小学数学讲义暑假六年级优秀第14讲最值综合

第十四第十四讲最值综合知识站牌六年级秋季六年级秋季抽屉原理进阶数字谜中的计数六年级暑期最值问题综合六年级暑期五年级春季逻辑推理综合概率初识主要是对各种最值问题的综合，包括最值原理，构造中的最值及综合类的最值．漫画释义第11级上优秀A版教师版1\n课堂引入日常生活中，“值”这个字一般做动词使用，表示值得；或做形容词使用，表示商品物美价廉，“真值”.但是在数学中，“值”一般做名词解释，表示“数值”.本讲“最值综合”就是有关求解满足某一条件的“最大数值”或“最小数值”的问题.教学目标1.掌握应用题中“最少花费”或“最多产出”类问题2.熟练掌握并自如运用最值定理3.了解最值问题中构造与论证题型的基本解题原则经典精讲1．最值定理：两个数的和一定，差越小，积越大．(另外一层含义就是：和一定，差越大，积越小)两个数的积一定，差越小，和越小．(另外一层含义就是：积一定，差越大，和越大)2.构造最值：先分析，再构造知识回顾444441.9999999999999995555544444【分析】原式9999999999999995555544444999999999999999555554101001000100001000005511110952第11级上优秀A版教师版\n第十四2.某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【分析】两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60=100克，所以这种溶液的浓度为12÷100=12%.3.苹果和梨共80斤，价值200元，已知苹果2元一斤，梨2.8元一斤，那么苹果和梨各多少斤？【分析】设苹果x斤，梨80-x斤，则有2x2.880x200，解得x30．所以苹果有30斤，梨有50斤．4.两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【分析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.5.有100个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体.大正方体的表面为白色的面积至少是平方厘米.【分析】将蓝色正方体尽量依次往角上、棱上放，因为这三个位置上的正方体的裸露表面有3、2块.这二个位置上的正方体依次有8、（5-1-1）×12=36个.所以25个正方体在角上放8个，棱上放17个，那么所占的表面积有8×3+17×2=58块.白色面积为150-58=92块，即92平方厘米.例题思路模块一：综合最值例1：统筹问题（最少花费，最多产出）模块二：最值定理例2：和一定，差小积大例3：积一定，差小和小例4：综合应用模块三：构造最值例5：图形构造例1甲地有82吨的货物要运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车运一次耗油8升，小卡车运一次耗油4升，运完这些货物最少耗油升.（学案对应：学案1）【分析】大卡车每吨耗油851.6升，小卡车每吨耗油422升，因此尽量使用大卡车，即大卡车运80516次，小卡车运1次，共耗油16814132升第11级上优秀A版教师版3\n【想想练练】要往码头运28个同样大小的集装箱，每个集装箱的质量是1560千克.现安排一辆载重6吨的卡车运送这些集装箱，卡车车厢的大小最多可容纳5个集装箱，则这辆卡车至少需往返多少趟？【分析】600015603132028391故最少需要10趟.例2用1，2，3，4，5，6这六个数字组成两个三位数，⑴使它们的乘积最大，最大积是多少?⑵使它们的乘积最小，最小积是多少?（学案对应：学案2）【分析】应将比较大的数字尽量派到靠前的数位上，所以百位数字是6和5，十位数字是4和3，个位数字是2和1．那么两个三位数的和肯定是(65)100(43)10(21)1为定值，要使得这两个数的乘积最大，就要使得这两个数的差尽可能小．从最高位逐次考虑，填百位：6和5，再考虑十位上的4和3，“6354”的差比“6453”小，所以十位填法如前种情况，最后看个位上的2和1，“631542”比“632541”小，所以631542最大，最大积是342002．(2)和一定，差越大，积越小，类似分析可知，当这两数取135和246时，乘积最小为33210．【想想练练】用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用22根火柴棒呢（火柴棒不能弯折）？【分析】在和相同的情况下，差越小，积越大．2446，那么我们围成一个66的正方形，面积最大，为36平方厘米．而22不能被4整除，那么我们让这个矩形的长和宽尽量接近．22256，那么这个矩形的面积最大为5630．例3一个矩形的边长都是整数厘米，面积为105平方厘米，那么这个矩形的周长最大可能是厘米；最小可能是厘米．（学案对应：学案3）【分析】面积等于长和宽之积，所以长和宽之积为105，105357，由于积一定，差越小，和越小；差越大，和越大，所以，当长和宽分别为15和7时周长最小，为44厘米；当长和宽分别为105和1时，周长最大，为212厘米．4第11级上优秀A版教师版\n第十四中国世界之最大全1、世界最长的城墙——中国万里长城.2、世界最古老的东西贸易通道——丝绸之路.3、世界围地最大的城墙——明代南京石头城.4、世界最早的兵书——春秋孙武的《孙子兵法》5、世界水稻种植最北的地区——黑龙江呼玛县.6、世界最著名的涌潮——钱塘江潮.7、世界最大陨石雨和陨石——降落在吉林省.8、.