小学数学讲义暑假四年级超常第9讲年龄问题进阶

第9讲第九讲年龄问题进阶知识站牌六年级暑假五年级寒假应用题综合比例应用题四年级秋季列方程解应用题四年级暑假年龄问题进阶三年级春季年龄问题掌握复杂的年龄问题，并会运用所学知识解决一些实际问题．漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1、能够熟练运用画线段图的方法解决年龄问题。2、进一步学习复杂的年龄问题3、能够运用所学知识解决一些实际问题经典精讲1、一个原则——年龄差不变；和差倍份四个要素，“差”在年龄问题里最重要，我们就是根据年龄差不变原则，将其转化为基本的和差倍（份）问题.2、一个特点——年龄倍数在变；随着时间推移，大年龄与小年龄之间的倍数不断的变化.3、两项注意：（1）注意年龄差不变是有条件的——即“人不变”.（2）注意搞清楚已知条件和问题所问的时间差异——主要涉及几年前、今年、几年后三个时间段因此在求解的时候必须搞清楚时间的对应，这是学生在考试时常见的易错点.4、两个重要工具——线段图、数轴.有时，我们要用到“线段重组”的技巧（主要针对变倍问题）.课堂引入今天上课老师来跟同学们玩个游戏：(1)首先，随意挑一个非0数字（1、2、3、4、5、6、7、8、9）(2)把这个数字乘上2(3)然后加上5(4)再乘以50(5)再加上1763(6)最后一个步骤，用这个数目减去你出生的那一年。现在，你的手中一定有一个三位数的数字。第一位数字是你一开始选择的数目，接下来的二位数，就是你的年龄.2第7级上超常体系教师版\n第9讲例题思路模块一：和倍、差倍（例1、例2）模块二：复杂年龄问题（例3—例4）模块三：综合类年龄问题（例5——例8）例1母亲今年25岁，女儿今年1岁，几年后母亲的年龄是女儿年龄的整数倍？【分析】第一种情况，是一年后，母亲26岁，女儿2岁，母亲是女儿的13倍第二种情况，是两年后，母亲27岁，女儿3岁，母亲是女儿的9倍第三种情况，是三年后，母亲28岁，女儿4岁，母亲是女儿的7倍第四种情况，是五年后，母亲30岁，女儿6岁，母亲是女儿的5倍第五种情况，是七年后，母亲32岁，女儿8岁，母亲是女儿的4倍第六种情况，是十一年后，母亲36岁，女儿12岁，母亲是女儿的3倍第七种情况，是二十三年后，母亲48岁，女儿24岁，母亲是女儿的2倍例2小虎的爸爸比妈妈大4岁，今年小虎的父母年龄之和是小虎的7倍，3年后小虎的父母年龄之和是小虎的6倍，那么小虎的妈妈今年多少岁？【分析】今年小虎的父母年龄之和是小虎的7倍，3年后小虎的父母年龄之和刚好是小虎的6倍，则小虎今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小虎增加年龄的6倍．即“小虎今年的年龄”3236，小虎今年的年龄：18612(岁)．小虎父母今年的年龄和：12784(岁)．小虎的爸爸比妈妈大4岁，所以小虎的妈妈今年的年龄：(844)240(岁)．例3小明一家有4口人：爷爷、爸爸、妈妈和小明．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁．已知这家人今年年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明和他爷爷的年龄之差为______岁．【分析】由12610719,45191知小明今年5－1=4岁，妈妈42630岁，爷爷和爸爸年龄和是12643092岁，所以，爸爸现在(9226)233岁，爷爷现在332659岁．小明与爷爷的年龄差是55岁．第7级上超常体系教师版3\n例4甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．”问：甲、乙二人现在各多少岁？【分析】法一：从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半⑴；乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即甲今＋年龄差＝2乙今－7⑵．把甲乙的对话用下图表示为：由⑴得甲今＝2乙今－2年龄差⑶由⑵得甲今＝2乙今7年龄差⑷由⑶⑷年龄差＝7(岁)从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．所以，乙现在年龄：7321(岁)，甲现在年龄：7428(岁)．法二：根据题意画出示意图（相同的下标代表相同时间的各自年龄）：乙3甲3乙2甲2乙1甲1由图知年龄差是7岁．所以，乙现在年龄：7321(岁)，甲现在年龄：7428(岁)．例5A、B、C、D、E五人坐在一起聊天.小明想知道这五个人的年龄和.可五人都没有直接回答.E说：“A、B、C、D四个人的年龄和101岁”.D说：“B、C、E三个人的年龄和105岁”.C说：“A、B、D、E四个人的年龄和115岁”.B说：“A、D、E三个人的年龄和80岁”.A说：“A、C、D三个人的年龄和66岁”.请问：五人的年龄和是岁.4第7级上超常体系教师版\n第9讲【分析】ABCDE年龄和111110111180111111511166111105从整体看问题：A共用4次，B共用3次，C共用3次，D共用4次，E共用3次，所以将BCE再次上一次，他们就都各用4次，所以五人的年龄和是：101+80+115+66+10524143.例6今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍．过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍．