[A级 基础练]1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )A．0 B．1C．2D．3解析：选C．令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C．2．函数y＝x－4·的零点所在的区间是( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B．因为y＝f(x)＝x－4·＝x－是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B．3．设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选C．令m(x)＝log3x＋x－3，则函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3单调递增且连续，且满足m(2)·m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C．
4．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为( )A．(－1，0)B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)D．(0，1)解析：选B．在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B．5．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是( )A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a<0时，函数f(x)有两个零点D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点解析：选B．f(x)＝0⇔ex＝a＋(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f(x)＝－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g(x)＝与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0，2π]
上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.答案：37．函数f(x)＝＋2cosπx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y＝与y＝－2cosπx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：108．方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为______．解析：若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则＝a－2x有解，即·＋2x＝a有解，因为·＋2x≥1，故a的最小值为1.答案：19．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋，又因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]．
10．设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f(x)＝＝故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，所以＋＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．[B级 综合练]11．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于( )A．1B．－1C．eD．解析：选A．考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A．
12．(2020·南充市第一次适应性考试)函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )A．a＝1B．a>1C．0≤a<1D．a<0解析：选A．方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A．13．设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1<a<e＋1.因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，1，2，3，共4个．答案：414．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.[C级 提升练]15．定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )A．3个B．2个C．1个D．0个解析：选B．由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图)．由于两函数图象有2个交点，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在内有2个零点．16．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(0，1)B．(0，2)∪(2，3)C．(0，2)D．(0，－1)∪(－1，2)解析：选A．若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即0<2x≤1，解得x≤0；若2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即
x>0.所以f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．因为y＝f(x)－c有两个零点，所以f(x)＝c有两个解，所以0<c<1.故选A．
