小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第4讲数论中的规律

第四讲第四讲数论中的规律知识站牌六年级秋季六年级秋季进位制神奇的九六年级秋季数论中的规律六年级暑期数论中的计数六年级暑期数论中的最值总结整除规律并归纳其他数的整除及数论内部知识体系综合漫画释义第11级下超常体系教师版1\n课堂引入观察下列各个数列，你能快速说出每组数列中的下一个数是多少吗？1,2,4,8,16,32，1,1,2,3,5,8,13，1,11,21,1112,3112,211213，相信大家能秒杀前两个数列，原因是大家对前两个数列很熟悉，或者说已经知道了前两个数列的规律，但第3个数列大家也能秒杀，只是很少人能秒杀，原因是大家很难发现这个数列的规律，下面我把这个规律告诉大家，相信你也能秒杀，第一个数几个1？1个1，简记为：11。即为第二个数；第二个数几个1？2个1，简记为：21。即为第三个数；第三个数几个1几个2？1个1、1个2，简记为1112。即为第四个数；因此横线填312213。相信大家能秒杀横线后面的数了吧，通过上面练习，我们发现只要掌握数列规律，就能进行秒杀，如果我们也能掌握数论中相关规律，是否也可以进行秒杀呢，下面我们就来学习数论中的规律。教学目标1.总结并归纳数论中的相关规律2.会用数论中相关规律解决相关数论问题知识点回顾1.975935972□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【分析】积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539，9355187，97222243，共有3个5，2个2，所以方框内至少是22520．2.从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【分析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有742114个0．3.若四位数98aa能被15整除，则a代表的数字是多少？【分析】因为15是3和5的倍数，所以98aa既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的数的个位数字是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数．当a0时，9a8a17，不是3的倍数；当a5时，9a8a27，是3的倍数．所以，a代表的数字是54.六位数20□□08能被99整除，□□是多少？2第11级下超常体系教师版\n第四讲【分析】根据一个数能被99整除的特点知道：208=28是99倍数，所以=9928=715.两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.【分析】考虑到7289，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B2；四位数2752各位数字之和为275216不是3的倍数也不是9的倍数，因此A275必须是9的倍数，其各位数字之和A275A14能被9整除，所以A4.6.已知数29832983298302能被18整除，那么n的最小值是多少？n个2983【分析】1892，由题知29832983298302能被9整除，那么其各位数字之和22n2是9的倍n个2983数，即22n218n2(2n1)是9的倍数，当n4时满足条件，所以n的最小值是4.经典精讲一、整除规律：(1)看末位判断整除：一个数能否被2，5整除，只需看这个数的末尾是不是2，5的倍数；判断一个数能否被4，25整除，只需要看其末两位是不是4，25的倍数；判断一个数能否被8，125整除，只需要看末三位是不是8，125的倍数。可以不断的延续下去。2，5家族中有很多的成员。判断余数：看一个数被2，5除的余数只需看末位被2，5除的余数；看一个数被4，25除的余数只需看末两位被4，25除的余数即可；以此类推。(2)看数字和①3，9家族判断整除：一个数能否被3，9整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是3，9的倍数即可。判断余数：一个数被3除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被3除的余数。同样的，一个数被9除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被9除的余数。②长9家族（99，999，9999……）判断整除：一个数能否被99，999，9999……整除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位……一截，然后把这些两位数，三位数，四位数……相加，相加的和能被99，999，9999……整除，那么这个多位数就能被99，999，9999……整除。⑶一位一截，看差11一个数能否被11整除，从个位开始算第一位，把所有处于奇数位上的数字加起来，所有处于偶数位上的数字加起来，然后奇数位和与偶数位和相减（以大减小）所得的差如能被11整除，则这个数就能被11整除。7，11，13家族判断整除：一个多位数能否被7整除，只需看把这个数从个位开始三位一截，然后标上奇偶数位，把奇数位上的三位数加起来，偶数位上的三位数加起来，然后两个和相减（以大减小），最后看差能否被7整除即可。