小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第3讲复合图形

第三讲第三讲复合图形分拆知识站牌六年级寒假六年级秋季几何模块综合选讲旋转与轨迹六年级秋季复合图形分拆六年级秋季圆柱与圆锥六年级暑期切片与染色复习相关几何模型，并掌握添加辅助线技巧找到基本模型漫画释义第11级下超常体系教师版1\n课堂引入几何问题是一部分同学看了就觉得有趣的强项，也是另一部分同学看了就觉得头疼的难题．尤其辅助线的连法总是扑朔迷离，让人完全无从下手．但其实几何题的解法也是有着明确的线索可循的．今天我们就要来复习曾经学过的基本模型和连接辅助线的常用技巧，掌握好后大家就能轻松地战胜大部分直线型几何题了！教学目标1.掌握图形分割、面积法、补全基本图形等连接辅助线的技巧2.复习各种几何模型，进一步加深理解和掌握程度知识点回顾1.一半模型：如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，B点在FG上，请你证明它们的面积相等．FFABABGGDECDEC【分析】证明：连接BE．1∵在平行四边形ABCD中，S△ABEABAB边上的高，21∴SS．△ABEYABCD21同理，SS，∴平行四边形ABCD与AEGF面积相等．△ABEAEGF22.等高模型：你有多少种方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形？【分析】如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：AAAGFBCBCBCDEDD2第11级下超常体系教师版\n第三讲23.蝴蝶模型：梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm，问三角形AOD的面积是多少？ADOBC22【分析】根据梯形蝴蝶定理，ADBC:1:1.52:3，S:S2:34:9，AODBOC2所以S4cm．AOD4.鸟头模型：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？AADEDEBCBC【分析】连接BE．∵AC3AE∴SABC3SABE又∵AB5AD∴SS5S15，∴S15S15．ADEABEABCABCADE5.相似模型：如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．ADEBC【分析】由金字塔模型得ADAB:AEAC:2:5，所以AC425106.燕尾模型：如图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4S2:S3BDDC:AS2ES3SS14BCD【分析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4BDDC:；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2EDEA:；三角形ACE与三角形CED同高，S:SEDEA:，所以S:SS:S；综上可得S:SS:SBDDC:.4314231423第11级下超常体系教师版3\n经典精讲1.一半模型ABABS1S4S2S3C1DCDSS1阴影2长方形SSSSS1324长方形22.等高模型1）等底等高的两个三角形面积相等；2）两个三角形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比；3）两个平行四边形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比．3.梯形蝴蝶模型aADS1S2S4OS3BCb221）SS:a:b13222）SS::S:Sa:b:abab:；132423）S的对应份数为ab．4.鸟头模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．2）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．5.相似模型EFDAADFEBGCBGC4第11级下超常体系教师版\n第三讲ADAEDEAF221）；2）S：SAF:AG．△ADE△ABCABACBCAG6.燕尾模型在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么SABO:SACOBDDC:．AEFOBDC例题思路模块一：图形分割例1.图形分割例2.辅助线技巧模块二：模型抽离例3.等高模型例4.蝴蝶模型例5.相似模型例6.燕尾模型例7.一半模型模块三：综合运用例8.图形割补与鸟头模型例1在下图的长方形ABCD中AEEFFBDGGHHC,阴影部分的面积占长方形ABCD面积的几分之几？（学案对应：超常1，带号1）AEFBAEFBCHGDCHGD【分析】如图将矩形分割成7个相同的小菱形和10个小三角形，10个小三角形又可以拼成5个同样1的小菱形，所以阴影部分的面积占长方形ABCD面积的.12第11级下超常体系教师版5\n例21）如图，八边形的8个内角都是135°，已知AB=EF，BC=20，DE=10，FG=30，求AH的长度．（学案对应：超常2）B20CB20CMNAADD1010EHHEQ30FPG30FG【分析】将多边形补成一个长方形后如右图，补的每个三角形都是等腰直角三角形，因为ABEF,所以AMEP，因此AH10DNHQ，再上下看知道DNHQCNQG302010,所以AH1010202）如图，直角三角形ABC的三边长分别为AC30分米，AB18分米，BC24分米，ED垂直于AC，且ED95厘米.问正方形BFEG的边长是多少厘米？【分析】根据题意，可以令正方形边长为x分米，则有：124182309.518x24x，解之得：x3.52所以所要求的正方形BEFG的边长是35厘米.例3图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______．（学案对应：超常3，带号2）6第11级下超常体系教师版\n第三讲ADAHD6G51GEE243BCBCFF【分析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段.