小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第8讲从极端考虑

第8讲第八讲从极端考虑知识站牌六年级秋季六年级秋季算两次从极端考虑六年级秋季数形结合六年级暑期从整体考虑六年级暑期归纳与递推极端思想在各模块中的运用；验证极端思想的正确性漫画释义第11级下超常体系教师版1\n教学目标1.掌握极端思想在各模块典型题中的运用；2.学会分析什么类型的问题可以使用极端思想（难点重点）；3.学会如何验证极端思想是否正确（重点）。课堂引入老师们上课可以先给同学们总结一下小学数学中一些重要的思想：①正难则反思想例：各位数字不全相同的三位数共有多少个？②分类思想例：试找出最大的不能写成一个3的倍数与一个合数和的数。③递推思想例：有8阶台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过1级或2级，他走上去共有多少种方法？④对应思想例：下图中有多少个三角形？⑤数形结合思想22例：平方差公式ab(abab)()的证明⑥整体思想12392123911239239例：()()(1)()23410234102234103410⑦极端思想极端思想是指把问题的某一条件引向极端来加以考察的一种数学思想。我们身边经常会遇到要考虑极端情况的事物：长江大桥在设计建造的时候要考虑最大能抗住多大的风，要考虑荷载（最大能承受多大重量）；三峡大坝在建设的时候要考虑能挡得住千年一遇的洪水；摩天大厦要考虑当地的地质条件，最大可能有多少级的地震，像日本多地震，他们高楼的抗震能力就比中国很少地震的内陆地区强；还有像桥梁限行高度，汽车载重……2第11级下超常体系教师版\n第8讲经典精讲数学中也有很多问题，如果对极端状态的研究，可以有效避开复杂的计算，优化解题的方法，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题迅速得到解决。极端思想根据问题类型的不同，方法也有所不同：对于数值类问题来说，极端思想一般是指取最特殊的值（最常见的是取最大或最小值）；对于几何中有关动点的问题来说，极端思想一般是取边界点（一般取顶点或者中心位置的点）；还有一类问题是通过假设极端的情况来确定边界范围，再逐步调整。知识点回顾1.如图，已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF、BE．四边形BEDF的面积为6,则四边形ABCD的面积为EDEDAABFCBFC111【分析】连接BD,根据题意有SS,SS,所以SSS,进而有△AEB△ABD△CDF△CDB△ABE△CDF四边形ABCD2221SS,S2612四边形BFDE四边形ABCD四边形ABCD22.图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______；ADAHD6G51GEE243BCFBCF【分析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段.把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形.这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长第11级下超常体系教师版3\n的三分之一.阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等.因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48.3.六位自然数1082能被23整除，这个六位数最小是【分析】因为1082002347048，最小的六位数是108200(238)1082154.甲、乙两船从相距64千米的A、B两港同时出发相向而行，水流速度是2千米/小时，甲乙两船在静水中航行的速度分别是18千米/时和14千米/时．则两船小时后相遇，若两船同时同向而行，则甲用小时赶上乙．【分析】相遇时间：64[(182)(142)]2(小时)或64[(182)(142)]2（小时），追及时间：64[(182)(142)]16（小时）或64[(182)(142)]16（小时）.5.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航．如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．【分析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：90330(千米/时)，两船在静水中的速度之差为：90156(千米/时)，甲船在静水中的速度为：(306)218(千米/时)，乙船在静水中的速度为：301812(千米/时)．例题思路一、几何中的极端考虑例1~例3二、数论中的极端考虑例4三、行程中的极端考虑例5、例6四、组合中的极端考虑例7、例84第11级下超常体系教师版\n第8讲例1⑴下图中的正方形面积为4，阴影部分面积为________．