11和13的判断方法也是如此。第11级下超常体系教师版3\n二、求一组分数的最大公因数和最小公倍数先把带分数化成假分数，其他分数不变；ba)最大公因数：求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公因数b；a即为所求。ab)最小公倍数：求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b；即b为所求。三、猫捉老鼠的规律⑴当老鼠排成一条直线时，规则为猫从第一个位置开始吃，隔一个吃一个，最后剩下的一只老鼠nn为第2只（且保证2尽量的大，但不超过总只数）；规则为猫从第一个位置开始吃，隔一个n吃两个，最后剩下的一只老鼠为第3只。依次类推n⑵当老鼠排成一个圆圈时，规则为隔一个吃一个，当老鼠个数是2时，最后剩下的一只老鼠便nn是开始吃掉第一只前面的那只老鼠，当老鼠个数不是2时，我们可以减去若干个数后变为2，再用规律找到最后一个。例题思路模块一：整除的相关规律例1：探索7、11、13整除规律例2：探索9、99、999的整除规律例3：探索多个数相乘末尾连续个“0”的规律例4：试除法的综合运用模块二：整除以外的相关规律例5：分数的因数倍数规律例6：猫捉老鼠的规律模块三：数论规律的综合运用例7、例8例1以多位数142857314275为例，说明被7、11、13的整除规律.（学案对应：超常1，带号1）【分析】142857314275142100000000085710000003141000275142(10000000011)857(9999991)314(10011)27514210000000011428579999998573141001314275(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.4第11级下超常体系教师版\n第四讲例2（2011年学而思杯总决赛高年级试题）20116学而思杯学而思杯学而思杯学而思杯20116000是99的倍数，是101的倍数，那么“学”+“而”+“思”+“杯”等于。（学案对应：带号2）【分析】因为99和101互质，所以原数是9999的倍数。因此9999|20116学而思杯学而思杯学而思杯学而思杯20116000，所以9999|(20116学而思杯420116000)，即9999|(学而思杯48129)，因为8129被4除余1，9999被4除余3，所以学而思杯4812999993，所以学而思杯5467，数字和为22。例3一个七位数2058xyz能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则xyz。（学案对应：超常2）【分析】试除法：[23456789],,,,,,,2520，205800025208161680，所以这个七位数为2058000(25201680)2058840，则xyz84012。例4已知：23!2582067388849766DCAB000．则ABCD．（学案对应：超常3，带号3）【分析】由于1～23中有4个5的倍数，所以23!的末尾有4个0，所以B0．由于23!251015820M1000083M(M为正整数)，所以2582067388849766DCAB000去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么66A是8的倍数，所以A4．易知25820673888497664DC是9和11的倍数，也就是99的倍数，所以647649883867CD2582是99的倍数即444DC是99的倍数，所以DC51，得C1，D5，所以ABCD4015=2005第11级下超常体系教师版5\n数论的作用目前数论的最主要应用在数据编码和密码学上。举个例子，我们现在上网，可能要网络交易。网络交易要保证安全，就要有数字身份验证、数字签名、加密通讯，这些全都需要数论的知识。大名鼎鼎的RSA公钥加密系统，其实质就是利用了整数乘法相对容易而因子分解十分困难这一事实，如果数论发展使因子分解的计算变得简单，那么这种加密方式即会失效。另外，在数学领域本身，数论也是各种数学手段的“实验田”。任何新颖的数学想法、手段，都可以在数论领域试试身手，反过来数论的研究也刺激着数学其他领域的研究（Fermat大定理就是一个显著的例子，它被称为下金蛋的鸡）。从这个角度看，即使不直接应用，数论的研究也是很有意义的。例53条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向113跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千5481米.甲每小时跑3千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3人2第一次同时回到出发点?1121133【分析】甲跑完一圈需3小时，乙跑一圈需4小时，丙跑一圈需5小时，5235416840213他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即为它们3516402132,1,36的公倍数．而,,6.所以，6小时后，3人第一次同时回到出发35164035,16,401点.