第14讲第十四讲必胜策略知识站牌五年级春季五年级秋季从反面情况考虑神奇的9五年级暑假必胜策略五年级暑假棋盘中的数学四年级春季操作类智巧趣题拿火柴（包括质数类），石子，划方格等游戏中的必胜策略；对称思想漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。今天我们将研究游戏中的必胜策略。教学目标1.掌握对策问题寻找胜局的方法；2.利用数论的知识解决相关的对策问题．经典精讲小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．对策问题研究的是一个“活的”对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面．这种局面称作“胜局”，那么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键．概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题．对策问题的3个最基本要素：①局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者．他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞争的各个阵营．只有两个局中人的对策问题为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为“多人对策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．2第9级上超常体系教师版\n第14讲例题思路模块1：例1-3:奇偶性模块2：例4-5：整除性模块3：例6-8：因倍质合例1桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走1根、3根或5根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】法1：抓不变量，巍巍每次都能保证二人每轮都拿走6根，于是55÷6=9……1，所以先取1根，接下来对方取a根，巍巍就取6-a根即可；(复习之前的凑数法，之后老师可讲解法2)法2（重点）：奇偶性，显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜。【铺垫】有2012个石子，甲先乙后轮流去取石子，每次可取1—10个，规定谁取走最后一个石子谁获胜，如果双方都采用最佳方法，那么谁将获胜？【分析】每次可以和对方凑11。2012÷11……10，甲可以先取走10个，之后乙拿走n个，甲就拿走11-n个。每次甲拿完都是11的倍数。最终甲胜。例2桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走1根、3根或7根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？(学案对应：带号1)【分析】显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜。例3右图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子．甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下，向右或向右下走一格．如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？(学案对应：超常1)AA66CBCB656644654344224321第9级上超常体系教师版3\n【分析】法1:（奇偶，重点）甲先走到B处，还需向下走4格，向右走2格，都是偶数，接下来甲保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲必胜法2:（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入方格1周围的三个方格2中．若想达到此目的，倒数第三步必须走到两个标“3”的方格中；倒数第四步必须让对方走到两个方格3附近的6个方格4中；倒数第五步则必须走到标“5”的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到方格B中．而棋子可一步走到方格B中，因此先走的甲有必胜的策略：甲第一步先走入方格B中，若乙走入方格6中，则甲第二步走入方格5中；若乙走入方格4中，则甲第二步走入方格3中．下一步乙只能走入方格4或方格2中，甲第三步就走入方格3或方格1中．甲走入方格1中即获胜；若甲走入方格3中，乙只能走入方格2中，甲第四步走入方格1中获胜．因此，甲就必胜．博弈论中诺贝尔奖从1994年诺贝尔经济学奖授予3位博弈论专家开始，之后共有5届的诺贝尔经济学奖与博弈论的研究有关，分别为：1994年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的约翰•海萨尼（J.Harsanyi）、普林斯顿大学约翰•纳什（J.Nash）和德国波恩大学的赖因哈德•泽尔滕（ReinhardSelten）。