⑵下图中的正六边形面积为6，阴影部分面积为________．⑶下图中的正八边形面积为8，阴影部分面积为________．⑷下图中的正十边形面积为10，阴影部分面积为________．⑸下图中的正2n边形面积为12，阴影部分面积为________．……【分析】⑴考虑极端情况，中间的点取正方形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半．第11级下超常体系教师版5\n⑵方法一：中间点是任意的，所以从极端考虑，假设中间点在中心位置，那么图形如下所示：正六边形恰好被分成6个完全一样的正三角形，阴影部分占3个，所以阴影部分面积为正六边形的一半，所以面积为6÷2=3．方法二：延长正六边形不相邻的三条边至相交，形成一个正三角形（如下左图），设六边形边长为a，三角形边长为b．连结中间点和三角形三个顶点，把三角形分成三个小三角形，a由等高模型，三个小三角形中的三块阴影都分别占小三角形的，三块阴影的面积和也为ba大正三角形面积的．延长另外三条边至相交，形成正三角形（如下右图），三角形边长也ba为b，可以推出空白部分面积也为三角形面积的，所以阴影部分和空白部分面积相等，b阴影部分面积为六边形的一半，即6÷2=3．⑶考虑极端情况，中间的点取正八边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半．⑷考虑极端情况，中间的点取正十边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半．⑸考虑极端情况，中间的点取正2n边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半．例2在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．ADA(P)DADPPBCBCBC6第11级下超常体系教师版\n第8讲（学案对应：超常1，带号1）【分析】（法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重1合，则阴影部分变为如上右图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和41211，所以阴影部分的面积为6()15平方厘米．646（法2）连接PA、PC．由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角1形的面积之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等41211于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积为6()15平方厘米．646【拓展】ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BLDM4、BKDN5，那么阴影部分的面积是．ALBA(P)LBALBPPKKKNNNDMCDMCDMC【分析】（法1）特殊点法．由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合，那么阴影部分就是AMN和ALK．而AMN的面积为(125)4214，ALK的面积为(124)5220，所以阴影部分的面积为142034．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右图所示：112则有:SPDCSPABSABCD127222同理可得：SPADSPBC72;1而SPDM:SPDCDMDC:4:121:3,即SPDMSPDC；3155同理：SPBLSPAB,SPNDSPDA,SPBKSPBC;3121215所以：(SS)(SS)(SS)(SS)PDMPBLPNDPBKPDCPABPDAPBC312而(SS)(SS)(SS)(SS)；PDMPBLPNDPBKPNMPLKDNMBLK阴影面积1SS4510；DNMBLK215所以阴影部分的面积是：SPNMSPLK(SPDCSPAB)(SPDASPBC)(SDNMSBLK)31215即为：727210224302034．312第11级下超常体系教师版7\n例3△ABC底AB和高CD相等，面积为72，EFGH为△ABC的内接长方形，求EFGH的周长．CEFBAHDG（学案对应：超常2，带号2）【分析】△ABC面积等于AB×CD÷2=72，可以求出AB×CD=144，而AB=CD，所以AB=CD=12．方法一：EFGH只要内接就可以，取极端情况，E、F分别在B、A两点上，这时EF=GH=AB=12，EH=FG=0，EFGH的周长就等于12+0+12+0=24．方法二：题目没说△ABC是什么三角形，我们可以取极端情况，使D点和A重合，即△ABC是等腰直角三角形，这时△BHE、△EFC都是等腰直角三角形，所以EH=BH，EF=FC，EFGH的周长=EH+HA+AF+EF=BH+HA+AF+FC=AB+AC=12+12=24．