2010年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）)1.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．A.个B.个C.个D.个2.在函数中，自变量的取值范围是（）香A.B.㌳C.香D.3.已知一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（）A.圆柱B.圆锥C.球体D.正方体4.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有()A.个B.个C.个D.个5.二次函数香香ݔ的图象的顶点坐标是（）A.香B.C.香D.香6.已知两圆的半径、分别为方程香ݔ＝的两根，两圆的圆心距为，两圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.外离7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点，的读数分别为，，则的大小为()A.B.C.D.试卷第1页，总12页
8.某射击小组有人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.，B.，‸C.，‸D.，‸9.如图，现有一圆心角为，半径为半径的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为()A.半径B.半径C.半径D.半径10.如图，正三角形的内切圆半径为，那么三角形的边长为（）A.B.C.D.11.如图所示，菱形的周长为半径，，垂足为，sin，则下列结论正确的个数有（）①＝半径；②＝半径；③菱形的面积为半径；④＝半径．A.个B.个C.个D.个12.上海世博会的某纪念品原价元，连续两次降价后售价为元．下列所列方程中正确的是()A.ݔB.香C.香D.香13.抛物线＝ݔܾݔ半图象向右平移个单位再向下平移个单位，所得图象的解析式为＝香香，则ܾ、半的值为（）试卷第2页，总12页
A.ܾ＝，半＝B.ܾ＝，半＝C.ܾ＝香，半＝香D.ܾ＝香，半＝香香14.已知点香，，在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（）A.㌳㌳B.㌳㌳C.㌳㌳D.㌳㌳15.二次函数＝ݔܾݔ半的图象如图所示，则一次函数＝ܾݔܾ香半与反比ݔܾݔ半例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A.B.C.D.二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）)16.已知关于的一元二次方程径香ݔݔ有实数根，则径的取值范围是________．17.如图，直角梯形中，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连接、，的面积为，则的长为________．18.如图，扇形，，与、分别相切于点、，并且与弧试卷第3页，总12页
切于点，则扇形的面积与的面积比是________．19.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距米．甲身高‸米，乙身高‸米，则甲的影长是________米．20.如图，小明的父亲在相距米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是‸米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高米的小明距较近的那棵树‸米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．三、解答题（共8小题，满分70分）)香21.（1）香tan香香‸ݔ香ݔ；21.（2）已知：ݔ，与成正比例，与成反比例，且时，；香时，．求香时，的值．22.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若中米，米，，试求小明家圆形花坛的面积．试卷第4页，总12页
23.小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了张扑克牌，将数字为，，，的四张牌给小敏，将数字为，，，的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．24.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为米．（1）求新传送带的长度；（2）如果需要在货物着地点的左侧留出米的通道，试判断距离点米的货物㤵㐠是否需要挪走，并说明理由．（2）的计算结果精确到‸米，参考数据：‸，‸，‸，‸25.如图，是反比例函数㌳在第一象限图象上的一点，点的坐标为．（1）当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？（2）若与均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及点的坐标．26.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，＝，＝．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是的中点，交于点㤵，若＝，求㤵的值．试卷第5页，总12页
