小学数学讲义暑假五年级第1讲分数乘除超常体系

第1讲第一讲分数乘除知识站牌五年级秋季五年级暑假循环小数分数加减五年级暑假分数乘除四年级春季小数计算四年级寒假多位数的计算分数的意义、分类、基本性质及约分，分数乘除基本运算，分数约分技巧乘除运算。漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。在《左传》一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不能超过周国的1/3，中等的不得超过1/5，小的不得超过1/9。秦始皇时期，拟定了一年的天数为365又1/4天。《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法．在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着多么悠久的历史和多么灿烂的分数的文化啊！教学目标1.认识分数的定义及分类；2.理解分数的基本性质并进行分数的约分；3.灵活运用法则进行分数的乘除计算；4.灵活运用技巧进行分数的乘除巧算．经典精讲1.分数的定义分数的来历：在进行测量，分东西或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时我们就需要用分数表示.(铮铮过生日，要把生日蛋糕平均分给5个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？)单位1：把整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示.一个整体可以用自然数“1”来表示，通常把它叫做单位“1”.分数与分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数.分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数.表示其中一份的数叫分数单位.(如果我们把生日蛋糕平均分成了10块，那么每个人可以得到几块？每块占蛋糕的几分之2几？的分数单位是多少？)10分数与除法：铮铮过生日，要把生日蛋糕平均分给5个小朋友，那么每个人得到多少蛋糕？1155被除数我们发现，被除数除数，在分数中，分子就相当于除法中的被除数，分母相当于除数除数.由于除数不为0，因此分母也不能为0.2第9级上超常体系教师版\n第1讲1那么，上题中的，既可以当做一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算.52.真分数、假分数和带分数：1巍巍和涛涛平分1个苹果，那么每人分几个？12这种分子比分母小的分数就叫做真分数.23巍巍和涛涛平分3个苹果，那么每人分几个？32这种分子比分母大(或相等)的分数就叫2做假分数.上面一例，我们也可以这么考虑：巍巍和涛涛先每人拿1个苹果，然后再平分剩下的1个苹果.131那么每人得到：1121个.1如此，可以把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在222一起.这样的分数叫做带分数.3.分数的基本性质包包、铮铮和昊昊去必胜客吃披萨.如果把披萨平分成3块，那么每人1块；如果平分成6块，那么每人2块；平分成15块，那么每人5块；如果平分成99块呢？我们发现，因为披萨是平分的，那么实际上不管分成几块，每人得到的披萨是一样多的.也就是125()112151()说：观察规律：.36159933235333分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变.约分与最简分数(前续知识：最大公因数)分子分母互质(只有公因数1)的分数叫做最简分数.根据分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个非零数，分数大小不变.我们把分子分母同时除以它们的一个不是1的公因数，那么会得到一个大小不变，但分子分母都比较小的分数.这就叫约分.如果我们把分子分母同时除以它们的最大公因数，那么新的分子分母一定互质.这样，我们就得到了这个分数的最简分数.24242121234303021515354244(24,30)=630554.分数的乘除法分数乘以整数铮铮的生日上，涛涛有事没有来，大家为了把他的蛋糕也留出来，把蛋糕平分成了10份，4个人每人拿了2块，那么4个人拿了全部蛋糕的几分之几？2222284每人拿了，那么4个人拿了.从另一方面想，每人拿了2块，四个10101010101052442244人拿了8块，总共有10块，所以.所以，4.10510105第9级上超常体系教师版3\n224我们在计算时，可以先约分，再做乘法，那么4.1055分数乘以分数21涛涛胃口比较小，给它的蛋糕，它只吃了，那么它吃了整个蛋糕的几分之几(共给了涛涛的55蛋糕)？想一想，把蛋糕平分成5份，涛涛拿了1份.再把这1份蛋糕平分成5份，吃了2份.相当于把整221212个蛋糕平分成了25份，吃了2份，那么吃了整个蛋糕的.25555525分数乘以分数，用分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的可以先约分.倒数211741观察下面几个算式：1151你发现了什么特点？112475我们把一个数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数的乘积是1.