[A级 基础练]1．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )A．a>1，b>1 B．a>1，0<b<1C．0<a<1，b>1D．0<a<1，0<b<1解析：选D.由题图从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点(0，1－b)，所以0<1－b<1，则0<b<1.2．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为( )解析：选C.将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln[1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1，2)，故C正确，选C.3．(2021·苏锡常镇四市联考)函数y＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致是( )
解析：选D.y＝是偶函数，其图象关于y轴对称．当x≥0时，函数y＝，y′＝，当x∈[0，2)时，y′≥0，y＝在[0，2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，y′<0，y＝在(2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[0，＋∞)上有且只有一个极大值点是x＝2，故选D.4．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )解析：选AC.函数y＝a－x与y＝loga(a>0且a≠1)的单调性相反，所以排除B，D项；当a>1时，可能的图象是C项；当0<a<1时，可能的图象是A项．故选AC.5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为( )A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．6．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f＝________．解析：由题图知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.答案：27．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：问题等价于函数y＝f(x)的图象与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.答案：(1，＋∞)8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图：
由图易知a<2.答案：(－∞，2)9．作出下列函数的图象．(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|.解：(1)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．(2)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．10．作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．解：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，
函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．[B级 综合练]11.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是( )解析：选A.y＝f(x)＝画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.12．(多选)函数f(x)＝的图象可能是( )解析：选ABC.函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论．若a＝0，则f(x)＝＝，选项C符合；f′(x)＝，当a<0时，f′(x)<0恒成立，故f(x)在(－∞，－)，(－，)，(，＋∞)上单调递减，A项符合；当a>0时，f′(x)＝0，解得x＝±，当f′(x)>0，即x∈(－，)时，f(x)单调递增，当
f′(x)<0，即x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，f(x)单调递减，B项符合；不可能出现D项的情形，故选ABC.13．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)f(x)＝x|x－4|＝f(x)的图象如图所示．(3)由f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．14．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即m的取值范围为(－∞，0]．[C级 创新练]15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L·E·J·Brouwer)，简单讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A．f(x)＝2x＋xB．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝D．f(x)＝lnx－1解析：选BC.根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解，对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此方程无解，所以f(x)＝2x＋x不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，解得x＝3或x＝－1，所以f(x)＝x2－x－3是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，解得x＝－或x＝1，所以f(x)＝是“不动点”函数；对于D，令lnx－1＝x，得lnx－x－1＝0，设g(x)＝lnx－x－1，则g′(x)＝－1＝，所以当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1
时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－2，所以方程lnx－x－1＝0无解，所以f(x)＝lnx－1不是“不动点”函数．故选BC.16．(多选)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中是真命题的有( )A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是B．函数y＝f(x)是偶函数C．函数y＝f(x)是奇函数D．函数y＝f(x)在上单调递增解析：选AD.化简函数解析式可得，f(x)＝x－{x}＝画出该函数的图象，如图所示，由图象可知A，D正确．