又过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求祖父今年多少岁？（祖父年龄不超过100岁）【分析】今年爷爷年龄是小明的6倍，所以年龄差为5倍小明的年龄；若干年后，爷爷年龄是小明的5倍，所以年龄差为4倍此时小明的年龄；再若干年后，爷爷年龄是小明的4倍，所以年龄差为3倍此时小明的年龄；所以，年龄差为5、4、3的倍数.[5,4,3]=60，所以年龄差为60的倍数，但是我们注意实际上年龄差不超过100，所以年龄差就是60.现在，年龄差是小明的6倍，所以小明的年龄为60(61)12岁，爷爷的年龄为12672岁.所以，小明今年为12岁，爷爷年龄为72岁.例7一家四口人今年的年龄和是96岁,他们当中有3人的年龄为完全平方数.15年后，他们当中还有三人的年龄是完全平方数，问他们今年的年龄各是多少？【分析】由题意，必有两个人的年龄在今年和15年后还是完全平方数.96以内的完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81.这其中只有1和49在加上15之后仍是完全平方数：2115164，24915648而9614946，说明另两个人的年龄之和为46岁.4644293716302521361022115366这其中，只有21015255所以，他们今年的年龄为1,49,25和21岁或1,49,36和10岁.第7级上超常体系教师版5\n十二生肖——蛇的故事很久很久以前，蛇和青蛙是朋友，不过蛇那时长有四条腿，青蛙却没有腿，靠肚子蠕动爬行，可是蛇好吃懒做，青蛙十分勤快,它不但要捉虫给蛇吃，还帮助人们捕害虫。因此人类当然厌恶蛇，喜欢青蛙了。蛇发现人们讨厌他，他开始仇视人，它见人就咬，见畜就吃，弄得人间很不安宁。土地神见状，告到了天宫。玉帝将蛇传上天宫，劝他改恶从善，蛇却口出狂言，决无悔改之意。玉帝大怒，令神兵砍去蛇的四条腿，免得害人，从此，蛇就失去了四条腿，玉帝又见青蛙有功于人，将蛇的四条腿赐给青蛙。青蛙有了腿之后，更为勤快了。蛇知错改过，决心重新改造自己，也开始吃害虫并拖着长长的躯体，一声不响地为人类做好事，蛇还跟着龙学治水，蛇死后，也将自己的躯体献给人类，作为药物救治了许多病人。玉帝见蛇知过能改，奋发向上，在策封十二生肖时，让它排在龙的后面，当上了人类的生肖。蛇当上生肖以后，当然不主动伤人了，一旦恶念萌发，便将恶念化成一层皮蜕下，以示重新作人。尽管如此，它还是对青蛙拥有它的四条腿怀恨在心，因此，直到今天，蛇还是见青蛙就咬。青蛙自知占了蛇的便宜，于是见了蛇就会吓得发抖，急急忙忙地躲开。我们一般人提起蛇都会想到它的狠毒，都会产生一种莫名其妙的恐惧感，其实蛇并不是真正的那么可怕。蛇本身也有很多正面的象征，第一个象征意义是幸运、吉祥和神圣；第二个正面的象征意义是追求爱情和幸福；第三个正面的象征意义是长寿、生殖和财富。例8五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大6岁.已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人为______岁．【分析】如果最小的比85只小一岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于85，而最大的比85大5(61)岁，这样平均年龄必超过85．如果最小的比85小2，那么可能还有一人比85小1，但最大的比85大4(62)岁，而412，从而使年龄和仍超过85．如果最小的比85小3，那么最大的比85大3(63)岁，两人的平均年龄正好是85，其他三人如果年龄是84、85、86(或83、85、87)那么五人平均年龄正好是85．如果最小的比85小4或小5，这时平均年龄必小于85(与开始两种情况的推理类似，只是将大、小互易)，因此，最大的年龄一定是88(853)岁.6第7级上超常体系教师版\n第9讲下面是写给老寿星的一副祝寿对联，请据此猜出老寿星的年龄。花甲重逢，又加三七岁月，古稀双庆，更多一度春秋。答案：花甲是60岁，两个花甲就是120岁，加上3×7=21，所以共141岁.附加题1、爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？【分析】法1：操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁；②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是x岁，则哥哥是2x岁．则妹妹到34岁时，爸爸是3434x68x岁，哥哥是2x34x34x岁．根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：34x35068x．可以得到x4．则此时妹妹4岁，哥哥是8岁，爸爸是34岁．③此时三人的年龄和为483446，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过(6446)36岁．则现在妹妹是4610岁，哥哥是8614岁，爸爸是34640岁．法2：年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为x岁，哥哥和妹妹的年龄差为y岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍x时，哥哥年龄为x31岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为y2岁，根据题目给出的条件有以下等量关系：xy9x262，这个二元一次方程组的解为．