（4）1～100中既是5的倍数也是2的倍数的数的和是多少？（5）1～100中是5的倍数或是2的倍数的数的和是多少?（6）1～100既不是5的倍数也不是2的倍数的数的和是多少？【分析】1、5100202=10502、297202=9903、（1100的和）-（5的倍数的和）=50501050=40004、就是求10的倍数的和，10100102=5505、容斥原理，5的倍数+2的倍数-10的倍数=1050+2100502550=30506、5050-3050=2000例4如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【分析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比较慢，这里不写具体过程）方法二：先算出1到65的自然数和，再减去数列6，12，18，，60的和：（165）652（660）10221453301815方法三：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数．⑴第6列作为中间项，求和再乘以项数：（3132333435）111815⑵第3行为中间数列，求和再乘以项数：（39152127333945515763）51815方法四：因为数表中数关于中心对称，所以，和中间数个数（165）25533551815．例5如图所示，白色和黑色的三角形按如下顺序排列．已知第一个图形有1个黑色三角形，第二个图形有3个黑色三角和1个白色三角形，……第7级上超常体系教师版5\n(1)(2)(3)(4)（1）第七个图形里有多少个白色三角形？（2）第七个图形里有多少个黑色三角形？（3）从第一个图形到第七个图形一共有多少个小三角形？（4）第几个图形黑色三角形与白色三角形相差12个，其中白色三角形有多少个？（5）如果我们用若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成上图的形状，照这样摆下去，到第十个图形，一共需要多少根火柴棒？【分析】（1）根据图形规律，第七个等边三角形里白色有1+2+3+4+5+6=21。（2）第七个等边三角形里黑色有1+2+3+4+5+6+7=28（3）14916253649=140（4）由前面的规律发现：黑色与白色的个数差几就是第几个图形。所以此题就是问第12个图形里有多少个白色三角形。即：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。（5）如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，310．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10．求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930（330）102335165(根)所以，一共要放165根火柴例6六个好朋友A、B、C、D、E、F比赛吃汉堡，比赛规则很简单，那就是每一个人都必须不断地、尽量地吃，直到吃不下去为止，看看最后谁吃得最多，A首先退出了这场比赛——他实在吃吐了，成为另外五人的笑料，剩下每人吃了3个后，B也退出比赛，每人又吃了3个，C终于无法坚持，直到F撑不下去了，一旁的店主替他们计算了一下：这六个人一共吃了63个汉堡，那么，每个人各吃了多少个？【分析】第一次六人共吃了6335343332318（个），所以A吃了1863（个）B吃了336（个），C吃了639（个），D吃了9312（个），E吃了12315（个），F吃了15318（个）6第7级上超常体系教师版\n第3讲例7有37个人排成一行依次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前一人报的数加3．报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011．那么是第___________个报数的人报错了．【分析】可以采用鸡兔同笼的办法.假设这37个人都报对，则这37个人报的数加起来恰好是1(13)(123)(133)(1363)373(12336)3719982035这比实际的和多2035201124从开始报错的那个人起，每个人比该报的正确的数少报6，说明报错的数有2464人，所以报对的有33人，故而是从第34个人开始报错.例8盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里．这时盒子里共有多少只乒乓球？【分析】一只球变成3只球，实际上多了2只球．第一次多了2只球，第二次多了22只球……第十次多了210只球．因此拿了十次后，多了21222102(1210)255110(只)．加上原有的3只球，盒子里共有球1103113(只)．综合列式为：(31)(1210)32[(110)102]3113(只)．火车站的钟声小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床．车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下．假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？分析与解：从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”，共计（3+1）×5=20秒．当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点．因此，答案应是：（3＋1）×6=24（秒）．第7级上超常体系教师版7\n附加题1.对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？【分析】可以观察出这个数列是公差为3的等差数列．根据刚刚学过的公式：第n项首项公差（n1），项数(末项首项)公差1，第n项第m项公差（nm）第10项为：43（101）42731，49在数列中的项数为：（494）3116，第100项与第50项的差：3（10050）150．2.下列数阵中有100个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【分析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比较慢，这里不再写具体过程）方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数．先看行，因为是偶数行没有中间项，首项111220（1120）102155，末项202129（2029）102245或者155（101）10245．这100个数之和（155245）1022000．按列算同上．方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和2010020003.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【分析】从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201。答：共有201个球。8第7级上超常体系教师版\n第3讲知识点总结基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用sn表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n－1)×d项数公式：n=(an－a1)÷d+1公差：d=（an－a1）÷(n－1)数列和公式：Sn=(a1+an)×n÷2基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求第四个.家庭作业1.