CEFBAH方法三：连结DE、DF，四边形DECF对角线相互垂直，所以面积为EF×CD÷2，S△BDE=EH×BD÷2，S△ADF=FG×AD÷2，三个加起来就是△ABC的面积，S△ABC=EF×CD÷2+EH×BD÷2+FG×AD÷2，因为EH=FG，所以S△ABC=EF×CD÷2+EH×(BD+AD)÷2=EF×CD÷2+EH×AB÷2=(EF+EH)×AB÷2，而S△ABC=CD×AB÷2，所以EH+EF=CD=12，EFGH周长为12×2=24．例4将2009加上一个三位数，使它能被17与19整除，那么所加的三位数中，最大是多少，最小是多少？（学案对应：超常3）【分析】采用试除法，[17,19]=323求最大是多少，那么我们假设加上的是999，那么（2009+999）÷323=9……101，多了101，所以加的最大的数是999−101=898；求最小是多少，那么我们假设加上的是100，那么（2009+100）÷323=6……171，少了323−171=152，所以加的最小的数是100+152=252．8第11级下超常体系教师版\n第8讲在数学中找出一个问题里特殊的个体，有时能很快使问题得到解决。著名趣味数学大师马丁·加德纳出过这么一道题：将一个大的正方体木块切割成27个小正方体木块，需要切6刀。我们在切东西时，把切开的东西重新堆砌，然后再切一刀，常常可以减少切的次数。对于这个问题，可不可以少于六刀，而切成我们所需要的样子呢？日本著名数学教授矢野健太郎看到这个问题后，觉得很有意思，就思考起来。但是，要从正面解决这个问题是很困难的，因为切了一刀后，重新堆砌的方法太多了，难以一一进行研究。矢野教授苦苦思索之后，终于找到了解决问题的门道。在切割后得到的27个小正方体中，有一个是十分特殊的，就是中心的那一个。这个小正方体也有六个面，但没有一个面是现成的，都是用刀切出来的，所以，要得到这个小正方体，至少要切6刀。可见，要切成问题所要求的样子，少于6刀是不可能成功的。矢野教授发现了这个解法后，竟然如同发现了一条重大定理一样兴奋。他就这个问题写了一篇叫做《趣味的解答》的短文，发表在1955年8月的《朝日新闻》上，一时传为美谈。你看，找到一个特殊的个体，解答问题是多么简捷啊！由于特殊个体常出现在极端的情形，所以，依靠特殊个体的研究，来解决问题的思想方法叫做极端原理。朋友们在思考数学问题的时候，不妨也来试试它。例5船A顺流而下，船B逆流而上，船B静水速度是船A的2倍．两船在长江大桥下相遇时发生碰撞，A船上的救生圈掉入水中，两船都未发现，继续行驶．半小时后，B船距离A船30千米，开始掉头往回行驶，看到救生圈，捡起后提高30%速度去追A船，问从一开始两船相遇到最后B船追上A船共用多少小时？（学案对应：超常4）【分析】自始至终过程都是在水中进行，和岸上的参照点无关，所以可以设水速为0，可以求出两船速度和为30÷0.5=60（千米/时），B船速度为40千米/时，A船速度为20千米/时，B船从掉头到捡救生圈用了0.5小时，这时A船距离B船(0.5+0.5)×20=20（千米），B船加速后速度变为52千米/时，追上A船用了20÷(52−20)=0.625（小时），所以从两船相遇到最后用了1+0.625=1.625（小时）．例6有5位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？第11级下超常体系教师版9\n【分析】首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的4辆车只是燃料供给车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第5辆车提供足够的燃料。如图所示，5辆车一起从A点出发，设第1辆车到B点时留下足够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车。注意，B点的最佳选择应该满足刚好使这4辆车全部加满汽油。剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油。剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车。此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶312千米。以这种方式，第5辆车能走多远呢？我们来算算。5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶312千米的汽油分成6份，2份自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油。因此AB的长为：312÷6=52（千米）。接下来，就把5辆车的问题转化为4辆车的问题。4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车仍然要把汽油分成6等份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52千米。