2012年甘肃省兰州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题4分，共60分）．)1.sin⥀的相反数是A.B.C.D.2.近视眼镜的度数(度)与镜片焦距成反比例，已知⥀⥀度近视眼镜镜片的焦距为⥀Ǥʹ，则与的函数关系式为()⥀⥀⥀⥀A.B.C.D.⥀⥀3.已知两圆的直径分别为和，圆心距为，则这两个圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.外离D.内含4.抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.轴D.直线5.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A.B.C.D.6.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为的“等边扇形”的面积为（）A.B.C.D.7.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是A.先向左平移个单位，再向上平移个单位B.先向左平移个单位，再向下平移个单位C.先向右平移个单位，再向下平移个单位D.先向右平移个单位，再向上平移个单位8.用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是⥀，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）试卷第1页，总14页
A.⥀ǤB.⥀ǤC.⥀ǤD.⥀Ǥʹ9.在反比例函数⥀的图象上有两点鑷，，，则的值是（）A.负数B.非正数C.正数D.不能确定10.某学校准备修建一个面积为⥀⥀平方米的矩形花圃，它的长比宽多⥀米，设花圃的宽为米，则可列方程为（）A.⥀⥀⥀B.⥀⥀⥀C.⥀⥀⥀D.⥀⥀⥀11.已知二次函数香⥀有最小值，则，香的大小关系为（）A.香香B.香C.香D.不能确定12.如图，是的直径，弦＝，是弦的中点，＝⥀．若动点以݉的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为⥀，连接，当是直角三角形时，的值为（）A.B.C.或D.或或13.如图，四边形中，⥀，⥀，在，上分别找一点，，使周长最小时，则的度数为A.⥀B.⥀C.⥀D.⥀⥀14.二次函数香⥀的图象如图所示，若香⥀有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.香C.D.香15.在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提试卷第2页，总14页
起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数（单位）与铁块被提起的高度（单位）之间的函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.二、填空题：每小题4分，共20分．)16.如图所示，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是________．17.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且݉݉轴，，在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为________．18.如图，两个同心圆，大圆半径为ʹ，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆相交，则弦的取值范围是________．19.如图，已知是以坐标原点为圆心，为半径的圆，ʹ，点在轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设鑷⥀，则的取值范试卷第3页，总14页
围是________．20.如图，为双曲线上的一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点，与轴相交于点，则的值为________．三、解答题：本大题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)ʹ21.已知是一元二次方程⥀的根，求代数式的值．22.在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角减至，这样楼梯所占用地板的长度由增加到，已知米，⥀，，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到⥀Ǥ⥀米，参考数据：tan⥀⥀Ǥ，tan⥀Ǥ）23.如图，矩形纸片，把它沿对角线向上折叠，（1）在图中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．试卷第4页，总14页
24.ʹ月、日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是⥀Ǥ，乙同学计算出第一组的频率为⥀Ǥ⥀，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为ǣǣʹ．结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？（2）若跳绳次数不少于⥀次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩中的中位数是⥀次，那么这次测试中，成绩为⥀次的学生至少有多少人？25.如图，定义：若双曲线香⥀与它的其中一条对称轴相交于、两点，则线段的长度为双曲线香⥀的对径．（1）求双曲线的对径．（2）若双曲线香⥀的对径是⥀，求的值．（3）仿照上述定义，定义双曲线⥀的对径．26.如图，中，＝⥀，以为直径的交于点，是的中点，连接、．试卷第5页，总14页