例6⑴大家都看过“猫和老鼠”这部动画片吧，一天,汤姆（Tom)特别高兴，因为他终于抓到杰瑞（Jerry）了，并且还抓到了杰瑞的100个朋友，汤姆准备把他们分别关在从左到右编号为1,2,3,,101的笼子里，然后排成一排，汤姆想逗逗杰瑞，于是对杰瑞说：“我从1号开始吃，每次都是每隔一个吃掉一个，吃到最右边后，再返回左边继续吃，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个是你，你就可以走了”.同学们你们能帮杰瑞选个笼子逃生吗？你发现了什么规律？⑵上次杰瑞终于侥幸逃跑了，可是有一天杰瑞不幸又被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的31个朋友，汤姆真厉害！汤姆准备把他们分别关在编号为1,2,3,,32的笼子里，然后围成一圈，并对杰瑞说：“上次你侥幸逃跑了，这次我把你们围成一圈，我还是从1号开始吃，每隔一个吃掉一个，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个还是你，你还可以走”.同学们这次你们还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？6第11级下超常体系教师版\n第四讲⑶杰瑞已侥幸逃跑两次了，可是天有不测风云，杰瑞再一次不幸被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的300个朋友，汤姆太强悍了！汤姆不信杰瑞这次还能逃跑，于是还是定了第二次的规则，同学们这次杰瑞还能侥幸逃跑吗？如果能逃跑的话，杰瑞应选几号笼子才能逃生呢？⑷如果汤姆抓到杰瑞且还抓到杰瑞的80个朋友，从1号、2号开始吃，但是每隔一个吃掉两个，依次下去.你还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？⑸如果把（4）中的80个朋友改为300个朋友，其他条件都不变，结果如何？（学案对应：超常4，带号4）【分析】⑴第一次吃到右边剩下老鼠的编号为2,4,6,,100，第二次吃到最右边剩下的是4的倍数，n依次下去，因此杰瑞应选101以内2最大的数.即64.，所以杰瑞应该选编号为64的笼子才可以逃生.⑵先对8只老鼠分别编号1,2,3,,8，1号老鼠被猫吃掉，2号鼠生存下来；3号老鼠被猫吃掉，4号老鼠生存下来.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是8号老鼠，如果是16只老鼠或32只老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的是16号老鼠、32号老鼠.n因此规律是如果有2只老鼠，每隔一个吃掉一个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号.⑶1号老鼠被猫吃掉，2号鼠生存下来；3号老鼠被猫吃掉，4号老鼠生存下来.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？n为了解决这道题，我们首先得找到这道题和上题的不同之处：老鼠的只数不是2的形式，8因为2256，所以应先吃掉30125645只，吃掉第45只老鼠的编号为452189，第46只被吃掉老鼠的编号是91，因此杰瑞应该选编号为90的笼子.⑷先假设有9只老鼠，分别编号1,2,3,,9，1号、2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号、5号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是9号老鼠，如果是27只老鼠、81只老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的分别是27号、81号老鼠.n因此规律是如果有3只老鼠，每隔一个吃掉两个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号.5⑸因为3243，所以应先吃掉30124358只，吃掉第58只老鼠的编号为5823186，第59只被吃掉老鼠的编号是88，因此杰瑞应该选编号为87的笼子.例7（2008年学而思杯六年级数学试题）a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是。【分析】由于cdab是9的倍数，说明其各位数字之和能被9整除；由于abcd与cdab的各位数字之和相同，所以abcd也是9的倍数；由于bcda是11的倍数，那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，也就是ac与bd的差能被11整除，而abcd的奇位数字之和与偶位数字之和分别为bd和ac，差能被11整除，恰好与bcda互换了一下，可知abcd的奇位数字之和与偶位数字之和的差也能被11整除，也就是abcd是11的倍数；又根据题意，abcd是13的倍数，那么abcd是9，11，13的公倍数，也就是[9,11,13]1287的倍数，又是四位数，可能为1287，2574，3861，5148，6435，7722，9009，其中7722和9009出现重复数字，可予排除由于abcd是7的倍数，说明abcd是7的倍数，对1287，2574，3861，5148，6435，一一进行检验，发现只有3861满足这一点，所以abcd是3861。