第6讲第六讲加乘原理初步知识站牌五年级暑假五年级暑假排列组合初步枚举法进阶四年级春季加乘原理进阶四年级暑假加乘原理初步三年级秋季枚举法初步掌握简单的加法原理、乘法原理、加乘原理综合；区别加法原理和乘法原理漫画释义第7级上优秀A版教师版1\n教学目标1.掌握加法原理和乘法原理的主要内容2.掌握加法原理和乘法原理运用的方法及区别3.培养学生分步考虑问题的习惯4.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则5.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．经典精讲一般地，做一件事，完成它可以有N类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有2nNmmm种不同方法．这就是加法原理．12n加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．加法原理一般解题步骤：①完成一件事分N类②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）③类类相加运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．一般地，如果完成一件事需要N个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，则完成这件事一共有Nmmm种不同的方n12n法．这就是乘法原理．乘法原理一般解题步骤：①完成一件事分N个必要步骤；②每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；③步步相乘在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺．．．．．．．．．一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．．．．．2第7级上优秀A版教师版\n第6讲课堂引入王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．例题思路模块一：分类计数和加法原理（例1、例2）模块二：乘法原理（例3、例4）模块三：加乘原理综合（例5）例1学校组织读书活动，要求每位同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？【分析】小明选一本书有三类方法：第一类是借一本外语书，有150种方法；第二类是借一本科技书，有200种方法；第三类是借一本小说，有100种方法．根据加法原理，小明借一本书有150200100450种方法．【想想练练】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【分析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人．从四年一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：18201654种。例2从1～10中，每次取两个不同的自然数相加，和大于10的取法有多少种？第7级上优秀A版教师版3\n【分析】第一个数第二个数有几种第1类1101第2类210、92第3类310、9、83第4类410、9、8、74第5类510、9、8、7、65第6类610、9、8、74第7类710、9、83第8类810、92第9类9101根据加法原理共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10.例3邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？北1号路中ABC南2号路【分析】把可能出现的情况全部考虑进去．第一步第二步南1号路A村B村C村2号路北1号路A村B村C村2号路中1号路A村B村C村2号路由分析知邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法．根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有326种方法．【想想练练】在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？4第7级上优秀A版教师版\n第6讲ACB【分析】甲虫要从A点沿着线段爬到B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有3种走法；第二步是从C点到B点，一共也有3种走法，根据乘法原理一共有339种走法．闵可夫斯基的尴尬19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课，便被他骂作“懒虫”。万万没想到，就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发展史上的关键一步。在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事……一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。”为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会变成定理……下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”例4“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？【分析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第1步——对字母“M”染色，此时有5种颜色可以选择；第2步——对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有4种颜色可以选择；第3步——对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了2种颜色，所以对字母“T”染色只剩3种颜色可以选择；第4步——对字母“H”染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了3种颜色，所以对字母“H”染色只有2种颜色可以选择．第7级上优秀A版教师版5\n由乘法原理，共可以得到5432120种不同的染色方式．【想想练练】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？【分析】第一步写“I”有5种方法，第二步写“M”有4种方法，第三步写“O”有3种方法，共有54360种方法．例5用数字1、2、3、4、5、6组数.能组成多少个(1)两位数？(2)没有重复数字的三位数？(3)没有重复数字的四位数？(4)没有重复数字的四位奇数？(5)百位为5且没有重复数字的四位数？(6)没有重复数字的数？（以下学生版没有，供老师拓展）(7)用数字0、1、2、3、4、5、6能组成多少个没有重复数字的五位数？(8)用数字0、1、2、3、4、5、6能组成多少个没有重复数字的五位奇数？(9)用数字0、1、2、3、4、5、6能组成多少个没有重复数字的五位偶数？【分析】(1)组两位数分两步：十位有6种选择，个位有6种选择，所以可以组成6636个两位数。(2)组三位数分三步：百位有6种选择，由于不能重复，十位有5种选择，个位有4种选择，所以可以组成654120个没有重复的三位数。(3)组四位数分四步：千位有6种选择，由于不能重复，百位有5种选择，十位有4种选择，个位有3种选择，所以可以组成个6543360没有重复数字的四位数。