27.已知平行四边形中，对角线和相交于点，，．（1）若，试求四边形的面积；（2）若与的夹角，求四边形的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形”改为“四边形”，且，，ܾ，试求四边形的面积（用含，，ܾ的代数式表示）．28.如图，已知矩形的顶点与点重合，、分别在轴、轴上，且＝，＝；抛物线＝香ݔܾݔ半经过坐标原点和轴上另一点（1）当取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形以每秒个单位长度的速度从图所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒，点为抛物线顶点，直线与该抛物线的交点为㤵（如图所示）．①当时，判断点是否在直线上，并说明理由；②以、㤵、、为顶点的多边形面积是否可能为？若有可能，求出此时㤵点的坐标；若无可能，请说明理由．试卷第6页，总12页
参考答案与试题解析2010年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.B2.D3.B4.B5.A6.B7.B8.C9.C10.D11.C12.B13.B14.B15.D二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16.径且径17.ݔ18.19.20.‸三、解答题（共8小题，满分70分）21.解：（1）原式香香ݔݔ香ݔݔ；（2）与成正比例，与成反比例设，，ݔ把，，香，分别代入上式，得ݔ香∴∴ݔ，当香时，香ݔ香香．香22.解：（1）如图，即为所求作的花园的位置．试卷第7页，总12页
（2）∵，∴是直径．∵米，米，∴米，∴外接圆的半径为米，∴小明家圆形花坛的面积为平方米．23.解：（1）根据题意，我们可以画出如下的树形图：或者：根据题意，我们也可以列出下表：小敏哥哥从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有个，所以小敏看比赛的概率（和为偶数）．（2）哥哥去看比赛的概率（和为奇数）香，因为，所以哥哥设计的游戏规则不公平；如果规定点数之和小于等于时则小敏（哥哥）去，点数之和大于等于时则哥哥（小敏）去．则两人去看比赛的概率都为，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将张牌中的、、、四张牌给小敏，而余下的、、、四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规则也是公平的．（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可．）24.如图，作于点．试卷第8页，总12页
中，＝sin＝．在中，∵＝，∴＝＝‸．即新传送带的长度约为‸米；结论：货物㤵㐠应挪走．在中，＝cos＝．在中，＝cos＝．∴＝香＝香香‸．∵＝香香‸＝‸，∴货物㤵㐠应挪走．25.解：（1）过作，垂足为，设ܾ，∵在第一象限，∴的面积ܾܾ．又∵当㌳时，在每一个象限内，随的增大而减小．故当点的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则的面积将逐渐减小．（2）因为为边长是的等边三角形，所以，，所以．代入，得，所以反比例函数的解析式为．作，垂足为．设，则ݔ，，所以ݔ．∵ݔ在反比例函数的图象上，试卷第9页，总12页
∴代入，得ݔ，化简得ݔ香解得：香．∵㌳，∴香ݔ香∴．ݔ，∴ݔ，所以点的坐标为．26.证明：∵＝，∴＝．又∵＝，＝，∴＝＝．又∵是的直径，∴ݔ＝．∴ݔ＝．即，∵是的半径．∴是的切线．证明：∵＝，∴＝，∴＝＝＝．又∵＝ݔ＝，ݔ，∴＝，∴＝．∴．连接，，∵点是的中点，∴，∴＝．∵＝，∴＝．∵㤵＝，∴㤵．㤵∴．∴＝㤵．又∵是的直径，，∴＝，＝．∵＝，∴＝．∴㤵＝＝．试卷第10页，总12页
27.∵，∴四边形的面积．分别过点，作，，垂足分别为，．∵四边形为平行四边形，∴，．在中，sin，∴sinsin．∴．∴四边形的面积．如图所示，过点，分别作，，垂足分别为，．在中，sin，∴sinsin．同理可得sinsin．∴四边形的面积ݔݔsinݔsinܾsin．试卷第11页，总12页
28.因抛物线＝香ݔܾݔ半经过坐标原点和点，故可得半＝，ܾ＝，所以抛物线的解析式为＝香ݔ，由＝香ݔ香香＝，ݔ，得当＝时，该抛物线的最大值是；①点不在直线上；已知点的坐标为，点的坐标为，设直线的关系式为＝ݔ；ݔ于是得，，ݔ香解得：，所以直线的关系式为＝香ݔ；由已知条件易得，当时，＝，，∵点的坐标不满足直线的关系式＝香ݔ；∴当时，点不在直线上；②以、㤵、、为顶点的多边形面积可能为∵点在轴的非负半轴上，且㤵在抛物线上，∴＝＝；∴点、㤵的坐标分别为、香ݔ，∴㤵＝香ݔ，∴㤵香＝香ݔ香＝香ݔ＝香，∴㤵＝香ݔⅰ当㤵＝，即＝或＝时，以点，㤵，，为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，∴＝；ⅱ当㤵时，以点，㤵，，为顶点的多边形是四边形∵㤵，，∴ݔݔ香＝ݔ香ݔ㤵ݔ，当香ݔݔ＝时，解得＝、而、都在范围内，故以、㤵、、为顶点的多边形面积为综上所述，当＝、时，以点，㤵，，为顶点的多边形面积为，当＝时，此时㤵点的坐标当＝时，此时㤵点的坐标．试卷第12页，总12页