同样的道理，52×4+312=520（千米）。S总结：如果有n辆汽车，每辆汽车最多行驶S千米，按照上述方法n辆车最多可以行驶n1Sn1(千米)。例7阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？（学案对应：带号3）【分析】法一:如果10排人数各不相同，那么最多坐：16151487115人；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：16151413122140人；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：161514313148人；如果最多有4排人数一样，那么最多坐：16154142152人。由于148150，152150，所以，只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，所以至少有4排。法二：此题我们也可以反面思考。150人，只有160个座椅，则会空出10个空位。如果是按每排空位分别是1，2，3，4，0，0，0，0，0，0的情况，说明没有空位的排数是6排。这样不好，不能使某个数太多。所以要调整下，经过调整会发现，无论如何调整，一定至少有4排空位的数目是相同的。所以相同人数的排数最少为4排。1第11级下超常体系教师版\n第8讲例8有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？（学案对应：带号4）【分析】答对题数的合计是：9286618757383道.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于3832100183道.把这183道题尽可能少分给一些人.从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对人数最少的第5题的57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是183525712道.再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分，那么答对4道题的最多有61-57=4人.余下的答对题数是：12(42)44道.答对3道题的人数是4324人.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人.所以至少有65人及格.【铺垫】学而思的一场竞赛选拔考试，试卷一共有5道题，规定答对3道及3道以上的人能通过考试。发卷子时，张老师说：“这次考试一共有5个班的100位同学参加，答对第1题到第5题的依次有80、92、86、78、74人。在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？最多有多少位同学通过呢？”【分析】因为要算至少有多少人能通过考试，所以应该让答对2题的尽量多，且答对5题的尽量多，然后是答对4题的也尽量多。因为80+92+86+78+74=410（道），去掉每人2道，还有410-1002=210（道），而2105-2=70<74，所以至少有70人能通过考试。因为要算至多有多少人能通过考试，所以应该让答对3题的尽量多，因为80+92+86+78+74=410（道），显然可以做到每人对3道题，因此最多有100人能通过考试。【巩固】一次测验，共有5道试题，测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题．如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格．问：这次考试的合格率最多可达百分之几？最少可达百分之几？【分析】假设有100人参加考试，那么做错1~5题的人数分别有19，15，9，26，21人，共错了19159262190道．显然可以做到每人最多只错1道题．例如，1~19号只错第一题，20~34号只错第2题，35~43号只错第3题，44~69号只错第4题，70~90号只错第5题，这样所有同学都及格，及格率为100%．如果有错误的人都恰好错了3道题，那么不及格的有90330（人），这种情况下不及格的人数最多，及格的人数最少，有70人，例如1~19号错第1题，20~30及1~4号错第2题，5~30号错第4题，1~9号错第3题，10~30号错第5题．这样，1~30号每人错3题，不及格，31~100号都是满分，所以及格率最少为70%．第11级下超常体系教师版1\n一个小猴子身边有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。提示：它可以把香蕉放下往返的走，但是必须保证它每走一米都能有香蕉吃。小猴子在50米内必有一个落脚点，回去重新搬50根，然后把两次剩余的香蕉搬回家里。设落脚点距100根香蕉处为x，搬回家里的香蕉只有100(502)x502x，要使502x最大，50x必须取最小值，而第二次到达落脚点猴子搬的香蕉502x50x50解得x，所以取x17，3搬回家里的香蕉有16根。