小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第2讲圆柱与圆锥

第二讲第二讲圆柱与圆锥知识站牌六年级秋季六年级秋季旋转与轨迹复合图形分拆六年级秋季圆柱与圆锥六年级暑期切片与染色六年级暑期弦图理解圆柱与圆锥体积推导公式，并运用公式解决相关体积和表面积问题漫画释义第11级下超常体系教师版1\n课堂引入1.在我们的生活中有哪些物体是圆柱体，哪些是圆锥体？圆柱：油桶、水杯、水管等圆锥：漏斗、冰激凌（甜筒、可爱多）、火箭顶部、子弹头、电钻头等2.为什么大部分的油桶是圆柱体？我们生产容器，都希望用最少的材料，来装一定体积的液体；或者说，用同样的材料，要使做成的容器容积最大，相比长方体，圆柱型的容器更省材料．3.想了解更多吗？（引起学生兴趣）拓展阅读：数海拾贝教学目标1.熟练掌握圆柱与圆锥的体积和表面积公式2.掌握圆柱展开图的组成，并能通过展开图求解圆柱体积3.掌握与圆柱圆锥相关的复合图形体积和表面积求解方法知识点回顾（下列各题均取3.14）1.⑴一个圆半径为4，周长为____，面积为____．25.1250.24，⑵一个圆周长为37.68，面积为_____．113.0442.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为____．33.一个圆面积为50.24，周长为____．25.124.大圆面积为12.56，小圆面积为3.14，大圆与小圆半径之比为_____．2:15.圆环中，大圆半径为3，小圆半径为2，圆环面积为________.15.76.方中圆，方与圆的面积比为________.4:7.圆中方,圆与方的面积比为_______.:22第11级下超常体系教师版\n第二讲经典精讲圆柱与圆锥相关公式：立体图形表面积体积22S侧面积2个底面积2rh2rVrh圆柱圆柱n2212S侧面积底面积=lrVrh圆锥圆锥体3603注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长．例题思路模块一：圆柱的表面积和体积问题例1：圆柱体积公式与表面积公式基本应用例2：求组合图形的体积和表面积例3：圆柱展开图例4：等体积变换模块二：圆锥的体积问题例5：圆锥体积与圆柱体积关系例6：圆锥中的比例问题模块三：圆柱和圆锥的综合应用例7：已知圆柱表面积比，求体积比例8：不规则物体求表面积例1⑴已知一个圆柱底面直径为10厘米，高为8厘米，求圆柱的表面积和体积？⑵已知一个圆柱侧面积为628平方厘米，高为10厘米，求圆柱表面积和体积？⑶已知一个圆柱的高增加3分米体积增加了84.78分米，求表面积增加多少？⑷已知一个圆柱的高减少2厘米，侧面积就减少50.24平方厘米，它的体积减少多少立方厘米？(π3.14)（学案对应：超常1，带号1）2【分析】（1）底面半径1025厘米，底面积3.14578.5平方厘米，圆柱体积78.58628立方厘米，表面积78.523.14108408.2平方厘米第11级下超常体系教师版3\n2（2）底面半径628103.14210厘米，底面积3.1410314平方厘米2体积314103140立方厘米，表面积3.141026281256平方厘米2（3）3.14r384.78，r3分米，表面积增加3.14(32)356.52平方分米（4）根据题意圆柱的底面半径为50.2423.1424厘米，体积减少了23.1442100.48（立方厘米）例2如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14）（学案对应：超常2）10.51111.52【分析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为23.141.514.13（平方米），侧面积为23.14(0.511.5)118.84（平方米），所以该物体的表面积是14.1318.8432.97（平方米）.例3如图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积．（π3.14）（学案对应：超常3）16.56m【分析】圆的直径为：16.5613.144（米），而油桶的高为2个直径长，即为：428(米)，故体积为100.48立方米．例4如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？（学案对应：超常4,带号4）4第11级下超常体系教师版\n第二讲2218050【分析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为ππ7475π(平方厘米)，如果将其22展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为7475π0.025938860厘米9388.6米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会消掉．为什么都是圆柱体我们生产容器，都希望用最少的材料，来装一定体积的液体；或者说，用同样的材料，要使做成的容器容积最大．像汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器．在日常生活中，你会发现装液体的容器，往往都是圆柱体．我们在平面几何里学过计算圆和正多边形的面积以及周长的方法．面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长较小，圆的周长最小．所以，装同样体积液体的容器，如果高度一样，那么，侧面所需的材料就以圆柱体最省．因而，汽油桶等装液体的容器，大都是圆柱体的．有没有比圆柱体更为省料的形状呢？有的．根据数学的原理，在同样的材料做的容器中，球体容器的容积要比圆柱体的更大，也就是说，做球体的容器，可以更节省材料．但是，球形容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做，所以不实用．放固体的容器，如盒子、箱子、柜子等，为什么不做成圆柱体的呢？这是因为圆柱体的容器在装固体时空间往往不能得到充分利用，所以才把它们做成长方体的．例5有A、B两个容器，如下图，先将A容器注满水，然后倒入B容器，求B容器的水深．（单位：厘米）651010AB第11级下超常体系教师版5\n122【分析】A中水的体积为610120（立方厘米），因此B中水的高度为120(5)4.83（厘米）例612如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，比较甲、33乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的几倍？（学案对应：带号3）乙甲212【分析】设圆锥容器的底面半径为r，高为h，则甲、乙容器中水面半径均为r，则有Vπrh，容器33122282121222192Vπ（r）hπrh，Vπrhπ（r）hπrh，乙水甲水33381333381192πrhV甲水811919，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．V8288乙水πrh81例7（2011“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初试第十一题）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍．将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍．那么，大圆柱体的体积是小圆柱体的多少倍？22【分析】设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，上、下底面积均为πr，侧面积为3r2πr6πr.222因此分割后两圆柱总表面积为πr46πr10πr.2152小圆柱体表面积为10πrπr13252212那么小圆柱体侧面积为πr2πrπr2212πr2rr11则小圆柱高为，而大圆柱高为3rr2πr4446第11级下超常体系教师版\n第二讲11r所以大圆柱体的高是小圆柱体高的r11倍.44又由于两圆柱体底面积相同，那么大圆柱体体积也是小圆柱体体积的11倍.例8如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．(π3.14)【分析】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，2外侧表面积为：10106444π225368π（平方厘米）；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的内部面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：24316244π22π232192328π24π22416π（平方厘米），所以，总表面积为：22416π5368π7608π785.12(平方厘米)．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．2挖出的几何体体积为：4434444π2321926424π25624π（立方厘米）；所求几何体体积为：10101025624π668.64(立方厘米)．伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，以资纪念．在墓碑上刻了一个球内切于圆柱的图案，还在图案中刻了一个圆锥，如图所示．43你能求出圆锥、球、和圆柱的体积比吗？（球体体积公式r）3答案：圆锥∶球∶圆柱＝1∶2∶3第11级下超常体系教师版7\n知识点总结立体图形表面积体积22S侧面积2个底面积2rh2rVrh圆柱圆柱12S侧面积底面积Vrh圆锥圆锥体3注：理解即可，不需要掌握具体求法附加题1.