把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形.这9个三角形的底边分别是在正方形的3条边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等.因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48.例4如图，长方形ABCD的长是8厘米，宽是5厘米，阴影部分的面积和是12平方厘米，求四边形OEFG的面积是多少平方厘米？（学案对应：带号3）ADOEGBFC【分析】由蝴蝶模型可得SABESDEF、SAFGSDGC，而SSSSSSSSAFGDEFAODDGCAEBAODAFD四边形OEFG可得：S128548522(平方厘米)．OEFG第11级下超常体系教师版7\n添辅助线的作用1．揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗的时候，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的；2．聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论；3．化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的；4．发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线，特殊图形的性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易，导出结论的目的；5．构造图形的作用：对一类几何证明，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分，新的三角形，直角三角形，等腰三角形等。例5梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．DCGDCFFEEABAB【分析】延长BF、CD相交于G．由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CGAB2CD，11GDGCAB，再根据相似三角形性质，AFFD:ABDG:2:1，GFGB:1:3，而2211S:SABCD:2:1，所以SS124，S2S8．又ABDBCDBCDABCDGBCBCD33SGDF11111118，SS，所以S1SS．EBCGBCCDFEGBCGBCSGBC236226338第11级下超常体系教师版\n第三讲例6燕尾模型如图，面积为1的△ABC中，BDDEEC::1:2:1，CFFGGA::1:2:1，AHHIIB::1:2:1，求阴影部分面积．（学案对应：超常4，带号3）AAHGHGMFNIIFPBDECBDEC【分析】设IG交HF于M，交HD于N，DF交EI于P．连接AM，IF．9∵AIAB:3:4，AFAC:3:4，SS△AIF△ABC16∵S△FIM:S△AMFIHHA:2，S△FIM:S△AIMFGGA:2，193∴SSS∵AHAI:1:3∴SS，△AIM△AIF△ABC△AHM△ABC464643∵AHAB:1:4AFAC:3:4∴SS．△AHF△ABC163733同理SSS∴SSHMHF::1:4，△CFD△BDH△ABC△FDH△ABC16166416∵AIAB:3:4,AFAC:3:4，∴IF∥BC，又∵IFBC:3:4,DEBC:1:2，∴DEIF:2:3,DPPF:2:3，同理HNND:2:3，∵HMHF:1:4，∴HNHD:2:5，177∴SSS．△HMN△HDF△ABC101601607同理6个小阴影三角形的面积均为．160721阴影部分面积6．16080例7学生版1）~4）1）如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形ABCD.在各边上取点EFGH,,,,在连结HF,的线上取点P，2并与点E和点G相连.当四边形AEPH的面积是5cm时，求四边形PFCG的面积.第11级下超常体系教师版9\nA2cmHDA2cmH4cmD1cm1cm3cm5cm2PG3cmPG3cm?EE1cmBF2cmCBF2cmC【分析】连结EHEFFGGH,,,，题目中的线段长度如右图所示.所求四边形的面积可以化为三角形FGP与FCG的面积和.易见中间的四边形EFGH是平行四边形.根据一半模型，1SSS.EHPFGPEFGH222S462322142214cm，那么SS1427cm.EFGHEHPFGP22SEHP532cm，所以SFGP725cm.因此四边形PFCG的面积是252328cm.2）连结任意四边形ABCD各边的中点，求四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的几分之几？DDGGCCHHOFFAEBAEB【分析】连结AC，取AC中点O,连结OEOFOGOH,,,,在△ADC中，由于OGH,,分别是三边的中11点，因此SS,同理SS,因此△OHG△ADC△OEF△ABC4411S△OHGS△OEF(S△ADCS△ABC)S四边形ABCD,又因为四边形EFGH是平行四边形，因此4411SSS,即四边形EFGH的面积是四边形ABCD的△OHG△OEF四边形EFGH223）如图，已知四边形ABCD中,EM,是AD的三等分点，NF,是BC的三等分点，连结ENMF,,四边形ENFM的面积是四边形ABCD面积的几分之几？EMDDAEMABNFCBNFC11【分析】连结BD,BE,DF，根据题意有S△AEBS△ABD,S△CDFS△CDB,所以3310第11级下超常体系教师版\n第三讲121SSS,进而有SS,而SS,所以△ABE△CDF四边形ABCD四边形BEDF四边形ABCD四边形ENFM四边形BEDF3321SS四边形ENFM四边形ABCD34）如图，四边形ABCD中，DEEFFC::3:2:1，BGGHAH::3:2:1，ADBC:1:2，已知四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积．