世界最大的皇宫——北京的故宫9、世界最长的运河——京杭大运河.10、世界最长的石窟画廊——敦煌莫高窟11、世界海拔最高的河流——雅鲁藏布江.12、世界最高的大咸水湖——西藏的纳木错湖13、世界高峰最多的山脉——喜马拉雅山脉.14、世界最高的农业种植区——西藏.15、世界流动沙丘面积百分比最大的沙漠——塔克拉玛干沙漠.16、世界最低的盆地——新疆吐鲁番盆地.17、世界陆面最大的高差——珠穆朗玛峰（8844.43）与艾丁湖（﹣155米）.18、世界熔岩地貌最发达之地——广西、贵州和云南东部.19、世界最大的黄土地貌——中国黄土高原.20、世界最高最年轻的高原——青藏高原.21、世界空气最稀薄之地——珠穆朗玛峰.22、世界最高、最大的高原湖群分布区——藏北高原.例4王母娘娘的蟠桃宴结束后，由于猪八戒吃的太多了，走不动了，第二天王母娘娘对猪八戒说只有完成一项任务才能让他走，任务是这样的，现有24米漂亮的小围栏，用这段围栏靠墙作一个长方形的小花圃（当然靠墙的一面就不用围栏了），为了种更多的花草，王母娘娘要求猪八戒围出的长方形花圃面积最大，同学们你能帮猪八戒想出最佳方案吗？【分析】我们探索的结论是指封闭图形，但现在的长方形只有三条边，如何把它转化为封闭图形求解呢方法一：我们可以以墙面做对称轴，把周长乘二．（如左下图）这时，矩形的周长为48米，那么，周长一定，正方形的面积最大．所以当这个长方形为正方形时，即边长为12米时，面积最大．而小花圃的面积是正方形面积的一半，则花圃的长为12米，宽为1226（米）那么，小花圃的面积为：12672（平方米）墙墙墙墙方法二：我们可以把小花圃的长平均分成两份，通过割补使其成为一个封闭图形．（如右上图）第11级上优秀A版教师版5\n这样，这个矩形的面积为小花圃面积的一半．根据周长一定，正方形的面积最大可推断出，在正方形边长为2446（米）时，面积最大．则综上所述，小花圃的面积最大为：66272平方米方法三：解：设花圃的长为x．24x则sx2周长一定，正方形的面积最大可得知，当x24x时，面积最大．∴x12则它的宽为：(2412)26（米）则它的面积为：12672（平方米）例5如下图，有一张长10cm，宽8cm的长方形纸张，要剪出一些长2.5cm，宽1.5cm的小长方形，最多能剪（不能拼接）出多少个？请画出示意图．（学案对应：学案4）1【分析】由于108(2.51.5)21．所以，理论上最多可以剪出21个小长方形．36第11级上优秀A版教师版\n第十四【想想练练】一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有（）条边是红色的.A．6B．5C．4D．3【分析】长、宽、高各选一条染红色，且被染成红色的长、宽、高均不在同一平面即可！例如下图：用若干个棱长为1的小正方体铁框架焊接成的几何体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示.那么这个几何体至少是个小正方体铁框架焊接而成.注意，此题是焊接而成，而不是堆砌，则中间可以空，所以用9个小正方体铁框架即可焊接而成.如下图第11级上优秀A版教师版7\n杯赛提高(第四届“希望杯”2试试题)40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗.这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如右表所示.如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?挖树坑运树苗人数效任(个/人)(棵/人)(名)务率人员甲类22015乙类1.21015丙类0.8710【分析】这三类学生挖树坑的相对效率是：挖树坑2甲类：=0.1运树苗20挖树坑1.2乙类：=0.12运树苗10挖树坑0.8丙类：0.114运树苗7由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖：1.21518(个)，再安排丙类学生挖树坑，可挖：0.8108(个)，还差301884(个)树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，其余13名甲类同学生运树苗，可运：1320260(棵).附加题1.ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字．已知ABCDEFG1993，问乘积ABCDEFG的最大值与最小值差多少？【分析】由于ABCDEFG1993，可以看出A1，因为E0,1，所以B最大为7，这时E2．由于D、G都不能是0,1，所以DG13，CF8．由于F0,1,2，所以F最小为3，C最大为5．从而三位数BCD最大为759，这时EFG234；BCD最小为234，这时EFG最大，为759．由于ABCD与EFG的和一定，所以当它们的差最小即EFG最大时，它们的积最大，这时ABCD与EFG分别为1234和759；当它们的差最大即EFG最小时，它们的积最小，这时ABCD与EFG分别为1759和234．所以，乘积ABCDEFG的最大值与最小值的差为：123475917592349366064116065250008第11级上优秀A版教师版\n第十四2.如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形.这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？53421768【分析】先把八边形补成一个矩形.那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大.