1996年，授予英国剑桥大学的詹姆斯•莫里斯（JamesA.Mirrlees）与美国哥伦比亚大学的威廉•维克瑞（WilliamVickrey）。2001年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的乔治•阿克尔洛夫（GeorgeA.Akerlof）生于1940年、美国斯坦福大学的迈克尔•斯宾塞（A.MichaelSpence）和美国纽约哥伦比亚大学的约瑟夫•斯蒂格利茨（JosephE.Stiglitz）。2005年，授予美国马里兰大学的托马斯•克罗姆比•谢林(ThomasCrombieSchelling)和耶路撒冷希伯来大学的罗伯特•约翰•奥曼(RobertJohnAumann）。2007年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德•赫维茨（LeonidHurwicz）、美国普林斯顿大学的埃里克•马斯金(EricS.Maskin）以及美国芝加哥大学的罗杰•迈尔森(RogerB.Myerson）。2012年，授予美国经济学家埃尔文•罗斯（AlvinE.Roth）与罗伊德•沙普利因（LloydS.Shapley）。作为一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。例4甲、乙两人玩数字游戏，他们按甲先乙后的顺序轮流在“□□□□□□”的任一方框里填1～9中的一个数字(数字可重复)。规则是：填完的六位数如果是N的倍数，则乙获胜，否则甲获胜．问：当N为1到15中的哪些自然数时，甲能获胜？(学案对应：超常2，带号2)【分析】N=1,乙胜.N=2,4,6,8,10,12,14时，甲胜，甲只要在个位填奇数即可．4第9级上超常体系教师版\n第14讲N=3,9时，乙胜，乙可以在最后一个数字控制是否为3或9的倍数．N=5，15时，甲胜，只要个位不填5即可．N=7，11，13时，乙胜，乙可以根据甲的填法，填出abcabc形式的数．(11时，也可填出aabbcc)【巩固】甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1～9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被4整除，则甲胜，如果不能被4整除，则乙胜，谁有必胜策略？【分析】甲一上来必填E，否则乙在E填1，肯定不是4的倍数，于是甲需要在E填一偶数，如果填2或6，乙在D处填2，肯定不是4的倍数；如果填4或8，乙在D处填1就可，所以乙有必胜策略。例5如下图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．如果甲先移，甲是否有制胜的策略？●23456……20072008(学案对应：超常3，带号3)【分析】由于每人每次移动的格数都不能是合数，所以移动的格数有以下情况：①1；②唯一的偶质数2；③奇质数．所以每次移动1、2或者3格是符合题意的，而移动4或者4的倍数格不合题意．那么每次移动的格数除以4的余数为1、2或3．所以甲有必胜策略：甲先移3格，这样还剩下2004格(4的倍数格)；以后乙每移动4nk格(k1、2或3)，甲就移动4k格，这样每次甲移动后还剩下4的倍数格，而乙每次移动后剩下的格数都不是4的倍数，所以要移完2004格，最后肯定是由甲完成，所以甲获胜．【拓展】有一堆石子，小张和小刘两人玩取石子游戏，两人轮流取，轮到自己取的时候，可以取1颗、3颗或4颗，谁取到最后一颗谁赢。第一局一开始只有1颗石子，以后每一局开始的石子颗数都比上一局多1颗，总共玩了76局。第一局小张先取，第二局小刘先取……两个人轮流先取。现在假设小张和小刘都是足够聪明的人，都会选择最优的策略，小张一共赢了多少局？【分析】先从比较简单的石子数讨论，找出输赢的规律。若石子数是1，3或4，则先取者可以全取走，从而先取者赢。若石子数是2，则先取者只能取1颗，后取者取剩下的1颗，从而后取者赢。若石子数是5，6，则先取者可以分别取3颗、4颗，后取者只能取1颗，先取者再取剩下的1颗，从而先取者赢。若石子数是7，则先取者取后可能剩下6颗、4颗或3颗。根据上面的结论，可推得都是后取者赢。若石子数是8，10，11，则先取者可以分别先取1颗、3颗和4颗，给后取者留下7颗，从而先取者赢。若石子数是9，则先取者取后可能剩下8颗、6颗或5颗。根据上面的结论，可推得都是后取者赢。若石子数是12，13，则先取者分别取3颗、4颗，给后取者留下9颗，从而先取者赢。若石子数是14，先取者取后可能剩下13颗、11颗或10颗。根据上面的结论，可推得都是后取者赢。这样推算下去，我们发现，当石子数被7整除或被7除余2时，后取者赢，否则先取者赢。第9级上超常体系教师版5\n由于两人轮流先取，所以两人赢输每隔14局重复一次。即小张在第1，2，3，5，11，13，14局赢，小刘在第4，6，7，8，9，10，12局赢。76÷14=5……6，在前5个完整周期中小张赢得7×5=35(局);剩下的6局中，小张赢得4局。所以，小张共赢得的局数是7×5+4=39(局)。