第11级下超常体系教师版7\n例8有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除。”3号说：“这个数能被3整除”，……依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除。1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数【分析】1.我们发现，拿编号15来说，能被15整除就一定能被3和5整除，能被3和5同时整除就一定能被15整除，我们简单的记作153和5，所以说，如果这个数不能被15整除就不能同时被3和5整除。所以，这两位同学的编号一定不是15,3,5。同样的道理，类似的还有142和7，123和4，102和5，62和3。所以两位同学的编号一定不是2,3,4,5,6,7,10,12,14,15。剩下有可能不对的编号为8,9,11,13，由于这两个编号是连续的，所以是8和9。2.由上一道题我们知道这个五位数可以被2,3,4,,15整除（不包括8和9），那么这2个五位数分解质因数我们可以很轻松的得到23571113，计算可得60060。求一个七位质数,满足它的末6位数字相同.答案：2999999，4999999知识点总结一、长9家族（99，999，9999……）一个数能否被99，999，9999……整除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位……一截，然后把这些两位数，三位数，四位数……相加，相加的和能被99，999，9999……整除，那么这个多位数就能被99，999，9999……整除。8第11级下超常体系教师版\n第四讲二、分数的最大公因数和最小公倍数ab(,)abab[,]ab(,)，[,]cd[,]cdcd(,)cd三、猫捉老鼠隔一个吃一个的规律：n当老鼠排成一个圆圈时，规则为隔一个吃一个，当老鼠个数是2时，最后剩下的一只老鼠便是nn开始吃掉第一只前面的那只老鼠，当老鼠个数不是2时，我们可以减去若干个数后变为2，再用规律找到最后一个。附加题1.已知五个数依次是16，24，15，25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数．这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数．请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0?430020012116241525200133730210321461355101815因子5的个数因子2的个数【分析】几个整数的乘积，如果要确定它后面的几个0，可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数．我们可以分别计算质因数2和5的重数．为此我们画两个图由图可知最后乘积中含有18个因数2，15个因数5，所以末尾有15个0。2.1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是。【分析】首先看这个多位数是否能被9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么由于200992232，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.第11级下超常体系教师版9\n3.对怎样的最小值n，数122221被999整除？n个29个9【分析】设A122221，B999，根据A、B的特征可对A、B进行分解：n个29个9因为A111011111111，B9111，根据条件9111|11111．注意到n1个1n1个1n1个19个19个1n1个1n1个1111（11111，）1，根据整除的性质，为使A被B整除，必须且只需算式是一个整数，9个191119个1这就说明了两点：n1个1n1个19个19个18个08个0111111111111⑴算式也是一个整数，所以10011001111111111k个19个19个19个18个08个0⑵算式10011001的数字之和应是9的倍数，这说明对于最小值n，k9．k个1综上所述，n99180．1054.试求253168的末两位数．【分析】分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．10首先考虑4，253除以4余数是1，所以253除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．1010再考虑25，253除以25余3，则只需看3除以25的余数，又3=27×27×27×3，则1053除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看1832432418除以25的余数，可知余数为18；又2418432除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．5.有一叠300张卡片，从上到下依次编号为1~300，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片．那么剩下的这张卡片是原来300张卡片的第几张？