附加题1.48名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，开票中途累计，甲得13票，乙得10票，丙得7票，得票多的人当选，则以后甲至少要再得________票才能当选．【分析】已投票数：1310730（票）剩余483018（票）因为乙与甲的票数接近，所以只要甲比乙多1票就当选．13A[1018A]1A8张2.有六块岩石标本，它们的重量分别是8.5千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克．要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些．请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?【分析】优先考虑最重的背包至少有多重，总共有8.5+6+4+4+3+2=27.5千克，最重的包装的质量肯定超过平均数，27.5÷3>9.16千克，由于6块岩石重量的最小单位是0.5千克，所以最重的包质量最少是9.5千克，而6快岩石中无法找出重量和为9.5千克的几块，所以最少要10千克．当三个背包分别装8.5千克、6千克与4千克，4千克、3千克与2千克，这时最重的背包装了l0千克．所以最重的背包里装的岩石标本最少是10千克.1第11级下超常体系教师版\n第8讲3.甲、乙、丙、丁四个人，两两体重和从小到大分别为：91千克、95千克、100千克、110千克、115千克、119千克，已知最轻的人和最重的人的重量和比另外两个人重量和大，问：四个人重量从小到大分别为________________．【分析】假设四人体重甲<乙<丙<丁，可知体重和最小的两个为甲+乙<甲+丙，最大的两个为乙+丁<丙+丁，根据题目条件知道乙+丙<甲+丁，从而得到关系甲+乙<甲+丙<乙+丙<甲+丁<乙+丁<丙+丁，所以甲+乙=91（千克），甲+丙=95（千克），乙+丙=100（千克），甲+丁=110（千克），乙+丁=115（千克），丙+丁=119（千克），计算得甲=43（千克），乙=48（千克），丙=52（千克），丁=67（千克）．4.将1,2,3…29各29个填入29×29的方格中，发现对角线上方所有数之和是下方所有数之和的三倍，求方格表正中心是多少？【分析】对角线上方有14×29个数，对角线下方有14×29个数，对角线上方所有数之和最大为(16+17+……+29)×29=45×14÷2×29=45×7×29，对角线下方所有数之和最小为(1+2+……+14)×29=15×14÷2×29=15×7×29，发现45×7×29是15×7×29的3倍，也就是说对角线上方的数之和最大也只有对角线下方的数之和的3倍，所以对角线上方的数就是16到29，对角线下方的数就是1到14，对角线上的数只能是15，所以中心的格子就是15.5.某网站注册用户2000人，每人加1000好友，互加好友的两人称为好朋友．好朋友最少有几对？【分析】每两个人之间如果有一个人加另一个人为好友，就在两个人之间连一条蓝线，如果两个人互加好友，两个人之间连红线．考虑极端情况，所有人之间都连的是蓝线，那么一共有20002×1000=2000000条蓝线，但是2000个人两两连线，最多能连C=1999000条线，2条2000蓝线可以换为1条红线，所以至少需要2000000−1999000=1000条红线，即好朋友至少有1000对．6.学而思杯足球赛，每个小组有6支球队，每两队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的三支球队出线．如果在第一小组比赛中只出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？【分析】考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如果平局，则总得分为2分.6支队伍相互间进行了15场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为45分，但是出现了一场平局，因此总得分为45−1=44分.1如果总得分超过，则必出线，所以12分能保证出线．因为只有一场平局，所以不会出现411分．如果10分不出线，前4队得分只能是12、12、10、10（10分肯定有一场平局，所以最多有2队得10分），显然构造不出来．9分很容易构造出不出线的情况（例如9，9，9，9，4，4），所以至少10分一定出线．第11级下超常体系教师版1\n7.房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”请问：房间里究竟有多少个老实人？【分析】能够看出，如果靠后的人说假话，那么他前面的人一定都说假话．反之，如果靠前的人说真话，那么他后面的人一定都说真话．也就是说，这十二个人中，先说话的若干人都说谎了，而从某个人开始，后面的所有人都说真话．