（1）判断与的位置关系并说明理由；（2）求证：＝；ʹ（3）若tan，＝，求的长．27.若、是关于一元二次方程香⥀的两个根，则方程的两个根、香和系数、香、有如下关系：，．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数＝香⥀的图象与轴的两个交点为鑷⥀，鑷⥀．利用根与系数关系定理可以得到、两个交点间的距离为：香香香＝；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数＝香香⥀的图象与轴的两个交点鑷⥀，鑷⥀，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形．（1）当为直角三角形时，求香的值；（2）当为等边三角形时，求香的值．28.如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为鑷⥀、⥀鑷，抛物线香经过ʹ点，且顶点在直线上．试卷第6页，总14页
（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把沿轴向右平移得到，点、、的对应点分别是、、，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接，已知对称轴上存在一点使得的周长最小，求出点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点是线段上的一个动点（点与点、不重合），过点作݉݉交轴于点，连接、，设的长为，的面积为，求和的函数关系式，并写出自变量的取值范围，是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点的坐标；若不存在，说明理由．试卷第7页，总14页
参考答案与试题解析2012年甘肃省兰州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题4分，共60分）．1.C2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.B9.A10.D11.A12.D13.B14.D15.C二、填空题：每小题4分，共20分．16.17.18.⥀19.且⥀20.三、解答题：本大题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．21.解：∵⥀，∴，原式，∴当时，原式．22.楼梯占用地板的长度约增加了⥀Ǥ米．23.解：（1）做法参考：方法：作䁡，在射线䁡上截取，连接；方法：作䁡，在射线䁡上截取，连接；方法：作䁡，过点作䁡䁡，垂足为方法：作䁡，过，点作䁡䁡，垂足为；方法ʹ：分别以、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、．试卷第8页，总14页
∴为所求做的图形．（2）等腰三角形．证明：∵是沿折叠而成，∴，∵四边形是矩形，∴݉݉，∴，∴，∴是等腰三角形．24.解：（1）第二组的频率为⥀Ǥ⥀Ǥ⥀⥀Ǥ⥀，又第二组的人数为人，故总人数为：ʹ⥀（人），⥀Ǥ⥀即这次共抽取了ʹ⥀名学生的一分钟跳绳测试成绩．（2）第一组人数为ʹ⥀⥀Ǥ⥀（人），第三组人数为ʹ人，ʹ第四组人数为ʹ人，则最后两组的人数是：ʹ⥀ʹʹ（人）这次测试的优秀率为⥀⥀ͲͲ．ʹ⥀（3）前三组的人数为ʹ（人），而中位数是第ʹ和第个数的平均数，所以成绩为⥀次的学生至少有人．25.解：过点作轴于，如图，（1）解方程组，得，，∴点坐标为鑷，点坐标为鑷，∴，试卷第9页，总14页
∴，∴，∴双曲线的对径是；（2）∵双曲线的对径为⥀，即⥀，ʹ，∴，∴ʹ，∴点坐标为ʹ鑷ʹ，把ʹ鑷ʹ代入双曲线香⥀得ʹʹʹ，即的值为ʹ；（3）若双曲线⥀与它的其中一条对称轴相交于、两点，则线段的长称为双曲线⥀的对径．26.与相切，理由如下：连接，，∵是直径，∴＝＝⥀，∵是的中点，∴＝＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝＝⥀，∴，∵是半径，∴与相切．证明：∵是的中点，点是的中点，∴是的中位线，∴＝，∵＝，∴，∴，即＝，∴＝；ʹ∵tan，可设ʹ，＝，＝，∵在中，＝＝，＝∴ʹ＝，解得：＝（负值舍去）∴ʹʹ，∵＝⥀，＝⥀，试卷第10页，总14页
∴＝，∴tan＝tan，ʹ∵tan，ʹʹʹ⥀．⥀答：的长是．27.当为直角三角形时，过作于，则＝．∵抛物线与轴有两个交点，∴＝香香⥀，则香＝香．香香∵香⥀，∴，香香又∵＝，香香∴，香∴香，香∴香，∵香香⥀，∴香＝；当为等边三角形时，由（1）可知，香香∴，∵香香⥀，香∴，∴香＝．试卷第11页，总14页
28.∵抛物线香经过点⥀鑷∴＝，ʹ∵顶点在直线上，香香ʹ∴，⥀∴香；⥀∴所求函数关系式为；在中，＝，＝，∴ʹ，∵四边形是菱形，∴＝＝＝＝ʹ，∴、两点的坐标分别是ʹ鑷、鑷⥀，⥀当＝ʹ时，ʹʹ，⥀当＝时，⥀，∴点和点都在所求抛物线上；设与对称轴交于点，则为所求的点，设直线对应的函数关系式为＝香，ʹ香则，香⥀解得：，香∴，ʹʹ当时，，ʹ∴鑷，方法一：∵݉݉，∴，试卷第12页，总14页
∴即得，设对称轴交于点，ʹʹʹ则，∵，ʹʹ，ʹʹʹ，⥀，⥀∴抛物线开口向下，存在最大值．由，∴当时，取最大值是，此时，点的坐标为⥀鑷．方法二：⥀∵点⥀鑷，鑷⥀，∴，⥀∵݉݉，∴＝＝，∵⥀鑷，∴ǣ＝，当＝⥀时，，∴鑷⥀，过点作轴的垂线交于䁡，ʹ∵鑷，∴ǣ，ʹ把代入，得，ʹ∴䁡，ʹʹ∴䁡，ʹ当时，，∴点的坐标为⥀鑷．试卷第13页，总14页
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