FCFCEEDDAHGBAHGB【分析】连接AC、AE、GC、GE，因为DEEFFC::3:2:1，BGGHAH::3:2:1，所以，11在ABC中，SS，在ACD中，SS，BCGABCAEDACD2211在AEG中，SAEHSHEG，在CEG中，SCFGSEFG．221111因为SSSSSSS，BCGAEDABCACDABCACDABCD2222所以SAGCESABCDSBCGSAED422．11又因为SSSSSSSSSAGCEAEHHEGCFGEFGHEGHEGEFGEFG223334SHEGSEFGSEFGH，所以SEFGH2．22235）如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？BNMAFKEJGHDOPC【分析】分层次来考虑：22⑴如下左图，SS，SS，BMDABDBPDCBD3322所以SMBPD(SABDSCBD)SABCD．33第11级下超常体系教师版11\n又因为SDOMSPOM，SMNPSBNP，1所以SS；MNPOMBPD2121SSS．MNPOABCDABCD233BBNNMMAAFKFKEEJJGGHHDOPCDOPC12⑵如右上图，已知MJBD，OKBD；所以MJBD:1:2；33所以MEEO:1:2，即E是三等分点；同理，可知F、G、H都是三等分点；1111所以再次应用⑴的结论，可知，SSSS．EFGHMNPOABCDABCD3339例8四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．（学案对应：带号4）FHAEBGCD【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4a2a7a，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是1由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形DEF的面积649为．612第11级下超常体系教师版\n第三讲4312由于FA4a，FB3a，所以AFB与三角形DEF的面积之比为．774912同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为，所以ABC的面积占三角形491213491313DEF面积的13，所以ABC的面积的面积为．49496496警方的追捕三个城镇由三条主干道连接起来构成一个锐角三角形，它们的治安状况由同一个警察局负责管理。1）要使警察局到三个城镇的距离之和最短，应建在何处？2）若某镇出现案件，警察必须出动追捕歹徒，那么警察局应建在何处才能使它到三个小镇的路程相等？3）如果歹徒侥幸逃脱了第一次追捕，那么第二辆警车应该停在什么地方待命才能使它到三条公路的距离相等？答案：1）警察局所在点应满足到三小镇的连线夹角都是120度（费马点）2）三角形的外心3）三角形的内心知识点总结1.一半模型ABABS1S4S2S3C1DCDSS1阴影2长方形S1S3S2S4S长方形22.等高模型1）等底等高的两个三角形面积相等；2）两个三角形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比；3）两个平行四边形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比．第11级下超常体系教师版13\n3.蝴蝶模型：aADS1S2S4OS3BCb221）SS:a:b13222）SS::S:Sa:b:abab:；132423）S的对应份数为ab．4.鸟头模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．2）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．5.相似模型EFDAADFEBGCBGCADAEDEAF221）；2）S：SAF:AG．△ADE△ABCABACBCAG6.燕尾模型在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:SBDDC:．ABOACOAEFOBDC14第11级下超常体系教师版\n第三讲附加题1.如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？AGDAGDPPEEFFBHCBHC【分析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．如右上图，连结CP、AP．1由于SSSSSS，所以SSS．BCPADPABPBDPADPABCDBCPABPBDP211而SS，SS，SS2SS2S16(平方分米)．BCPBCFEABPABHGBCFEABHGBCPABPBDP222.如图，ABCDEF为正六边形.G、H、I、J、K、L分别为AB、BC、CD、DE、EF、FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL.请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？427【分析】易数得：共54个小正三角形，阴影部分42个，故小正六边形占大正六边形面积的.5493.（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A，A，A，A，A，A的面积是2009平方厘米，B，B，B，B，B，B分别是正123456123456六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．第11级下超常体系教师版15\nA1B1A2A1B1A2GEB6B2B6DB2A6A3A6A3BB5B35B3A5B4A4A5B4A4【分析】既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用右图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影占8个梯形，所以阴影面积为820091148（平方厘米）144.如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点.