如果说谎的人数不多于5个，即至少有7个老实人，那么第六个人说的“这里至多有五个老实人”是真话，与实际情况矛盾；如果说谎的人数不少于7个，即至多有5个老实人，那么第七个人说的“这里至多有六个老实人”是谎话，也与实际情况矛盾．因此只可能说谎的人数恰好为6个，那么房间里有6个老实人．8.在一块平地上有n个人，每个人到其他人的距离均不相同，每人都有一把水枪．当发出信号后，每人用水枪击中距离他最近的人．证明：当n为奇数时，至少有一个人的身上是干的．【分析】先考虑距离最短的两个人，他们相互击中，再考虑剩下的n−2个人中距离最短的两个人，他们只会用水枪打对方或者是之前的两个人，不会打剩下的n−4个人，再看剩下的n−4个人中距离最短的两个人，他们也不会打除掉这两人之外剩下的n−6个人……直到还剩最后一人，他没有被前面n−1个人击中，所以身上是干的．知识点总结在几何题中遇到任意点可以把这个点取在特殊位置；流水行船中如果不涉及到岸上参照物可以把水速设为0；数论中要求最大最小值可以用假设法；通过取多种极端情况验证答案的正确性。家庭作业1.ABCDEF是一面积为24的正六边形，G、H、I分别为AB、CD、EF上的三等分点，J为六边形内任一点，阴影部分面积为________．1第11级下超常体系教师版\n第8讲DHCJEBGIFA1【分析】S△JAB+S△JCD+S△JEF为六边形面积的，由等高模型，阴影部分面积为S△JAB+S△JCD+21111S△JEF的，所以阴影部分面积为六边形的=，即为4．32362.长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFCA(H)DAHDEGEGBFCBFC【分析】（法1）特殊点法．由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合，那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形111133ABCD面积的和，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的，为3613.5．848488（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图．111可得：SEHBSAHB、SFHBSCHB、SDHGSDHC，而SABCDSAHBSCHBSCHD36，22211即SSS(SSS)3618；EHBBHFDHGAHBCHBCHD22而SEHBSBHFSDHGS阴影SEBF，11111SBEBF(AB)(BC)364.5．EBF22228所以阴影部分的面积是：S阴影18SEBF184.513.5．第11级下超常体系教师版1\n3.如图，在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，AC=50厘米．P为BC上的一点，PQ垂直AC于Q，PR垂直BD于R，求PQ＋PR的值．ADRQBCP【分析】方法一：P点是在BC上的任意一点，从极端情况考虑，考虑P与B重合的情况：那么11PQ+PR就是BQ的长度，SABBCACBQ，ABC22BQABBCAC30405024厘米，所以PRPQ24厘米．ADQB(P,R)C方法二：连接OP，过B点作AC的垂线BE交AC与E，11SSSBOPRCOPQ，BOCO，所以BOCBOPPOC221111SOCPROCPQOC(PRPQ)，而SOCBE，所以BOCBOC2222PRPQBE，BEABBCAC30405024厘米，所以PRPQ24厘米．ADEORQBPC4.在2012后面添3个数字变成一个七位数，使这个七位数能被4和41整除，问这样的七位数最小是多少？【分析】能被4和41整除即能被[4,41]=164整除．用试除法，2012000÷164=12268……48，2012000再加上164−48=116就能被164整除，所以最小为2012116．5.（2007年第5届走美杯6年级决赛）今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处．甲、乙两船分别从A、B两港同时出发，都向上游航行．甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游．甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品．当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇．已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍．当甲船调头时，甲船已航行________千米．【分析】相对于水流，则物品保持不动，甲船前进之后又返回，乙船前进了60千米到达物品处．所以，甲船应该是前进了30千米之后返回了30千米．1第11级下超常体系教师版\n第8讲甲船相对于水流前进了30千米，而船的静水速度是水流速度的6倍，所以在这段时间内，水流移动了5千米．因为是逆流而上，所以甲船实际的航行距离为30−5=25（千米）．6.