y4yyx34如果现在妹妹的年龄为z岁，那么有zz4z42664．解得z10，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁．2、老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍.4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？【分析】题目中数量关系较不明确，但等量关系明显，因此优先考虑方程.第7级上超常体系教师版7\n设老陈有n个儿子，今年儿子们的年龄和为k岁.4.5k17(kn)k84.5k42(k4)nn3所以老陈有3个儿子.知识点总结1、一个原则——年龄差不变；和差倍份四个要素，“差”在年龄问题里最重要，我们就是根据年龄差不变原则，将其转化为基本的和差倍（份）问题.2、一个特点——年龄倍数在变；随着时间推移，大年龄与小年龄之间的倍数不断的变化.3、两项注意：（1）注意年龄差不变是有条件的——即“人不变”.（2）注意搞清楚已知条件和问题所问的时间差异——主要涉及几年前、今年、几年后三个时间段.因此在求解的时候必须搞清楚时间的对应，这是学生在考试时常见的易错点.4、两个重要工具——线段图、数轴.有时，我们要用到“线段重组”的技巧（主要针对变倍问题）.家庭作业1.猴哥哥与猴弟弟3年后年龄之和是12岁，猴弟弟今年的年龄等于两人的年龄差.小朋友，你知道他们兄弟俩今年各多大吗？【分析】猴弟弟今年的年龄等于两人的年龄差，说明今年猴哥哥的年龄是猴弟弟年龄的2倍．猴哥哥与猴弟弟今年的年龄和：12326(岁)，猴弟弟今年的年龄：6(21)2(岁)，猴哥哥今年的年龄：624(岁)．2.已知某足球教练与两位足球队员的年龄之和为100岁，12年后教练年龄是这两位队员年龄之和，那么教练今年的年龄是多少岁？【分析】12年后，每个人都增长了12岁，三人共长了12336岁，故12年后三人的年龄之和为10036136岁，所以教练今年的年龄为13621256岁．3.小英比小明小3岁，今年他们的年龄和等于老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英多少岁？8第7级上超常体系教师版\n第9讲【分析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年(153)26岁．4.12年前，父亲年龄是女儿的11倍；今年，父亲年龄是女儿的3倍．请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？【分析】采用线段比较法．设12年前女儿的年龄为1份．易得12年前女儿年龄为1243岁，父亲年龄是31133岁，父女年龄差为33330岁．今年，父亲年龄是女儿的3倍，得到今年女儿年龄是30(31)15岁．当父亲年龄是女儿年龄2倍时，女儿30岁，这是15年后．5.今年彬彬的年龄是表弟年龄的4倍，20年后，彬彬的年龄比表弟的年龄的2倍少l2岁，今年彬彬、表弟各多少岁？【分析】表弟今年年龄的2(倍)对应的是：20128(年)，由此可以求出表弟今年的年龄，使问题得解．824(岁)，4416(岁)．所以表弟今年4岁，彬彬今年16岁．6.兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大.有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大．”这时他们俩各几岁？【分析】从弟弟话中可以得知：弟弟比哥哥小3岁.再从哥哥的话中可以得知，当哥哥年龄加3以后，是弟弟现在龄的2倍.也就是当哥哥比弟弟大6岁时，哥哥的年龄是弟弟的两倍，所以弟弟今年6岁，哥哥今年6+3=9岁.7.兄弟俩今年年龄和为30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？【分析】关键就是理解“当哥哥像弟弟现在这样大时”这句话的含义.哥哥像弟弟现在这样大时，显然是若干年前，那究竟是多少年前呢？为“哥哥与弟弟的年龄差”那么多年前.由“当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”可得年龄差即为当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄，即上图中的一份量．而兄弟俩今年的年龄为5份量，所以哥哥今年305318（岁）.8.在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁．家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子．父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁．四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁．现在家里的每个成员各是多少岁？【分析】根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每个人长4岁以后的实际第7级上超常体系教师版9\n年龄和是584474(岁)．但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3岁．女儿比儿子大2岁，女儿是325(岁)．