乘积为1的两个数互为倒数.注意，因为0不能做分母，所以0没有倒数.分数的除法377737757观察下面算式：512202051220312除以一个数等于乘以它的倒数.分数的四则混合运算分数的四则运算法则和整数的四则运算法则相同：它们的运算顺序是先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内后算括号外，同一级运算顺序是从左到右.与整数四则运算相同，分数的四则运算也满足整数运算的计算律.如下：(1)abba(2)(ab)ca(bc)(3)abca(bc)(4)mambmcma(bc)连锁约分与整体约分分数的计算，有一些不同于整数计算的方法.主要是在做乘除法时，可以通过约分来简化计算过程.123比如：4我们发现，前一个分数的分母，恰好等于后一个分数的分子，那么我们可以234123把它们进行约分：41，这就是连锁约分.234123246369还有这样一类题：，我们发现，分子分母都有公因数：135261039154第9级上超常体系教师版\n第1讲333312324636912321233123123(123)33331352610391513521353135135(123)33123(123)233那么，我们可以把分子分母同时约掉123：这就是整体约分.135(1233)35例题思路模块1：例1-3，分数的意义、分类、基本性质及约分模块2：例4-6，分数乘除运算模块3：例7-8，分数乘除运算约分技巧例1在括号内填上合适的数.（1）将单位“1”平均分成10份，取其中的7份，用分数表示为（），这个分数的分子是（），分母是（），它的分数单位是（）.75（2）表示的意义是将单位“1”平均分成（）份，取其中的（）份；表示的意义是将单128位“1”平均分成（）份，取其中的（）份.（3）一根铁丝长4米，将其平均分成5段，每段占全长的（），每段长（）米.（4）五年级有男生25人，女生23人，男生人数占全班人数的（）.5（5）某班男生人数占全班的，女生人数占全班的（），女生占男生的（）.9（6）一个分数的分子是5，分母是分子的2倍多3，这个分数是（）.2（7）一个分数将分子分母同时减去8以后是，这个分数是（）.5（8）用分数表示下列各阴影部分.（）（）（）（）第9级上超常体系教师版5\n71【分析】（1），7，10，1010（2）12,7；8,514（3）,0.8（或）5525（4）4844（5），955（6）分母为52+3=13，所以该分数为1310（7）131311（8），，，5442教学提示：如果第（8）题后两问学生没有约分，可等讲完约分后再将其约分.【巩固】选择题1、分子相同的分数（）.A、分数单位相同B、分数的大小相同C、所含的分数单位的个数相同2、分母相同的分数（）.A、分数单位相同B、分数的大小相同C、所含的分数单位的个数相同3、把4米的绳子平均分成5段，每段占全长的（）.145A、B、C、554【分析】1、C2、A3、A例21、填空（1）根据除法与分数之间的关系：分子相当于除式中的，分母相当于除式中的，分数的大小相当于除式中的.（2）将一根长10米的铁丝，平均分成5段，每段长（）米.（3）将一根长3米的铁丝，平均分成7段，每段长（）米.（4）将一根长23米的铁丝，平均分成7段，每段长（）米.1312、因为13÷3=4……1，所以4，仿照此形式，把下列假分数化为带分数.338257515640192013，，，，，771623200810013113、因为2×4＋3=11，所以2，仿照此形式，把下列带分数化为假分数.441312523，6，2，4，97，21572127991005（学案对应：超常1）3232【分析】1、（1）被除数、除数、商（2）2，（3），（4）（或3）7776第9级上超常体系教师版\n第1讲141118312、1，3，4，6，2，27716232008911645431109608211073、，，，，，572127991005820372013【巩固】（1）把下列假分数化为带分数:，，，513720121252（2）把下列带分数化为假分数:2，3，1，227910053721【分析】（1）1，1，5，151372012523142012（2），，，2791005【拓展】（1）分母是20的所有真分数中，分子之和是多少？（2）分子是20的所有假分数中，分母之和是多少？【分析】（1）真分数分子比分母小：所有分子之和为：1+2+3+…+19=190（2）假分数分母小于或等于分子：所有分母之和：1+2+3+…+20=210分数由来分数在我们中国很早就有了，最初分数的表现形式跟现在不一样。后来，印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了。200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是7/3米．像7/3就是一种新的数，我们把它叫做分数。例3（1）分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小（填“变大”、“变小”或“不变”），这就是分数的基本性质.根据分数的基本性质，我们可以写出如下的式子：8824，仿照上面形式，在下面的括号内填入适当的数.20202106632153364，，，18()3()20()54()35()18()8()，，14224863（2）根据分数的基本性质，我们把分子分母同时除以它们的一个不是1的公因数，那么会得到一个大小不变，但分子分母都比较小的分数.