输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【分析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150(毫升)．2.有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，使B盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米？【分析】将圆柱体分别放入A盒、B盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说A盒中装的水恰好可以注满B盒而无剩余，所以A盒余下的水是0立方厘米．8第11级下超常体系教师版\n第二讲3.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【分析】因为18分钟水面升高：502030(厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘20米需要的时间是：1812(分钟)，实际上只用了3分钟，说明容器底面没被长方体底301面盖住的部分只占容器底面积的3:12，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为43:4．4.一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【分析】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在22515218水中体积之和，因而水深为：17.72（厘米）；25它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个22类似于上图的立体图形．底面积为5221，水的体积保持不变为23156515315．所以有水深为17(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没2176有溢出于是17厘米即为所求的水深．7家庭作业1.把一个高是10厘米的圆柱体，沿水平方向锯去4厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？(π3.14)【分析】沿水平方向锯去4厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的4厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.5643.14厘米，底面半2径为3.143.1420.5厘米，所以原来的圆柱体的体积是π0.5102.5π7.85(立方厘米)．第11级下超常体系教师版9\n2.做50节圆柱形通风管，每节长4米，管口直径是10厘米，在它的外面涂漆，每平方米用漆0.05千克，共需油漆多少千克？【分析】共需油漆3.140.14500.053.14（千克）3.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?2233233【分析】底面周长是3，半径是，()所以今年粮囤底面积是，高是2．同理，2244222232去年粮囤底面积是，高是1．(2)(1)4.5.因此，今年粮囤容积是去年粮444囤容积的4.5倍．4.如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π3.14)10cm【分析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8(厘米)，原来的长方形的面积为：（10462.8）（102）2056(平方厘米)．5.图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？(π3.14)【分析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．因此，纸的长度：3.141023.14323.141009纸卷侧面积7143.5(厘米)纸的厚度0.040.04所以，这卷纸展开后大约71.4米．10第11级下超常体系教师版\n第二讲6.右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【分析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米．7.已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3.14)【分析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r，则2r10240，r1(厘米)．圆柱体积为：2π11031.4(立方厘米)．8.（2001年第8届华杯赛初赛第8题）世界上最早的灯塔于公元270年，塔分三层，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥．上部的体积与底座的体积的比是多少？(结果用π表示)【分析】超常班学案【超常班学案1】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米?(π3.14)第11级下超常体系教师版11\n【分析】（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．2根据题意可知，圆柱体的高为50.243.1424(厘米)，所以增加的表面积为24216(平方厘米)．（法2）根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.1426.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.246.288平方厘米，所以增加的表面积为8216平方厘米．【超常班学案2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？(π3.14)【分析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为626π10π()24π560π18π20π98π307.72(平方厘米)．2【超常班学案3】圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)102300【分析】当圆柱的高是12厘米时体积为()12（立方厘米）2122360300当圆柱的高是10厘米时体积为()10（立方厘米）．所以圆柱体的体积为2360立方厘米或立方厘米【超常班学案4】如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．(π3.14)12第11级下超常体系教师版\n第二讲20cm8cm100cm22208【分析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：ππ1008400π(立方厘米)，薄膜展22开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400平方厘米65.94平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．22208由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为ππ84π(平方厘米)，展22开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400平方厘米65.94平方米．123班学案【超常123班学案1】一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表2面积之和比圆柱体的表面积大2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是多少？(π3.14)【分析】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱体表面积大：2222rh2008(cm)，所以rh502(cm)，所以，圆柱体侧面积为：22πrh23.145023152.56(cm)．【超常123班学案2】（第四届华杯赛复赛第3题）一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为6.28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？(π3.14)【分析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6.28＝3.14×边长×2边长26.28所以(边长)＝48，即纸盒的容积是8立方厘米．3.14第11级下超常体系教师版13\n【超常123班学案3】如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升？r1r2h1h2【分析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400升．【超常123班学案4】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……1照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细64面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)11【分析】最后拉出的面条直径是原先面棍的，则截面积是原先面棍的，细面条的总长为：2646421.6646553.6(米)．注意运用比例思想．14第11级下超常体系教师版