[A级 基础练]1．(2021·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是( )A．1 B．2C．3D．4解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．(2021·镇江模拟)函数f(x)＝－x的零点位于区间( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B.函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．因为f(1)＝－＝>0，f(2)＝－＝－<0，所以f(1)·f(2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2)．故选B.3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )A．a＝1B．a>1C．0≤a<1D．a<0解析：选A.方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A.4．(多选)给出以下四个方程，其中有惟一解的是( )
A．lnx＝1－xB．ex＝C．2－x2＝lg|x|D．cosx＝|x|＋1解析：选ABD.对于A，设f(x)＝lnx＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故lnx＝1－x有惟一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点的判定可得ex＝有惟一解，符合题意；对于C，设h(x)＝x2＋lgx－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg2＞0，由函数零点的判定可得h(x)＝x2＋lgx－2有惟一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cosx∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cosx＝x＋1，即cosx＝|x|＋1有惟一解，符合题意．5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )A．(1，2)B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D.当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案：－7．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x>0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；
当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点．答案：38．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]9．设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：(1)如图所示．(2)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．
[B级 综合练]11．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.B.C．－D．－解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C项．12．(多选)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是( )A．x1＋x2＝－1B．x3x4＝1C．1<x4<2D．0<x1x2x3x4<1解析：选BCD.由函数f(x)＝作出其函数图象：由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1；当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，所以<x3<1<x4<2；由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD.13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.14．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.[C级 创新练]15．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(0，1)B．(0，2)∪(2，3)
C．(0，2)D．(0，－1)∪(－1，2)解析：选A.若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即x>0.所以f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．因为y＝f(x)－c有两个零点，所以f(x)＝c有两个解，所以0<c<1.故选A.16．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有惟一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是( )A.B.C.∪D.∪解析：选D.|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|<mx－2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示．易知m＝0时不满足题意．当m>0时，要存在惟一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，
则即解得<m≤.当m<0时，要存在惟一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，则即解得－≤m<－2.综上，实数m的取值范围是∪.故选D.