将其化成分子和分母只有公因数1的形式（最简分数），叫4422分数化简.例如：，请将下列分数化成最简分数.101025第9级上超常体系教师版7\n6422152124，，，，，121810352836（3）分母为30的所有最简真分数中，所有分子之和是多少？（学案对应：超常2、带号1）6632153364【分析】（1）不变，，，，18(18)3(6)20(4)54(6)35(5)18(6)8(4)，，142248631211332（2），，，，，295743（3）最简真分数，分子比分母小，且分子和分母只有公因数1（互质）：所有分子之和：1+7+11+13+17+19+23+29=120153791【巩固】把下面分数化成最简分数：,,.121111001【分析】主要学习分数的约分.分子分母同时除以它们的公因数.155371911,,1241113100111例4计算下列各题：1113532214（1）2341413171517121225（2）451716795932351451714（3）495615427513353（4）7158732142529821211212（5）12432647185641345165628【分析】（1），，，656221255410204400（2），，，79591112（3），，，629339（4），，15，1225155（5），10，7，142例5（1）先计算，再观察每个式子中两因数有怎样的关系8第9级上超常体系教师版\n第1讲37582114131573851121345377737757（2）观察下面算式：，除以一个数等于乘以它的倒数.例如：512202051220312243410428，仿照此题，计算下列各式510531331315155528562510313627112821656117【分析】（1）主要学习倒数，为分数的除法做准备.各式答案均为1.强化”乘积为1的两数互为倒数”的思想.11925553（2），，，，3542418142815115【巩固1】计算下列各式：(1)_____；(2)2_____.754941141281528154【分析】（1）(先约分再相乘会比较简单)754975493557311591133（2）2411415205334【巩固2】小马虎把一个数乘以错看成除以，结果是，正确的结果是多少？885433339【分析】根据题意可知这个数为，所以正确的答案为：58101088055【巩固3】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数看成了来计算，算出的结68果是120，这道算式的正确答案是__________.55【分析】根据题意可知，被除数为12075，所以正确的答案为7590.86例6计算下列各题：1658（1）7851325138（2）24382451615551（3）()1719198448021934185562（4）711（27147386)833325909352557第9级上超常体系教师版9\n2525258317411（5）33332742931（学案对应：超常3、带号2）165825【分析】（1）785282（2）3（3）18（4）02525258317411645113329326451158743314（5）5833332317425743313174253329325742931【巩固】计算下列各题63752（1）27214496265（2）1371475713【分析】（1）250（2）首先要把式子化为真分数和假分数连乘的形式：111113571117原式717511131111例71239（1）....2341011111111（2）11111111234567891111（3）2008111....12341000（学案对应：超常4，带号3）【分析】（1）注意到，前一个数的分母恰好是后一个数的分子；那么我们可以把它们全部约掉12391....2341010（2）连锁约分，510043451001（3）原式2008....1005004234100010第9级上超常体系教师版\n第1讲例8计算下列各式：123....100（1）______；246....20013242648397241296（2）_____.12424836124816（学案对应：带号4）【分析】本题主要考察连锁约分和整体约分.（1）我们注意到，分母中的每一个加数，都恰好是对应的分子加数的2倍.那么我们可以把分子分母中都有的部分提出来：123....100123....1001246....2002(123....100)2（2）先对分子分母提取公因数，原式333132421324313244132433312421243124412433331324(1234)333124(1234)9移动数字101-102=1只能移动一个数字（0、1、2），并且只能移动一次，使等式成立．2答案：将2上移，使102变成10知识点总结一、分数的概念：把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数.二、分数与除法的关系：分子就相当于除法中的被除数，分母相当于除数.由于除数不为0，因此分母也不能为0.cabc三、假分数与带分数互化：abb第9级上超常体系教师版11\n四、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变.