82【分析】当有2562（张）卡片时，第一轮过后剩下的是2的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是28的倍数号卡片……第8轮过后，剩下的是2的倍数号卡片，即就剩下1张卡片，是第256号卡片．现在有300张卡片，如果拿掉30025644（张）卡片，剩下256张卡片，那么就变为上述的情况了．拿掉的第44张卡片是编号为442187（号）的卡片，此时剩下256张卡片，下一个要拿掉的是第89号卡片，第88号是最后一张．所以，剩下的这张卡片是原来的第88张．6.分别在33的方格表的每个小方格内填入不同的数码，使得(1)ABC是8的倍数且A0、B0、C0；(2)DEF123n，其中n是正整数；(3)GHJ为三个连续质数的乘积；10第11级下超常体系教师版\n第四讲(4)ADG是11的倍数且A0、D0、G0m(5)BEH2其中m是正整数；(6)CFJ是11的倍数。ABCDEFGHJ第11题请问ABCDEFGHJ之值为何？【分析】由于123424，12345675040，而DEF是一个三位数，所以n5610或6，无论n取何值，EF20都是一定的。因为264，21024，所以m7、8、9之一，当m7时，BEH128；当m8时，BEH256，与E2不符，舍去；当m9时，BEH512，也与E2不符，舍去。故只有m7时，BEH128符合要求。因为23530，711131001不是三位数，所以GHJ等于357105或5711385。因为H8，所以GHJ等于385。因为CFJ是11的倍数，所以CJFC50C5是11的倍数，所以C6。因为ABC是8的倍数，即A16是8的倍数，所以A是偶数，0~9中剩下的偶数只有4，所以A4。因为ADG是11的倍数，所以AGD43D7D是11的倍数，所以D7。所以ABCDEFGHJ416720385。7.甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图中的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?【分析】当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当N取5时，当甲在最右边的方格内填入一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，显然当N取l时，乙一定获胜；当N取3或9时，只要数字和对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时（可以让前三位与后三位的数相同），这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜第11级下超常体系教师版11\n8.有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数，将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．3【分析】4个数字组成18个数，183P，故必有一个0．3设4个数字为0abc，则abc0，cba0都是完全平方数．abccba001001(ac)110b0(mod11)而完全平方数被11除的余数只有0，1，4，9，5，3，因此abccba000(mod11)，于是22容易得到：108933，980199．所以，最大为9801．家庭作业1.以多位数142857为例，说明“一个多位数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数能被9整除.”【分析】1428571100000410000210008100510711199999()4(19999)2(1999)8(199)5(19)71(19999949999299989959)(142857)因为根据整除性质1，等式右边第一个括号内的数能被9整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被9整除，只需判断142857能否被9整除，因此结论得到说明.2.19191919除以99的余数是多少？20个19【分析】由于100a99aa，所以100a除以99的余数等于a除以99的余数．同样，10000a，1000000a……等数除以99的余数等于a除以99的余数．可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于a除以99的余数．本题中，从个位数字开始，每两位一节，可以把19191919分成20节，每节都是19，这20个19样，19191919除以99的余数，就等于191919191920380除以99的余数；20个1920个19再用前面的方法，把380从个位开始分为两节：3和80，所以380除以99的余数等于38083．也就是说19191919除以99的余数是83．20个193.（首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛试题）一个六位数3434ab能同时被8和9整除。已知a+b=c，求c的值。【分析】方法一整除分析法：六位数能被9整除，所以9|(3+4+34ab)，于是ab4(mod9)，又因为0≤ab≤18，所以ab4或13，得到三位数4ab的可能值有440，422，404，494，476，458。