[A级 基础练]1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：选B．要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B．2．函数f(x)＝－x的零点位于区间( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B．函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．因为f(1)＝－＝>0，f(2)＝－＝－<0，所以f(1)·f(2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2)．故选B．3．函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )A．a＝1B．a>1C．0≤a<1D．a<0解析：选A．方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A．
4．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )A．(1，2)B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D．当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D．5．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则－x1x2＋x3＋x4的取值范围为( )A．(3，3＋e)B．[3，3＋e)C．(3，＋∞)D．(3，3＋e]解析：选D．函数y＝f(x)－a有四个不同的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个不同的交点，大致图象如图所示．由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程e(x＋1)2＝a的两根，即x2＋2x＋1－lna＝0的两根，所以x1x2＝1－lna．x3，x4是方程x＋－3＝a的两根，即x2－(3＋a)x
＋4＝0的两根，所以x3＋x4＝3＋a，所以－x1x2＋x3＋x4＝a＋lna＋2，又h(a)＝a＋lna＋2单调递增，所以当1＜a≤e时，h(a)∈(3，3＋e]．故选D．6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案：－7．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x>0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点．答案：38．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．
答案：(0，1]9．设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：(1)如图所示．(2)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．[B级 综合练]10．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A．B．C．－D．－解析：选C．因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C项．11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝如果关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋1＝0恰好有7个不同的实数根，则m－n的值为________．解析：画出函数f(x)的图象如图所示，
令f(x)＝t，则原方程可化为mt2＋nt＋1＝0，由图象可知，要使原方程有7个不同的实数根，应使方程mt2＋nt＋1＝0有2个不同的实数根，且分别是和.由根与系数的关系可得解得于是m－n＝4.答案：412．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.13．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.[C级 提升练]14．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(0，1)B．(0，2)∪(2，3)C．(0，2)D．(0，－1)∪(－1，2)解析：选A．若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即x>0.所以f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．因为y＝f(x)－c有两个零点，所以f(x)＝c有两个解，所以0<c<1.故选A．15．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)
＝x3，则函数g(x)＝|cosπx|－f(x)在区间上的所有零点的和为( )A．1B．2C．3D．4解析：选C．由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)是偶函数，由f(x)＝f(2－x)，可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1.由于函数f(x)与函数y＝|cosπx|均为偶函数，所以在上g(x)的零点之和为0，只需求g(x)在上的零点和．在同一个直角坐标系中画出函数y＝|cosπx|，y＝f(x)在上的图象如图，在上，(1，1)为两函数图象的交点，另外两个交点关于x＝1对称，所以在上，g(x)的零点和为3，故所有零点的和为3.