五、分数乘法：分数乘以整数：分母不变，分子乘以整数分数乘以分数：分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的先约分.六、分数除法倒数：乘积为1的两个数互为倒数.一般分子和分母对调.0没有倒数（因为0不能做分母）.分数的除法：除以一个数等于乘以它的倒数.七、约分技巧：连锁约分、整体约分.家庭作业1、写出下面阴影部分表示的分数.312【分析】,,8392、（1）把下列假分数化为带分数.725811221002，，，，6483191（2）把下列带分数化为假分数.136214，4，2，47，125823431006111291【分析】（1）1，6，10，3，11，6483191213552202312073（2），，，，58234310063、将下列分数化成最简分数.46223570126，，，，，121814751052941111723【分析】，，，，，33715374、计算下列各题：12第9级上超常体系教师版\n第1讲332235511121621741176812592455【分析】102811325、计算下列各题：315124111814131235511251564611711910113【分析】25536496、计算下列各题：3234（1）543122411（2）1213391247251（3）1(8)19131371896【分析】；；951691111117、计算：111111234567【分析】连锁约分，412324636948128、计算：1352610391541220333123212331234123【分析】原式333135213531354135333123(1234)333135(1234)25超常班学案0.513659【超常班学案1】将下列算式的计算结果写成带分数：670.51365968596759+5959【分析】原式====5967676767【超常班学案2】将下列分数化成最简分数.第9级上超常体系教师版13\n14142512469，，，，35912259311522143【分析】513935【超常班学案3】计算下列各题：833（1）321471513（2）141445628812845710【分析】（1）11121472143356125（2）原式1442506528111112468【超常班学案4】计算：1111124681035793579112468【分析】原式24681035793254769811()()()()23456789101110123班学案【超常123班学案1】分母不大于10的所有最简真分数一共有多少个？1【分析】法1：分母为2的最简真分数：，共1个212分母为3的最简真分数：，，共2个3313分母为4的最简真分数：，，共2个441234分母为5的最简真分数：，，，，共4个555515分母为6的最简真分数：，，共2个66123456分母为7的最简真分数：，，，，，，共6个7777771357分母为8的最简真分数：，，，，4个888814第9级上超常体系教师版\n第1讲124578分母为9的最简真分数：，，，，，，共6个9999991379分母为10的最简真分数：，，，，共4个10101010分母不大于10的所有最简真分数一共有：1+2+2+4+2+6+4+6+4=31个.法2：分子为1，分母可以为2、3、…10，共9个分子为2，分母可以为3、5、7、9，共4个分子为3，分母可以为4、5、7、8、10，共5个分子为4：分母可以为5、7、9，共3个分子为5：分母可以为6、7、8、9、共4个分子为6：分母可以为：7，共1个分子为7：分母可以为：8、9、10，共3个分子为8：分母可以为：9，共1个分子为9：分母可以为：10，共1个分母不大于10的所有最简真分数一共有：9+4+5+3+4+1+3+1+1=31个.【超常123班学案2】计算下列各题：2012（1）201220122013132225（2）4321115202012201211【分析】（1）原式（2012）201220122012201211201320132013201313222514637211463520（2）4=()83213255203257211152011【超常123班学案3】一根铁丝，第一次剪去了全长的，第二次剪去所剩铁丝的，第三次剪去2311所剩铁丝的，第2008次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为1米，那么原来的铁丝42009长米.12009【分析】第2007次剪去后剩下的铁丝为1(1)(米)，第2006次剪去后剩下的铁丝长为200920082009120092008(1)，依次可以得出，原来的铁丝长为：20082008200820072009200822009（米）.2008200712009个2008200820082008200820082008【超常123班学案4】计算：=_______.2009200920092009200920092009个2009第9级上超常体系教师版15\n2008个00012008(1+10001+100010001+....+1000100010001)2008【分析】原式2009(1+10001+100010001+....+1000100010001)20092008个000116第9级上超常体系教师版