计算（246198419861988）（135198319851987）【分析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有994项原式（21）（43）（21）（43）(19881987)1111994994个12.一个等差数列的第1项是21，前7项的和为105，这个数列的第10项是多少？【分析】第四项为105715，21156，216333.已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，，问2009是这个数列的第多少项？【分析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，奇数项的排列规律是：2、4、6、8，方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：（20091）21005，所以在整个数列中，2009的项数是100522010，所以2009是这个数列的第2010项．方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数1，偶数的项数是该数1，所以2009是这个数列的第200912010项．4.电子跳蚤在一条标有刻度(单位:毫米)的尺上某点K,向右跳所显示的刻度越来越大,第一步从K向左跳1毫米,第二步再向右跳2毫米,第三步再向左跳3毫米,第四步再向右跳4毫米,,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在尺子上的刻度所表示的数恰好是205毫米,则电子跳蚤开始时第7级上超常体系教师版9\n落在尺上的点K的刻度是多少毫米？一共跳了多少毫米？【分析】1由题意可知，K12345699100205，K155(2)123451005050毫米5.已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？【分析】第8项为4501530，第18项为(750450)560，那么公差为(6030)103；首项为307396.从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有_____个？【分析】因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数（993401）81757.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【分析】方法一：不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：（310）8252（根）方法二：我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）这个槽内的钢管共有8层，每层都有31013（根），所以槽内钢管的总数为：（310）8104（根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104252（根）8.有100个人排成一行报数，第一个人报1，后面每一个人报的数都是在前一个人报数的基础上加3．中间有一个人报错了，应该加3结果加了1，最后把这100个人报的数加起来等于14884．那么是第________个人报错了．【分析】与例题相同的方法.答案是6810第7级上超常体系教师版\n第3讲超常班学案【超常班学案1】观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律，求：（1）第20组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和.【分析】1、根据题意，观察末位：第1组为3，第2组为5，第3组为7，第4组为9，第20组的最后一个数为41，所以第20组的三个数的和为：39+40+41=120；2、第1组的所有数和为6，第2组的所有数和为12；第3组的所有数和为18…第20组的所有数和为120.612020所以，前20组的所有数的和为：12602【超常班学案2】有一列等差数列，它的前7项的和为30，前14项的和为100，它的前21项的和是多少？【分析】根据题意可知第8到14项的和是100-30=70，由于这是一个等差数列，所以前7项的和，第8到14项的和，第15到21项的和也成等差数列（公差为原公差的49倍），所以第8到14项的和是这个新等差数列的平均数，即前21项的和为703210【超常班学案3】建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层有2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【分析】如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道这是一个等差数列．2106是第（21062）41527层，中间一层是第（5271）2264层，那么中间一层有：2（2641）41054块，这堆砖共有：1054527555458(块)．【超常班学案4】小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的数是。【分析】少的这个数应该给每一个数都补上1，才能使结果正确，共要补上2006，因此这个漏掉的数是2006。第7级上超常体系教师版11\n超常123班学案【超常123班学案1】从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同的取法？【分析】1至100的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过100的和共有101～199共99种取法．和是199的取法：100+99．和是198的取法：10098．和是197的取法：10097，9998．和是196的取法：10096，9997．和是195的取法：10095，9996，9897．和是194的取法：10094，9995，9896．……以此规律作进一步推想：和为193的取法有4种，和为192的取法也有4种；和为191的取法有5种，和为190的取法也有5种；……，和为103的取法有49种，和为102的取法也是49种；和为101的取法有50种．和超过100的取法种数总和是：112233494950（12349）250（149）49225050495050502500(种)【超常123班学案2】在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【分析】他们的平均分为656÷8=8282+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6……若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意；若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意；若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分。【超常123班学案3】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。12第7级上超常体系教师版\n第3讲【分析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆。【超常123班学案4】小马虎计算51525360，抄写时不慎漏写一个加号，把两个两位数当成一个四位数，计算结果正好是6000，这个四位数是.【分析】51525360(5160)102555，而算错之后的结果比它多算了60005555445.设被漏写加号的两个数分别为a和a1，则100a(a1)[a(a1)]5445a55，所以这个四位数是5556.第7级上超常体系教师版13