经筛选，只有440能被8整除。所以a4，b0，因此c404。方法二试除法：因为89，72，所以这个六位数是72的倍数。343400除以72的余数为32，所以12第11级下超常体系教师版\n第四讲343400+40=343440能被72整除。所以c404。4.已知21!AB0909421717094CD000，那么四位数ABCD是多少？【分析】由于1～21中有4个5的倍数，所以21!的末尾有4个0，所以D0．由于21!251015820M1000083M(M为正整数)，所以AB0909421717094CD000去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么94C是8的倍数，所以C4．由于该数既是9的倍数，又是11的倍数。则该数必然为99的倍数。则有：044917174299ABAB147为99的倍数。所以AB51。则该四位数ABCD为5140。455.已知一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹1524果和几个梨？45【分析】方法一：根据上述分析本题实质上是求和的最小公倍数1524[45]，20根据求分数最小公倍数的方法知道这个数是（1524，）320204所以苹果和梨的总重量都是千克，因此苹果个数是25个，梨的个数是331520532个。324方法二：设苹果有x个，梨有y个45所以xy，推出xy:25:321524故x最小是25，y最小是32。442020x25所以总重量是千克。151533上面两个方法一个是直接使用分数最小公倍数的公式（请同学们自己想一想这个公式为什么成立）另一个是列方程6.把1～2013这2013个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；……(每隔一个数，擦去一个数)，转圈擦下去．求最后剩的是哪个数？10111011【分析】本题中，因为21024，22048，所以220132，且20131024989，就是说，10要剩2个数，需要擦去989个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第989个数时，擦的数是98921978,下一个起始数是1979，那么最后剩的就应该是1979．7.（第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试一）一个五位回文数，它是7的倍第11级下超常体系教师版13\n数；如果将它的十位和个位互换，新得的五位数是11的倍数；如果将它的十位和百位互换，新得的五位数是13的倍数。那么，原五位数为。____________________________________【分析】设这个五位数为abcba，则7|cbaab；11|cabab；13|bcaab。__________________由11|cabab可知c0；再由7|cbaab可知a、b差为7；_________由13|bcaab得13|11ba，因此ab，a、b的取值只能为（9，2）、（8，1）、（7，0）、（1，8）或（2，9），经试验（9，2）符合题意，因此这个五位数为92029。8.学而思竞赛班来了四名新同学，有一天老师在黑板上写了一个两位数让四位同学猜，他们每个人都说了两句话：甲说：“这个数除以2余1；这个数除以3余2。”乙说：“这个数除以4余3；这个数除以5余4。”丙说：“这个数除以6余5；这个数除以7余6。”丁说：“这个数除以8余7；这个数除以9余8。”老师说每位同学都只说对了一半，请问这个两位数是多少？【分析】我们观察到，如果这8句话全对，那么我们设这个数为x，则x1能被2,3,4,5,6,7,8,9同时整除。但是我们知道，这是不可能的。我们用假设法：假设x1能被9整除，则x1不能被8整除；则x1就能被3整除，则x1就不能被2整除；而且x1也不能被4整除，则x1就能被5整除；这样x1就不能被6整除，则x1就能被7整除。这样的话x1能被3,5,7,9整除，x1最小为315，这不是一个两位数，所以这是不可能的。那么我们知道x1不能被9整除，则x1能被8整除；则x1不能被3整除，x1能被2整除；则x1不能被6整除，x1能被7整除；则x1不能被5整除，x1能被4整除。这样的话x1能被2,4,7,8整除，x1最小为56，所以x55。超常班学案【超常班学案1】（2009年“数学解题能力展示”读者评选活动小学五年级组初赛试题）将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【分析】注意到45678939是3的倍数，因此这个6位数一定被3整除．继而，这个六位数一定是66732001的倍数．设这个六位数为abcdef，显然abcdef除以2001的结果是一个三位数，且这一个三位数一定是def．于是，abc2def．由百位数字知，a9，14第11级下超常体系教师版\n第四讲d4．接着由个位数字知，c6，f8．从而，可以确定abc956，def478，abcdef956478．因此，abcdef6679564786671434．综上所述，这个6位数除以667的结果是1434．