已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米.三角形BCE的面积为多少平方厘米？ADADEEBCBC【分析】连结AC，由于梯形的面积为35平方厘米，而三角形ABD的面积为13平方厘米，所以三角形DBC的面积为22平方厘米，三角形ABC的面积也为22平方厘米，则三角形BEC的面积为11平方厘米.5.如图，S1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求S．△ABCFGSAFEGSBCD432111【分析】S．△FGS54322106.如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长均为5．现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分占到整体面积的几分之几？(提示:可进行适当的分割)16第11级下超常体系教师版\n第三讲ADBEC【分析】对图形进行分割，分割过程如右图：使所给我们的图形由12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，则根据鸟头模型有：S△BDEBDBE111314314382．所以四边形ACED的面积为：19．S△BACBABC15152252252582107故较小的部分占整体面积的(1)12．25300家庭作业1.(第五届走美决赛试题)一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3．大长方形的面积是．221111111133【分析】如右图．对图形进行适当的分割可得大长方形的面积是192.如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．959595591111【分析】将原图补成一个平行四边形，因此周长为(9519)21542（厘米）第11级下超常体系教师版17\n3.在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．ADADPPBCBC【分析】连接PA、PC．由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角1形的面积之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等41211于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积为6()15平方厘米．6464.如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9,BCF的面积是27．那么阴影AEC面积是多少？ADEFBC【分析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到SSSS，而SS(等积变换)，AFBDFCAFDBFCAFBDFCSS99AFBCDF所以可得S3，并且SSS31.81.2,而AFDAEFADFAEDSBFC27S:SAFFC:9:271:3,所以阴影AEC的面积是：AFBBFCSAECSAEF41.244.815.下图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GCFC．求阴影部分的面积．3ADADFFEEGGBCBHIC【分析】阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CICH:CGCF:1:3，又因为CHHB，所以CICB:1:6，即1155BIBC:61:65:6，所以S．BGE2262418第11级下超常体系教师版\n第三讲6.如图，三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知三角形ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则三角形ABC的面积是多少平方厘米？AAGGNNMMBDEFCBDEFC【分析】连接CM、CN．根据燕尾定理，S:SAGGC:1:1，S:SBDCD:1:3，所以△ABM△CBM△ABM△ACM1SS；△ABM△ABC5再根据燕尾定理，S:SAGGC:1:1，所以S:SS:S4:3，△ABN△CBN△ABN△FBN△CBN△FBNS142△ANG所以ANNF:4:3，那么，所以S2437△AFC2515SFCGN1S△AFCS△ABCS△ABC．7742815根据题意，有SS7.2，可得S336(平方厘米)△ABC△ABC△ABC5287.如图，在四边形ABCD中，把AB五等分，把CD五等分，把相对的各分点连结，得到下图.已知其中的两部分的面积分别是0.8和0.9，那么四边形ABCD的面积是多少？HBEFGA0.80.9DMNPQC1【分析】SS,S0.930.80.91,同理S130.911.1,四边形EFGH四边形AGPD四边形FGPN四边形GHQP3S1.1311.11.2,所以四边形ABCD的面积是0.80.911.11.25四边形HBCQ18.如图，在ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使CEBC，F是AC的中点，2若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？AFBCED第11级下超常体系教师版19\n【分析】本题可以用“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”．∵在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，SACBC224ABC∴．SFCCE111FCE1又SABC2，所以SFCE．2同理可得S2，S3．ADFBDE1所以SSSSS2323.5DEFABCCEFDEBADF2超常班学案【超常班学案1】如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积．