矩形的周长为123456783649如果4条边的长度都是9，那么仅有18273645，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立.那么让3628210.这时可让上下两条边为8：8125，左右两边为10=3746.此时大矩形的面积为81080.此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面积要尽量小，分别是14423；6.于是八边形的面积最大为804670.各线段长度如图.3.在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库.一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？【分析】如果A地的货物比B地多，那么将B地的货运往A地比将A地的货运往B地省钱，因此，应将10吨货由一号仓库运到二号仓库.同样，应将这(10＋20)吨货由二号仓库运到五号仓库，共用：(10×400＋20×300)×0.5＝5000(元)4.某人从金坛市出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛，已知各市之间的路费如表所示，请为他设计一条路费最省的路线.（表中单位：元）金坛常州扬州苏州杭州金坛030405060常州300152530扬州401501525苏州502515015杭州603025150【分析】路费最省的路线为：金坛→常州→杭州→苏州→扬州→金坛或金坛→扬州→苏州→杭州→常州→金坛，共需路费130元.第11级上优秀A版教师版9\n知识点总结1.最值定理：和一定，差小积大；积一定，差小和小．2.构造最值：先分析，再构造.家庭作业1.甲地有70吨的货物要运到乙地，大货车的载重量是11吨，小货车的载重量是6吨，大货车运一趟耗油11升，小货车运一趟耗油7升，问：运完这批货物最少耗油升．7【分析】大货车每吨耗油11111升，小卡车每吨耗油76升，因此尽量使用大货车，即大货670车运[]6次，小货车运1次，共耗油116773升．112.阿凡提牵四头驴去赶集，途中要过木桥.此桥每次最多能载阿凡提外加两头驴.已知四头驴过桥的时间分别为3分钟、5分钟、8分钟、11分钟，每次往返都需阿凡提骑驴引领.那么至少需要分钟才能将四头驴牵过桥.【分析】最佳安排如下：3分钟、5分钟5分钟3分钟3分钟8分钟、11分钟11分钟5分钟5分钟3分钟、5分钟5分钟共用时间为53115529分钟3.将546分解成四个不同自然数的乘积，这四个自然数的和最大是多少？【分析】54615461227312391，由于积一定，差越大，和越大，所以最大和是：1239197．4.用数字2,5,6,7,9组成1个三位数和1个两位数，这两个数的乘积最大是多少？【分析】957627239010第11级上优秀A版教师版\n第十四5.某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？【分析】如图，用铁丝网围成的长方形菜地为ABCD，将长方形沿DC边翻转得到大长方形ABEF，大长方形周长为72米，当其为正方形时候面积最大，所以长方形ABCD面积最大为18182162平方米BA墙CDEF6.将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数a、a、a、a、a、a，将这六个数中最大的记为A．请问在所有填写方式中，123456A的最小值是什么？613425【分析】要由于每个写在圆周上的数都被用了三次，则aaaaaa3(123456)63，即写出来的这6个数的平均数为10.5，123456因此A至少为11．由上图的排列方式可知A为11的情形存在，故A的最小值为11．A版学案【学案1】甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新1次，乙网站每隔两天更新1次，丙网站每隔三天更新1次.在一个星期内，三个网站最少更新网站次.【分析】甲最少3次，乙2次，丙1次，故分析为3+2+1=6次.【学案2】有两个三位数，构成它们的六个数码互不相同．已知这两个三位数之和等于1771，求这两个三位数之积的最大可能值．【分析】两个数的和一定，差越小，积越大，那么两数应该为885和886，但要求构成它们的六个数码互不相同，所以百位上填写8和9，还剩下177180090071，为使差最小，71尽量多地给800，但是由于构成它们的六个数码互不相同，试验可得最大可能值为：904867783768．【学案3】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是厘米．3【分析】长方体的体积等于长、宽、高的积，所以长、宽、高的积为1998，199823376937，由于差越小，和越小，所以这个长方体的长、宽、高的和的最小可能值为693752．第11级上优秀A版教师版11\n【学案4】如图每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有根火柴棒，共有个正方形，至少去掉根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形.【分析】有4×5×2＝40根火柴棒，4×4＋3×3＋2×2＋1＝30个正方形.一共有16个小正方形，每去掉1根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉8根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏1个小正方形，所以至少要去掉9根火柴棒，构造如右图.12第11级上优秀A版教师版