现在父母的年龄和是733565(岁)．又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄．父亲现在年龄：(653)234(岁)，母亲现在年龄：34331(岁)．超常班学案【超常班学案1】今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁．经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和．【分析】经过同样一段时间，爷爷的年龄就增长1份，而三个孙子的年龄和要增长3份，体现在下面的线段图中，其中一段虚线就是我们要求的年数．78爷爷年龄三个孙子的年龄和66易得所求时间为(7866)26年．【超常班学案2】甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁．当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁．请问：乙现在多少岁？【分析】方法一：根据题目可画图得：17a甲：乙：ba113bba丙：乙：（113-17）÷3=32（岁）.方法二：设乙的年龄是丙年龄一半时是x岁，那时丙为2x岁。距今年y年。则：17yxy2xy113，得到3x3y96，故xy32。乙现在的年龄恰好是xy岁，所以乙现在32岁【超常班学案3】今年是1996年．父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁．四年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是兄的年龄的3倍．那么当父亲的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？【分析】四年后，父母的年龄和是78886(岁)，兄弟的年龄和是17825(岁)，父＝弟4，母＝兄3，那么父＋母＝弟4兄33（弟＋兄）＋弟，即86325弟，所以弟是11岁，兄是251114(岁)，父是11444(岁)，母是14342(岁)（以上都是4年后的年龄，即公元2000年），很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就10第7级上超常体系教师版\n第9讲是公元2001年。【超常班学案4】小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄．【分析】设爷爷的年龄是10ab,其中a、b都是数字，则爸爸的年龄是10ba,年龄差是(10ab)(10ba)=9(ab)．这差是4的倍数，所以ab是4的倍数，但a9,而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，b2,ab7,从而必有ab4．小明的年龄是9(ab)49(岁)．超常班123学案【超常123班学案1】四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？【分析】年龄最小的人与年龄最大的人之和比另外两个人年龄之和大7岁．年龄最小的人与年龄最大的人之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是87，差是7．这是一个典型的和差问题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是：(877)247(岁)．最小的12岁，因此最大的年龄：471235(岁)．【超常123班学案2】甲乙丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？【分析】假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是（2a）岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2（17a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38a2（17a）17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7143859（岁），（11359）318，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是141832（岁）．【超常123班学案3】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？【分析】当甲31岁时，乙是丙年龄的2倍．设这是丙年龄是a岁，则乙年龄是2a岁，乙、丙年龄的差为a．丙22岁时，乙的年龄为（22a）岁，正好等于甲、乙年龄之差（312a），即22a312a，得a3，也就是说，甲与丙的年龄差是31328（岁）．因此，当甲60岁时，丙是602832（岁）．【超常123班学案4】梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；2年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．”问陈老师有多少个子女？【分析】设陈老师两口子年龄和为m，子女年龄和为n，孩子有a个第7级上超常体系教师版1\n现在：m6n两年前：m-410(-2)na六年后：m123(n6)a.解得：a3.12第7级上超常体系教师版