例6黑板上写有1、2、3、…、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止．如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜．⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?(学案对应：超常4)【分析】⑴甲有必胜策略．将这100个数分成（1，2），（3，4），……，（99，100）这50组，乙每划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数．由于同组的数都是互质的，所以甲必胜．⑵乙有必胜策略．无论甲如何划，乙在前47次只划去奇数，并且留下3，9，15这三个奇数．如果乙做不到这一点，即甲在前47次中划了奇数，那么乙只要一直划奇数即可使最后剩下的两个数都是偶数，这样乙必胜．如果乙能做到这一点，则甲前47次都划了偶数，此时还剩下3，9，15和三个偶数．如果接下来甲划掉了奇数，那么乙只要在剩下的两次中都划去奇数即可保证剩下两个偶数；如果接下来甲划掉了偶数，那么乙接下来也要划去偶数，这样即可保证3，9，15这三个数最后必然能剩下两个，所以乙必胜．例7一个盒子里有100粒棋子，甲、乙两人轮流从中取棋子，要求每人每次取出的棋子数必须是盒中当时的棋子数的因数，规定谁取完盒中的棋子谁输，如果甲先取，谁有必胜的策略？【分析】根据“奇偶数的性质”，甲采用“每次取奇数粒棋子”的策略必胜．100粒是偶数，甲取走奇数，余下奇数粒，因为奇数的因数一定是奇数，所以乙只能取走奇数粒，于是余下偶数粒．甲再取奇数粒，乙只能再取奇数粒，如此下去，甲每次取棋子时盒中都有偶数粒棋子，因而甲必定不会取走最后一粒，因为每次余下的棋子数逐次减少，而1又是任何整数的因数，所以必定有一人取走最后一粒棋子，而这个人只能是乙．至于甲每次取棋子的粒数，可以根据每次余下棋子数的具体情况来取，也可以采取更简单的方法：每次取1粒棋子．由于1是任何整数的因数，又是奇数，所以这种方法满足上面的必胜策略．例8甲、乙两人轮流在黑板上写2～7之间的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再写了，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？如果是写2～8之间的正整数呢？(学案对应：带号4)【分析】2～7乙胜，如果甲取2，那么乙取3，还剩5、7，一人写一个，乙胜；如果甲取3，那么乙取2，还剩5、7，一人写一个，乙胜；如果甲取4，那么乙取6，还剩2、3、5、7，一人写两个，乙胜；如果甲取5，那么乙取2，还剩3、7，一人写一个，乙胜；如果甲取6，那么乙取4，还剩2、3、5、7，一人写两个，乙胜；如果甲取7，那么乙取2，还剩3、5，一人写一个，乙胜；6第9级上超常体系教师版\n第14讲2～8甲胜，因为甲取了8，就相当于2～7，乙先取，后者胜，甲胜。【铺垫】甲、乙两人轮流在黑板上写1～20之间的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再写了，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？【分析】甲先写1，那么乙什么都不能写了，甲胜【拓展】现有棋子100颗，甲先乙后轮流取走棋子，每次可以取1颗或5颗或6颗，谁无法按规定取走棋子谁就败．甲要保证必胜，第一次该取走颗棋子．【分析】到某个人取时，首先取完后剩0颗就可以获胜，这样记0是他的一个获胜点．同样可以推出2是获胜点，4是获胜点．能1次取到获胜点的数字位置都是失败点，比如1、3、5、6、7、8、9、10．这样11应该是获胜点，因为这个点的三种取法都只能取到失败点．这样很容易看出失败点是比获胜点多的．将1-100的获胜和失败点全部推出，其中有下划线的数为获胜点：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22，可以看出每连续11个数中的第1、3、5个是获胜点，离100比较近的获胜点就是88、90、92、99、101……其中一次能取到的只有99．应该取1个．智猪博弈假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽边，收益比是6∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择等待还是按控制按钮。答案：小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到4个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小猪如果行动的话，小猪的收入将不抵成本，纯收益为-1单位，如果小猪也选择等待的话，那么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。知识点总结对策问题的3个最基本要素：①局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者．