科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于600千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点A，越野车装满油从起点S出发，到储油点A时从车中取出部分油放进A储油点，然后返回出发点，加满油后再开往A，到A储油点时取出储存的油放在车上，从A出发点到达终点E。用队长想出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是千米。【分析】汽车从起点S行驶到A点时，首先要消耗掉往返SA间路程的油，留下的油要保证再次到A点时油箱还是满的，所以这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是600÷3+600=800（千米）7.将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友分得的苹果个数互不相同。分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？【分析】方法一：根据最不利的原则，应让所有人得的苹果都少而且所有人的苹果个数应当尽量接近，10个小朋友先分别得到：1，2，3……10个苹果，剩下的苹果除以10得[100(12310)45，451045所以，再给每个小朋友增加4个苹果，后5个小朋友每人再增加1个苹果，10个小朋友的苹果个数应分别为：5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。所以，得到苹果最多的小朋友至少得15个。方法二：100个分给10个人，每个人平均得10个，以10为中间数，向两边扩展，最终的就是5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。最多的至少可以分15个。8.有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？【分析】要想挑的小孩子尽可能多，要尽量挑出号码小的．先从1，2，3，……开始，在1和2之间插入一个尽可能大的号码，如插入49，2和3之间插入33，3和4之间插入24，……，8和9之间插11，9和10之间不能插了，10和1相邻，这样排出了18个数：1，49，2，33，3，24，4，19，5，16，6，14，7，12，8，11，9，10，1．因为任何两个不同的两位数相乘的积总是大于100，所以根据题中条件，两个两位数不允许相邻，也就是说两个两位数之间应该插入一个一位数．题目要求“最多能挑选出多少个孩子”，所以两个1位数之间要设法插入一个两位数。现在将九个一位数1—9排成圆圈，它们之间有9个间隔可以插入两位数．所以能挑选的孩子最多不能超过18个．第11级下超常体系教师版1\n超常班学案2【超常班学案1】已知ABC中，ABAC12cm，ABC的面积是42cm，P是BC上任意一点，P到AB，AC的距离分别是x厘米、y厘米，那么xy．AABPCB(P)C【分析】（法1）特殊点法．由于P是BC上任意一点，不妨设P在B点（如右上图），则此时x0，1那么SABCACy42，得到y7，xy7．2（法2）如图所示，连接AP．三角形ABC的面积等于三角形APB与三角形APC的面积之和，而这两个三角形的底AB、1AC相等，高分别为x和y，所以12xy42，可得xy7．2【超常班学案2】△ABC、△BAD为直角三角形，AC=4，BC=3，AD=1.2，F为BC中点，E为AB上任一点，阴影部分面积________．BFDEAC【分析】方法一：E为任意点，可以取极端情况，E在A点上，左边阴影面积为0，右边阴影面积为1.5×4÷2=3，阴影部分总面积为3．方法二：ABC为直角三角形，两直角边为3、4，斜边AB=5．E取B点，左边面积为1.2×5÷2=3，右边阴影面积为0，阴影部分总面积为3．方法三，S△BEF:S△ABC(BEBF):(ABBC)，所以1BEBEAEAEAES△BEF=××4×3÷2=3×．S△ADE=×S△ABD=×1.2×5÷2=3×，阴2ABABABABABBEAE影部分总面积为S△BEF+S△ADE=3×+3×=3．ABAB【超常班学案3】一个自然数，使这个数的数码乘积等于1080.这个自然数最小是________．33【分析】因为1080235，而5仅被数码5整除，那么在所求的数中必定有数码5.由此，3323100得出，在所求的数中除了数码5外，还至少有3个数码.我们假设，所求的是1第11级下超常体系教师版\n第8讲23四位数.第一个数码越小，则这个数越小.但如果第一个数码是2，那么由此23100,得出，所求的数除数码5和2以外还至少有3个数码，即所求数至少要有五位.如果第一个数码是3，那么唯一的方案剩下的两个数字为8和9.则最小数是3589.【超常班学案4】船A顺流而下，船B逆流而上，船B静水速度是船A的2倍，船A静水速度是水速的5倍．两船在长江大桥下相遇时发生碰撞，A船上的救生圈掉入水中，两船都未发现，继续行驶．