(4)组四位奇数分四步：由于个位受限制，只能有3种选择，不能重复，千位有5种选择，百位有4种选择，十位有3种选择，所以可以组成5433180没有重复数字的四位奇数。(5)组四位数分四步：由于百位受限制，只能有1种选择，不能重复，千位有5种选择，十位有4种选择，个位有3种选择，所以可以组成54360个百位为5且没有重复数字的四位数。(6)组成没有重复数字的数，分6类：一位数有6个；两位数有6530个；三位数654120；四位数有6543360；五位数有65432720；六位数有654321720。根据加法原理，可以组成6301203607207201956个没有重复数字的数。(7)组五位数分五步：由于0不能放在首位，万位有6种选择，不能重复，千位有6种选择（可以放0），百位有5种选择，十位有4种选择，个位有3种选择，所以可以组成665432160个没有重复数字的五位数。6第7级上优秀A版教师版\n第6讲(8)组五位数分五步：组奇数个位只能有3种选择，0不能放在首位，个位有3种选择，万位有5种选择，千位有5种选择（可以放0），百位有4种选择，十位有3种选择，所以可以组成55433900个没有重复数字的五位奇数。(9)（法一）五位偶数2160-900=1260（法二）偶数分成两类：一类，个位为0：65431360个；二类，个位不为0：55433900个，共1260个。钓鱼有个人喜欢钓鱼。一天钓鱼归来，路上有人问他钓了多少条鱼，他答到：“有6条没头的，9条没尾的，8条半截的。”你知道他钓了多少条鱼吗？答案：“6”去了“头”，“9”去了“尾”都是“0”，“8”从中截断是两个“0”，因此是一条也没钓到。杯赛提高用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是_______。【分析】以1开头的六位数有54321120个，以2、3、4开头的六位数也有120个，即以1、2、3、4开头的六位数共有1204480个，所以第505个六位数首位数字是5；以50为开头的六位数有432124个，48024504，所以第505个六位数是510234．知识点总结1.加法原理一般解题步骤：①完成一件事分N类②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）③类类相加第7级上优秀A版教师版7\n2.乘法原理一般解题步骤：①完成一件事分N个必要步骤；②每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）③步步相乘3.加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关家庭作业1.小丸子有许多套服装，帽子有2顶，上衣有4件，裤子有3条，还有皮鞋2双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)？【分析】小丸子搭配服装分四步．第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有213种选法；第二步选上衣，有4种选法；第三步选裤子，有3种选法；第四步选皮鞋，有2种选法．根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配．一共有（21）43272种选法，所以一共可以组成72种不同搭配．2.在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？ABCD【分析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，有1种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有3139种走法．3.从要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个班级，同一班级可获得多个先进集体，有多少种不同的评选结果？【分析】第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体一共有6种方法，第三步选出卫生先进集体一共有6种评选方法，根据乘法原理，一共有666216种评选方法．4.“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？【分析】第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，根据乘法原理，一共有654321720种方法．5.由数字1，3，6，9可以组成多少个无重复数字的自然数？8第7级上优秀A版教师版\n第6讲【分析】满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数．第一类，组成一位数，有4个；第二类，组成二位数，有4312个；第三类，组成三位数，有43224个;第四类，组成四位数，有432124个．由加法原理，一共可以组成412242464个数．6.小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书15本，不同的科技书20本，不同的小说10本，那么，小明要选两本不同类的书有多少种选法？【分析】两本不同类的书可以有外语书+科技书、外语书+小说、科技书+小说三类组合，各类组合分别有1520300种、1510150种、2010200种，一共有650种选法．A版学案【A版学案1】从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个班级，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？【分析】第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体一共有5种方法，第三步选出卫生先进集体一共只剩有4种评选方法，根据乘法原理，一共有654120种评选方法．【A版学案2】题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？【分析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法．根据乘法原理，一共有30404554000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷．【A版学案3】小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书25本，不同的科技书15本，不同的小说30本，那么，小明要选两本不同类的书有多少种选法？【分析】两本不同类的书可以有外语书+科技书、外语书+小说、科技书+小说三类组合，各类组合分别有2515375种、2530750种、1530450种，一共有1575种选法．【A版学案4】⑴由4、7、8这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？⑵由4、7、8这3个数字可以组成多少个三位数？【分析】⑴分三步完成：第一步排百位上的数，有3种方法；第二步排十位上的数，有2种方法；第三步排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，4、7、8这3个数字可以组成3216个没有重复数字的三位数．第7级上优秀A版教师版9\n⑵分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法，由乘法原理，由4、7、8这3个数字一共可以组成33327个三位数．10第7级上优秀A版教师版