他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞争的各个阵营．只有两个局中人的对策问题为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为“多人对策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得第9级上超常体系教师版7\n失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．附加题1.两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的对顶点G，假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案。【分析】1、其中一只蜘蛛先不动，控制正方体的其中一个面，我们定义这个面为A1面。2、另一只蜘蛛开始向A1面的相对的面爬行，我们定义这个相对的面为A2面。3、这时2只蜘蛛，每个蜘蛛控制一个面，不论爬虫如何移动，必然会移动到A1面或者A2面。4、于是必然有一个蜘蛛和爬虫处于一个面，这时处于一个面的蜘蛛（设追击的蜘蛛为B1）开始追击爬虫，另一个面的蜘蛛则不动，不论爬虫如何逃跑，爬虫和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为2个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为1个棱的长度，这时等待的蜘蛛出击，必然能抓到爬虫。2.桌子上放着两堆糖果，一堆x颗，一堆y颗，A和B轮流对这些糖果进行如下操作。①操作者先选择吃掉其中一堆糖果；②如果另一堆只有一颗糖果，那么吃掉这颗糖果，获胜；否则把另一堆糖果分成两堆（可以不．．相等）留给对方操作。游戏如此进行下去，直到一方吃掉最后一颗糖果获胜为止。现在。如果A先操作，请问什么情况下A有必胜策略？A的必胜策略是什么？【分析】从简单想起：如果（1、n）（1和n表示两堆数量，较少的写左边），A直接赢；如果（2、2），（2、3）、（3、3），A在吃掉一堆后，只能分成（1、n）的形式，因此A必输；如果（4、n）、（5、n）、（6、n），A先吃掉n，然后把另一堆分成（2、2），（2、3）、（3、3）必胜；同理（2、7）、（2、8）、（3、7）、（3、8）、（7、7）、（7、8）、（8、8），A必输；（9、n）（9分成2和7，让对方必输）、（10，n）、（11，n），A必赢；…………找到规律，只要其中一堆是1、4、5、6、9、10、11、14、15、16……（被5除余4、0、1）的时候，A必胜。必胜策略是：吃掉另一堆，并把剩余的一堆（被5除余4、0、1的）分成两个被5除余2或余3的数。如果两堆都是2、3、7、8、12、13……（被5除余2、3）里面的数时，A必输。【深思】其实能够发现，被5除余2或3的数拆成两个正整数时一定至少有一堆会是被5除余4、0、1的，而被5除余4、0、1的数都可以拆成全是被5除余2或3的数，因此胜者控制的就是每次都让两堆数量除以5都余2或3，那么不可能出现1，自己必胜。8第9级上超常体系教师版\n第14讲3.桌上有15根火柴，甲乙两人轮流取火柴，每人每次可以取一根或质数根，取到最后一根者为胜方，问甲应如何取才能取得胜利？【分析】从简单情况入手分析寻求一般规律：（1）当这堆火柴为1根时，甲先取，必胜；（2）当这堆火柴为2根时，甲先取2根必胜；（3）当这堆火柴为3根时，甲先取3根必胜；（4）当这堆火柴为4根时，甲先取1、2或3根时，乙可以相应取3、2或1根，因此乙胜；（5）当这堆火柴为5根时，甲先取5根必胜；另一种取法是：甲先取1根，剩下4根，变成（4），但乙先取，甲胜.（6）当这堆火柴为6根时，甲先取2根，剩下4根，变为（4），但乙先取，甲胜．（7）当这堆火柴为7根时，由于7为质数，甲先取7根，甲胜；当然甲也可以取3根，剩下4根，变为（4），但乙先取，甲胜．（8）当这堆火柴为8根时，甲先取，无论如何取法，乙都有必胜的策略．……从上面分析已经看出：如果火柴根数是4的倍数．4根、8根、12根、16根…4k根，甲先取，不存在必胜策略．如果火柴根数不是4的倍数时，即火柴根数是4k1，4k2，4k3形式的数时，甲先取，就存在必胜策略．本题15不是质数，甲先取11根（质数），还剩下4根，这时甲必胜．家庭作业1.桌子上放着80根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～9根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【分析】80÷（1+9）……0，甲不管先取几根，乙都能和甲凑10，最终乙胜。2.右图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子．甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下或向右走一格．如图中棋子可以走入A、C两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？