[A级 基础练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝ B．y＝|x|－1C．y＝lgxD．y＝解析：选B．y＝为奇函数；y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．2．(2020·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)( )A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减解析：选A．方法一：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．方法二：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝x3－，
得f′(x)＝3x2＋>0，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．3．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝( )A．6B．－6C．4D．－4解析：选A．因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，所以f(0)＝1＋2b＝0，所以b＝－.所以f(x)＝3x－7x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选A．4.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝( )A．－B．－C．D．解析：选B．因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－.5．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( )A．0B．2C．4D．8
解析：选B．f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________.解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.答案：37．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________．解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f＝f＝f＝＋1＝.答案：8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.答案：－19．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象
如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.[B级 综合练]11．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )A．B．C．πD．解析：选B．由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝，故选B．12．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞时，f＝f，则f(5)＝( )A．B．－C．－2D．2解析：选B．因为当x＞时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)
＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B．13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．答案：f(1)>g(0)>g(－1)14．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．[C级 提升练]15．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x
－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝( )A．404B．405C．806D．809解析：选A．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2021)＝404×1＋f(1)＝404＋0＝404.16．已知R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，当x∈(－1，1)时，f(x)＝则f(logba)＋f(a)＋f＝________．解析：当0＜x＜1时，－1＜－x＜0，f(x)＝－x2＋2x，f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＝ax2－bx，由f(－x)＝－f(x)，得ax2－bx＝－(－x2＋2x)，求得a＝1，b＝2.又函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．所以f(logba)＋f(a)＋f＝f(log21)＋f(1)＋f＝f(0)＋f(1)＋f＝f(0)＋[－f(0)]＋f＝f＝.答案：