半小时后，B船距离A船30千米，开始掉头往回行驶，看到救生圈，捡起后提高30%速度去追A船，B船追上A船时距离长江大桥多少千米？【分析】先假设水速为0，可以求出两船速度和为30÷0.5=60（千米/时），B船速度为40千米/时，A船速度为20千米/时，B船从掉头到捡救生圈用了0.5小时，这时A船距离B船(0.5+0.5)×20=20（千米），B船加速后速度变为52千米/时，追上A船用了20÷(52−20)=0.625（小时）．这时再看水速为4千米/时，所以从两船相遇到最后用了1+0.625=1.625（小时），A船走了1.625×(20+4)=39（千米）．123班学案【123班学案1】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已27知ADG的面积为15cm，而BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是202cm．ADADEFEFGGBCBC【分析】如果可以求出ABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积．如图，连接CE、DE．则SS，SS，于是SSS．AEGDEGBEGCEGABGCDGCDE要求CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形．如下图所示：1从中容易看出CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半．(也可以根据SS，BECABC2第11级下超常体系教师版1\n1111SSS，SSSSS得来)AEDAFDADCBECAEDABCADCABCD2222173那么，根据题意可知ADG的面积占梯形ABCD面积的1，所以梯形ABCD的2202032面积是15100cm．20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则CDE的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半．【123班学案2】ABC、ADC为直角三角形，AB=7，CD=15，AD=20，AE=2，CF=9，G为AC上任意点，求阴影部分面积．DFGCAEB【分析】由勾股定理求出AC=25，BC=24．DF=DC−CF=6，BE=AB−AE=5．方法一：G为AC上任意点，取G为A点，上面阴影面积为6×20÷2=60，下面阴影面积为0，阴影总面积为60．方法二：G为AC上任意点，取G为C点，上面阴影面积为0，下面阴影面积为5×24÷2=60，阴影总面积为60．5AG5AG方法三：S△BEG=×S△ABG，S△ABG=×S△ABC，所以S△BEG=××7×24÷7AC7ACAG22CG2CG2=60×．S△DGF=×S△CDG=××S△ACD=××15×20÷2=60AC55AC5ACCGAGCG×，阴影部分总面积为S△BEG+S△DGF=60×+60×=60．ACACAC【123班学案3】学而思学校组织大家去看电影，电影院共有24排座椅，每排有30个座位，共有650人去看电影，至少有多少排座位上的人数是一样多？【分析】从最不利的情况考虑，1.每排人数都不一样，坐的最多人数是7＋8＋9＋10＋…＋29＋30=444＜650.所以每排人数不一样是不可能的2.至多有两排人数一样，坐的最多人数是（19＋20＋21＋…＋29＋30）×2=588＜650.所以两排人数一样是不可能的。3.至多有三排人数一样，坐的最多人数是（23＋24＋25＋…＋29＋30）×3=636＜650，所以三排人数一样是不可能的。4.至多有四排人数一样，坐的最多人数是（25＋26＋27＋28＋29＋30）×4=660＞650.所以四排人数一样是可能的。所以至少有4排座位上人数一样多2第11级下超常体系教师版\n第8讲【123班学案4】8个学生8道题，若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出．【分析】考虑做出题数最多的人，假设做出题数最多的人做出了A道题目，如果A=8，那么很显然结论成立；如果A=7，由于每道题都有5个以上的人解出，那么剩下这道题必然有人解出，那么结论也成立；如果A=6，剩下2题每题至少5人解出了，那么必有一个人同时解出了这2题（如果解出这两题的人都互不相同，那么解出这2题的应该有10个不同的人，这显然不可能），所以结论也成立；如果A=5，假设没解出的是第6、7、8题，那么这3题每题都有5人解出，对于第6、7题，解出第6题的有5人，解出第7题的也有5人，而除了解出题最多的人外只有7个人，所以必然有3个人同时解出了第6、7题．而解出第8题的有5个人，3个人同时解出了第6、7题，除了解出题最多的人外只有7个人，3+5=8>7，所以必然有一个人同时解出第6、7、8题，那么此人与解题最多的人即可满足结论．A≤4不可能，如果A≤4，那么8个人最多解出8×4=32题，而每道题都至少有5人解出，那么8人至少解出5×8=40题，矛盾了．综上所述，结论成立．第11级下超常体系教师版2