【超常班学案2】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是_______【分析】7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除5240005041039344，所以所得六位数是524000344523656，或523656504523152．因此三个数字的和是17或8．【超常班学案3】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【分析】因为343777，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．可以发现，25与49相差太远，98与75相差太远，只能是49与50比较接近，所以49和50都在这11个数中．由于其中有3个是5的倍数，所以这11个数中最大的、中间的和最小的都是5的倍数，既然50不是最小的，那可能是最大的或中间的．如果50是最大的，则这11个数为40～50，满足题意；如果50是中间的数，则这11个数为45～55，此时其中只有49一个数是7的倍数，不合题意．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50．它们的平均数即为它们的中间项45．【超常班学案4】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把三个数和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是。【分析】第一轮：划了33次，在后面写上6，15，24，294，一共33个数。第二轮：划了11次，在后面写上45，126，207，855，共11个数。设这11个数为：a1，a2，a3，，a11。接下去的数是：(a1a2a3)，(a4a5a6)，(a7a8a9)，(a10a11a1a2a3)，(aaaaaaaaaaa)。最后一个数为：1011123456789(199)994950。2第11级下超常体系教师版15\n123班学案【123班学案1】把数字1到9各使用一次，组成一个被555667整除的9位数，这个9位数是________．【分析】由于这个九位数的各位数字之和为45，是9的倍数，所以该9位数abcdefghi一定被9整除，而555667不被3整除，所以该9位数一定能够被55566795001003整除．9位数abcdefghi除以5001003的商显然小于200，考虑这个商与5001003的乘法竖式，可以发现abcdefghi::5:1:3．显然c5，d1，f和i都是奇数．⑴假设f3，则i9，由ghi3def得3g5，所以g4，根据ghi3def中的进位，可知3e6，所以e6，这样1633489，1635815，出现重复数字，不符合题意；⑵假设f7，则i1，出现重复数字，不符合题意；⑶假设f9，则i7，因为g不能再等于5，所以ghi3def500，由此得到e6，依次尝试e2，3，4，6，发现只有e2符合：1293387，1295645．所以所求的9位数为645129387．【123班学案2】已知82位数学888学被999整除，则“学”=80个89个9【分析】根据被999整除规律，应该是9位一段，求和，因此有9个9888学888888888学和是999倍数，因此当学+学=8时，恰好是8个89个89个89个89个9999倍数，因此“学”=49个9【123班学案3】1351991的末三位数是多少？【分析】首先，由于要求末三位数字，可以仅考虑后三位数字，也就是考虑这个数除以1000的余数，由于10008125，而题中这个数肯定是125的倍数，那么如果能知道这个数除以8的余数，也就可以知道它除以1000的余数了．由于这个数是奇数数列1，3，5，7，9，11，……，1991的乘积，而9与1、11与3……除以8的余数相同，所以如果将这个数列每4个分为一组：(1，3，5，7)，(9，11，13，15)，……那么每组中的4个数的乘积除以8的余数是相同．由于1～1991共有996个数，所以恰可以分成9964249组．第一组中4个数的乘积为1357105，除以8的余数为1，所以每组中4个数的乘积除以8的乘积也都是1，这样249组数的总乘积除以8的余数也是1．由于末三位是125的奇数倍，可能为125，375，625，875，它们除以8的余数分别为5、7、1、3，只有625除以8的余数为1，所以原题中乘积的末三位数字为625．16第11级下超常体系教师版\n第四讲【123班学案4】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是．【分析】从简单的情况入手找规律．(1)若纸上只写有1，2，3则一次操作即可．为1，2，3，6；(2)若纸上只写有1，2，3，…8，9则操作四次即可为1，2，3，…，7，8，9，6，15，24，45．nn1n1显然，当数的个数为3个时，划3次，划去了前3n个，写上了3个，继续如此划下去，nn1n1最终变成1个．并且，个数由3变成3时，3n个数的和与3个数的和相等．n4对于1，2，…，97，98，99，首先划去一部分，使其个数变为3个，381，998118，先去掉18个数，使数的总数变成81，即先划去1～27这27个，写上9个，写上的9个数之和等于1～27的总和，对于此时留在纸上的81个数，划27次变成27个，再划9次变成9个，接着划3次变成3个，最后划1次，变成1个，纸上所出现的所有数的和是(12399)5(12327)25128．第11级下超常体系教师版17