ACB【分析】一共差8个格，每次走一个格，所以肯定要走8次，肯定乙赢。3.如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格．二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者．问必胜的策略是什么？第9级上超常体系教师版9\n【分析】先走者胜，可知每走一步，行或者列要走一个奇数格，那么现在距离胜利剩9行9列，可以先走一步对角线，现在差8行8列，对方无论怎么走，一定会让行或者列差奇数个，先手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了。4.请你参加一种游戏：有2011个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中1个、2个、4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜．如果你先取，那么第一次你取多少个？先取的人有一个必胜的办法，如果你已想出这个办法，请写出来．【分析】由于每次只能拿1个、2个、4个或8个，如果先拿者每次拿后剩下的棋子数能被3整除，这样对方拿后剩下的数一定不能被3整除，由于8412，1+8＝9，426，1+2＝3.因此不论对方拿了几个，先拿者再拿时又一定能使剩下的数被3整除．因为0能被3整除，所以先拿者一定获胜．而要使2011个棋子拿一次后剩下的棋子数能被3整除，第一次可以拿1个或4个。5.甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1~9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被9整除，则甲胜；如果不能被9整除，则乙胜.谁有必胜策略？【分析】甲，因为甲写最后一个数字，1~9中必有一个能让数字和是9的倍数，所以甲胜。6.99张卡片上分别写着1～99．甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去．若最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜．问：甲要想获胜应该怎样抽取卡片？【分析】甲抽１，把剩下的数两两分组为2,3，4,5，…，98,99，无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻，必定互质，甲胜．从上面的分组方法可以看出，甲第一次不一定要抽1，实际上第一次他可以抽其中的任何一个奇数，然后把剩下的数每相邻的两数分为一组即可．7.甲，乙轮流从1～17这17个数中标记数，规定：（1）每次标记一个数；（2）不能标记已标记的数；（3）不能标记已标记数的2倍；1（4）不能标记已标记数的；（5）谁没数可标记谁就输。2现在甲先标记了8，乙要保证自己必胜，乙接着应该标记____。【分析】甲标记了8后，4和16就不能再标记。剩下的数分成以下几组：第一组（3，6，12）第二组（1，2）（5，10）（7，14）第三组（9）（11）（13）（15）（17）其中第一组是可选的，当选6时，就不能选其他数，而选3或12时还可以再选一个。第一组数决定了最终的局数。根据奇偶性，乙应该选6，这样就可以总共10轮。因此甲先，所以最后一个可标记数是乙标记的。乙必胜。10第9级上超常体系教师版\n第14讲8.甲、乙两人轮流在黑板上写3～8之间的正整数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何因数都不能是黑板上已写的数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁能胜？必胜策略是什么？3～9呢？【分析】3～8，乙胜，可分组，（3、6）、（4、8）、5、7，甲取3或4，乙就对应取4或3，能写的只剩下5、7，乙胜；甲取6或8，乙就对应取8或6，剩下没关系的3、4、5、7，乙胜；甲取5或7，乙取7或5，下面还是对称的，所以乙胜。3～9，甲胜，先写9，剩下的就相当于乙先写3～8，甲胜。超常班学案【超常班学案1】在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲、乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？【分析】甲要取胜，必须向右上走一格，还剩下2上2右.然后，乙如果向上走，甲也向上走，还剩2右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和向右都差偶数格.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜．【超常班学案2】甲、乙两人玩数字游戏，他们轮流在数“7□82□6”的方框里填一个数字。规则是：甲先填一个数字，如果乙再填一个数字使这个六位数是11的倍数，则乙获胜；反之，如果乙填出来的数字没有使这个六位数是11的倍数，则甲获胜。