[A级 基础练]1．下列所给图象中函数图象的个数为( )A．1 B．2C．3D．4解析：选B．①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B．2．函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0，2)B．(2，＋∞)C．[0，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C．由题意得解得x≥0且x≠2.3．已知f＝＋，则f(x)＝( )A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)C．x2－x＋1(x≠1)D．x2＋x＋1(x≠1)解析：选C．f＝＋＝－＋1，令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．4．已知f(x)＝则f＋f的值为 ( )A．－2B．4C．2D．－4
解析：选B．由题意得f＝2×＝.f＝f＝f＝2×＝.所以f＋f＝4.5．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选B．①y＝3－x的定义域与值域均为R；②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为；③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)；④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．故选B．6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为( )A．(－∞，2]B．(－∞，0]∪(1，2]C．[0，2]D．(－∞，0]∪[1，2]解析：选D．当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，即log2x≤log22，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以1≤x≤2；当x<1时，不等式f(x)≤1为≤1，所以－1≤0，所以≤0，所以≥0，
所以x≤0或x>1(舍去)．所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故选D．7．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则( )A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx解析：选D．当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D．8．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D．当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．9．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为______________________________．解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，所以①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．答案：f(x)＝x－＋(x≠0)
10．(2021·福州市质量检测)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则a＝________．解析：因为f(1)＝21＋1＝3，所以f(a)＝－3，当a＞0时，2a＋1＝－3，无实数解；当a≤0时，a＋2＝－3，解得a＝－5.综上，a＝－5.答案：－511．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝________．解析：当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．所以a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.答案：－12．已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为________．解析：因为f(x)＝所以当x＋1≤0时，解得－4≤x≤－1；当x＋1>0时，解得x>－1.综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．答案：[－4，＋∞)[B级 综合练]13．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )A．(f·f)(x)＝f(x)B．(f·g)(x)＝f(x)C．(g·f)(x)＝g(x)D．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A．对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)
＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．14．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．解析：当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0<x≤时，f＝x＋>，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－<x≤0.综上所述，x的取值范围是.答案：[C级 提升练]15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}解析：选D．f(x)＝＝＝1＋，因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，则0<<2，所以1<1＋<3，即1<f(x)<3，
当1<f(x)<2时，[f(x)]＝1，当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D．16．设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sinx－1.其中是“美丽函数”的是________(填序号)．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sinx－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③
