[A级 基础练]1．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝( )A．－2B．0C．2D．1解析：选A.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，所以f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，所以f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，所以f＋f(1)＝－2.2．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)解析：选B.通解：设所求函数的图象上的任一点坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数y＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.优解：由题意知，对称轴x＝1上的点(1，0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，将点(1，0)代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D.故选B.3．若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )A．f(3)<f(1)<f(－2)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(－2)<f(1)解析：选D.因为∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，所以当x≥0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)．4．已知函数f(x)满足f(x－1)＝f(5－x)，且对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，都有<0成立，若p＝f(7)，q＝f(－8)，m＝f(－2)，则p，q，m的大小关系为( )A．q<m<pB．p<m<qC．q<p<mD．p<q<m解析：选C.因为f(x－1)＝f(5－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，都有<0成立，所以f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增．q＝f(－8)＝f(12)，m＝f(－2)＝f(6)，则f(6)>f(7)>f(12)，即
m>p>q，故选C.5．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，则f(19)＝－1解析：选BCD.根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(19)＝f(－5＋24)＝f(－5)＝－1，D正确．6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a＝0，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.答案：0 －77．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．解析：f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2.答案：28．已知函数f(x)＝则f(2021)＝________．解析：当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，则f(2021)＝f(2019)＋1＝f(2017)＋2＝…＝f(1)＋1010＝f(－1)＋1011，而f(－1)＝0，故f(2021)＝1011.答案：10119．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，因为x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.所以f(x)＝(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1，0)，(0，1)．10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．[B级 综合练]11．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]解析：选D.通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.12．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－解析：选ABC.由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f(x)的周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2.C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f＝f＝－，D错误． 13．已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的实数x，y∈R，有f(x－y＋1)＝f(x)·f(y)＋f(1－x)f(1－y)；②f(x)在区间[0，1]上单调递增．(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)是图象关于直线x＝1对称的奇函数．解：(1)令x＝y＝0，则f(1)＝f2(0)＋f2(1)， ①再令x＝0，y＝可得f＝f(0)·f＋f(1)f.若f＝0，则f(1)＝f2＋f2＝0，这与f(x)在区间[0，1]上单调递增矛盾，故f≠0，故1＝f(0)＋f(1)． ②联立①②解得f(0)＝0且f(1)＝1，或f(0)＝且f(1)＝(舍去)．综上，f(0)＝0，f(1)＝1.(2)证明：用y代替1－y得f(x＋y)＝f(x)·f(1－y)＋f(1－x)f(y)． ③在③中令y＝－x，可得f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)·f(－x)． ④由③式可知f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)·f(1)＝f(1－x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，将上式代入④可得0＝f(x)f(1＋x)＋f(1＋x)f(－x)．又f(x＋1)不恒为0，故f(x)＋f(－x)＝0恒成立，故f(x)为奇函数．14．已知函数f(x)＝(其中a，b，c，d是实数常数，x≠－d)．(1)若a＝0，函数f(x)的图象关于点(－1，3)成中心对称，求b，d的值；(2)若函数f(x)满足条件(1)，且对任意x0∈[3，10]，总有f(x0)∈[3，10]，求c的取值范围．
解：(1)因为a＝0，所以f(x)＝＝b＋.我们知道函数y＝(x≠0)的图象关于点(0，0)对称，而f(x)＝b＋相当于将f(x)＝向左平移d个单位，再向上平移b个单位得到，因此f(x)的对称中心是(－d，b)．又因为函数f(x)的图象的对称中心是(－1，3)，所以(2)由(1)知，f(x)＝3＋.依据题意，对任意x0∈[3，10]，恒有f(x0)∈[3，10]．①当c＝3时，f(x)＝3，符合题意．②当c≠3且c<3时，对任意x∈[3，10]，恒有f(x)＝3＋<3，不符合题意．所以c>3，函数f(x)＝3＋在[3，10]上是单调递减函数，且满足f(x)>3.因此，当且仅当f(3)≤10，即3<c≤31时符合题意．综上，所求实数c的取值范围是[3，31]．[C级 创新练]15．如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是( )A．f(x)＝sinxB．f(x)＝exC．f(x)＝x3－3xD．f(x)＝x|x|解析：选D.根据题意，对于任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sinx为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意．故选D.16．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数．给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．解析：由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f，即f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)
是周期为3的周期函数，①正确．由函数y＝f为奇函数，得f＝－f，所以函数y＝f的图象关于点对称，②正确．由f＝－f(x)，得f＝－f.又f＝－f，所以f＝f，即f(x)＝f(－x)，故③正确．由①知f(x)为周期函数，所以f(x)不可能单调，故④错误．因此真命题的序号为①②③.答案：①②③