问：先填的甲有没有必胜的策略？如果有，应该怎么填；如果没有，说明理由。【分析】根据11的整除规律，现在的奇数位数字和为268，现在的偶数位数字和8715，甲只要在较小的和中填一个数是较大的和比较小的和大1，甲就获胜。所以甲在左边的方框里填6.此时这个六位数变成了7682□6,从而所有奇数位数字的和是62614,偶数位数字和为78□15□，现在乙想让奇数位上的数字和与偶数们上的数字和的差是11的倍数，只能在方框里填10,而这是不可能的，所以甲有必胜策略。或甲在右边的方框内填3，这时变成7□8236，乙同样只能填10.因此甲有必胜的策略【超常班学案3】两人做取火柴的游戏：桌上放有500根火柴，两人轮流取，每一次可以取走1，2，4，8，…(2的任何次方)根火柴．谁先无火柴可取谁输．试问：在正确的玩法之下，谁会取胜？是先动手取的，还是其对手？【分析】先动手的会取胜．他只要在每一次都只取走一根或两根火柴，使得桌上所剩的火柴数目是3的倍数即可．事实上，第一次他取走两根，剩下498根是3的倍数；不论对手取走多少，k由于他都只能取走2根(k为自然数)，所以剩下的根数a都不是3的倍数；于是第二次时，先开始之人只要取走a被3除的余数根(1根或2根)，即可使所剩根数仍恢复为3的倍数，如此下去．于是，在对手每次取后，桌上所剩之火柴数目都不是3的倍数(从而不会为零)，这表明先动手的人不会输．【超常班学案4】一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2、3、4、……、2008，两人轮流擦去其中的一个数，由小明先擦，小聪后擦，若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．【分析】小明有，只要小明一直擦奇数，直到将奇数擦光，因为整个游戏当中，小明要擦1003个数，而黑板上恰好有1003个奇数，所以一定能将所有奇数擦光，最后剩下两个偶数，它们一定不互质．第9级上超常体系教师版11\n123班学案【超常123班学案1】桌子上放着56根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走2根、6根或14根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】显然，每次取走的都是偶数，但都不是4的倍数，因此可以将总根数和取的根数都除以2，变成有28根火柴，每次可取走1、3、7根，于是可知涛涛必胜。【超常123班学案2】甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1~9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被4整除或者被4除余1，则甲胜；如果被4除余2或余3，则乙胜.谁有必胜策略？【分析】被4除只跟D、E有关，而且无论D怎么填，E都可以决定最终的余数；无论E怎么填，D也都可以决定最终的余数，所以，不能抢先填D和E，于是甲乙先填ABC，而乙没得填，只能在D或E中选一个填，甲胜.【超常123班学案3】神奇涛和帅气铮两个人玩取石子的游戏，有一堆石子，两个人轮流取，轮到自己取的时候可以取1个，2个或4个，谁取最后一个谁赢.第一局一开始只有1个石子，以后每一局开始的石子个数比上一局多1个，总共玩了40局.第一局神奇涛先取，第二局帅气铮先取，等等，两个人轮流先取．神奇涛和帅气铮是足够聪明的人，都会选择最优的策略，问神奇涛一共赢了多少局？【分析】采取倒推的方法，也就是从最终状态开始思考．如果石子数是1，2或4，则先取者可以一次取走，从而先取者赢．如果石子数是3，先取者只能取1或2个，后取者取剩下的2或1个，从而后取者赢.如果石子数是5或7，先取者分别可以取2或4个给后取者留3个，从而先取者赢.如果石子数是6，先取者取了之后剩下5，4或2个，都是后取者赢.如果石子数是8或10，先取者可以取2或4个给后取者留6个，从而先取者赢.这样继续推下去，得知，如果石子数被3整除则后取者赢，否则先取者赢.两个人轮流先取，这样周期是6，每个周期中的第1，5，6局是神奇涛赢，第2，3，4局是帅气铮赢．4066......4，在6个完整的周期中神奇涛共赢6318局，剩下的4局中有1局神奇涛赢，所以神奇涛一共赢了18119局.小结：因为一人拿后，若剩下3的倍数个，那么每次都能保证自己拿后剩下3的倍数个，于是最初若是3的倍数，后者胜，否则先者胜．【超常123班学案4】甲、乙两人轮流在黑板上写小于9的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何因数就不能再写了，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？【分析】甲胜，策略为：①甲可以先取2，剩下（3、6）、（4、8）、5、7，正好对称，甲胜；②甲也可以先取5，剩下（2、4、8）、（3、6）、7，乙取2，甲就取7；乙取4，甲取6；乙取8，甲取3；乙取3，甲取8；乙取6，甲取4，乙取7，甲取2，必胜；③甲也可以先取7，剩下（2、4、8）、（3、6）、5，同理，甲必胜，别的取法都会输。12第9级上超常体系教师版