ADADEEGGBFCBFC【分析】如图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5．【超常班学案2】如图所示在四边形ABCD中，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为135°，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，四边形ABCD的面积为多少平方厘米？【分析】如图将这个四边形补成一个三角形.那么三角形AFE是一个等腰直角三角形，所以FEAE12，所以三角形ADF的底长DF12517厘米，而高AE12厘米，所以三角形ADF的面积等于17122102平方厘米.而三角形ADF比四边形ABCD多出一块等腰直角三角形BFC，它的面积为66218平方厘米，所以四边形ABCD的面积为1021884平方厘米.20第11级下超常体系教师版\n第三讲A12DA5135°E12DBC65135°EBC6F【超常班学案3】如图，BC45，AC21，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK．BDEHIGJACFK2【分析】由题意可知，BDBC:S:S2:9，所以BDBC10，CDBCBD35；BADABC92又DIDC:S:S2:5，所以DIDC14，同样分析可得FK10，所以DIFDFC5DIFK141024．【超常班学案4】如图，三角形ABC被分成6个小三角形，已知其中4个小三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?AF84EO354030BDC【分析】设Sx，由题意知BDDC:4:3根据燕尾定理,得△BOF33S△ABO:S△ACOS△BDO:S△CDO4:3,所以S△ACO(84x)63x，443再根据S:SS:S，列方程(84x):(4030)(63x35):35解得△ABO△BCO△AOE△COE4x56S:35(5684):(4030),所以S70△AOE△AOE所以三角形ABC的面积是844030355670315第11级下超常体系教师版21\n123班学案【123班学案1】（2011“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm，2那么较大正方形的面积是cm．【分析】根据题意，每一个都是等腰直角三角形，对其分割，有：设最小的等腰直角三角形的面积为1份，则两个正方形的面积一个为16份，一个为18份，那么较大的正方形的面积为：12121618162（平方厘米）【123班学案2】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．ABABMMEFEFNNDCDC【分析】连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．13设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，EFa2aa．2233所以ABEF:a:a2:3，EFDC:a:2a3:4．22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以33S梯形ABFE:S梯形EFCDABEF:EFDCaa:a2a5:7，2257故SS，SS．梯形ABFE梯形EFCD121222根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为2:23:23:34:6:6:9，所22第11级下超常体系教师版\n第三讲9953以SSSS；EMF梯形ABFE46692512209973同理可得SSSS，ENF梯形EFCD9121216491228339所以SSSSSS，由于S54平方厘米，EMFNEMFENFEMFN2028359所以S54210(平方厘米)．35【123班学案3】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.AADIDIMEHEHNQPORBFGCBFGC【分析】阴影部分是由几个三角形重叠得到的.欲求阴影部分的面积，需要把下面两图中标记的六块面积求出，但是，知道下面左边图形中的三块面积相等，右边图示的三块面积相等，所以只需求出其中的一块就可以求出题意中的阴影图形的面积.AADIDIMMEHEHNQNQPPRRBFGCBFGC令BI与CD的交点为M，BH与AF的交点为O，与CE的交点为P，与AG的交点为Q，CE与AG的交点为R.故连接AM、AP、CQ、OG，根据燕尾定理，S:SCIIA:2:1，S:SBDDA:2:1，所以CBMABMBCMACM1SABMSABC.411因为D是AB的三等分点，所以SADMSABC.同理，SAIMSABC，所以12121SS.四边形ADMIABC6第11级下超常体系教师版23\n1同理SSSS;四边形ADMI四边形BFNE四边形GCHQABC6根据燕尾定理，S:SAHHC:2:1，S:SBGGA:2:1，ABQCBQABQACQ1121所以SS,SS.因为SSS，所以AQ3QG.BCQABCABQABCBGQBCQABC4236根据燕尾定理，S:SAQQG:3:1，S:SBFGF:1:1，ABOGBOABOAGO1211所以SBOGSABGSABC，SBOFSABC.同理，SCGRSABC.7212121111111由燕尾定理可得SS，所以S()SS.BCPABC五边形OPRGFABCABC55212110511113故得阴影部分的面积是：133.610570【123班学案4】如图所示，正方形ABCD的面积为1.E、F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？ADADNNFPFMMBECBEC11【分析】取DE中点P，连结PAPBPFEF,,,，那么PFCEAD，在梯形APFD中，241FNAN:PFAD:1:4，FNAF；在梯形PBEF中，EMBM:PFBE:1:2，51FMBF.311111应用鸟头模型，SSS.FMNABFABCD351523024第11级下超常体系教师版