§9.2 直线、圆的位置关系基础篇【基础集训】考点一 两直线的位置关系1.若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于( )A.0或-1或3 B.0或3C.0或-1 D.-1或3答案 D2.(多选题)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是( )A.若l1∥l2,则m=-1或m=3 B.若l1∥l2,则m=3C.若l1⊥l2,则m=- D.若l1⊥l2,则m=答案 BD考点二 直线与圆的位置关系3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A4.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )A.[-,] B.[-2,2]C.[--1,-1] D.[-2-1,2-1]答案 D
5.已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4x-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得△PAB的面积为,则实数t的取值范围是 . 答案 考点三 圆与圆的位置关系6.设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与圆C2的位置关系是( )A.外离 B.外切 C.相交 D.内含答案 A7.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为( )A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定答案 C8.圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为( )A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0答案 D9.两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|= . 答案 [教师专用题组]【基础集训】考点一 两直线的位置关系1.(2020广东珠海9月摸底测试,11)已知点M(-1,0),N(1,0),若直线l:x+y=m上存在点P使得PM⊥PN,则实数m的取值范围是( )A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-,] D.(-,)答案 C ∵直线l上存在点P,使PM⊥PN,
∴以MN为直径的圆与直线l有公共点,易知以MN为直径的圆的圆心为(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线l的距离d=≤1,解得-≤m≤,故选C.2.若直线l1:x+a2y+6=0与直线l2:ax+3y+2a=0互相垂直,则实数a的值为 . 答案 0或-解析 ∵l1⊥l2,∴1×a+3a2=0,解得a=0或a=-.考点二 直线与圆的位置关系1.(2020辽宁大连第一中学月考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x-y+6=0,在直线l上任取一点P向圆C作切线,切点为A,B,连接AB,则直线AB一定过定点( )A. B.(1,2)C.(-2,3) D.答案 A 如图所示,设点P(x0,y0),则x0-y0+6=0.以CP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,又圆C:x2+y2=4,作差可得直线AB的方程为xx0+yy0=4,将y0=x0+6代入可得(x+y)x0+6y-4=0,令⇒故直线AB过定点.
思路分析 设点P(x0,y0),根据圆系知识可求出直线AB的方程,再根据点P(x0,y0)在直线l上,可得x0,y0的关系,代入直线AB的方程,消去y0,根据关于x0的方程恒成立即可求出定点坐标.方法总结 与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.2.(2018山西太原五中4月模拟,8)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为( )A.15 B.9 C.1 D.-答案 B 由题意得,圆心到直线x+y=2k的距离d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.故选B.3.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.答案 D 由已知可得圆心到直线2ax+by-2=0的距离d=,则直线被圆截得的弦长为2=2,化简得4a2+b2=4.∴t=a=·(2a)·≤[(2a)2+()2]=(8a2+2b2+1)=,当且仅当时等号成立,即t取最大值,此时a=(舍负).故选D.
方法点拨 在解直线与圆相交的弦长问题时,经常采用几何法.当直线与圆相交时,半径长、半弦长、弦心距所构成的直角三角形在解题中起到关键作用,解题时要注意将它和点到直线的距离公式结合起来使用.考点三 圆与圆的位置关系1.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.外离答案 B 圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0)的圆心为M(0,a),半径r1=a,∴圆心M到直线x+y=0的距离d=,由题意知2=2=2,所以a=2,∴M(0,2),r1=2,又圆N的圆心为N(1,1),半径r2=1,∴|MN|==,∵r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交.2.(2019江苏宜兴中学期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为 . 答案 x2+y2-x+7y-32=0解析 设经过两圆的交点的圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即x2+y2+x+y-=0,所以圆心坐标为.又圆心在直线x-y-4=0上,所以-+-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.3.(2019北京清华附中高二期中,13)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .
答案 4解析 由题意得圆O1的圆心为O1(0,0),半径为,圆O2的圆心为O2(-m,0),半径为2,根据两圆相交于A,B时,圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得<|m|<3,再根据题意可得O1A⊥AO2,∴m2=5+20=25,∴m=±5,∴×5=2×,解得|AB|=4.思路分析 由题意结合圆的切线性质可得O1A⊥AO2,由勾股定理可得m的值,再用三角形等面积法求得AB的长度.综合篇【综合集训】考法一 两直线的位置关系1.(2020浙江高三部分校联考,4)已知直线l1:x+(2a-1)y+2a-3=0,l2:ax+3y+a2+4=0,则“a=”是“l1∥l2”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C2.(多选题)(2020江苏启东检测,9)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等答案 AC
3.(2020浙江杭州四中月考,17)(1)求两条垂直的直线2x+ay+2=0和x+2y+1=0的交点坐标;(2)求平行于直线x-y-2=0,且与它的距离为的直线方程考法二 直线和圆的位置关系4.(2020山东聊城第一中学月考,5)已知圆C与直线y=-x及x+y-4=0都相切,圆心在直线y=x上,则圆C的方程为( )A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4答案 A5.(多选题)(2020山东德州期末,6)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )A.(0,) B.(1,-1) C.(,0) D.(-1,1)答案 AC6.(2020山东枣庄、滕州期末,7)已知直线l1:kx+y=0(k∈R)与直线l2:x-ky+2k-2=0相交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,则|AB|的最大值为( )A.3 B.5 C.5+2 D.3+2答案 C7.(2019河北衡水金卷,14)过M(-3,1),N(0,a)两点的光线经y轴反射后所在直线与圆x2+y2=1存在公共点,则实数a的取值范围为 . 答案 8.(2020江苏南通、如皋教学质量调研(二),17)已知圆C:x2+y2-4x+ay+1=0(a∈R),过定点P(0,1)作斜率为-1的直线交圆C于A、B两点,P为AB的中点.(1)求实数a的值;
(2)从圆外一点M向圆C引一条切线,切点为N,且有MN=MP,求MN的最小值.考法三 圆和圆的位置关系9.(2020山东六地部分学校线上测试,7)已知圆C1:x2+y2+2x-4y+4=0,圆C2:x2+y2-4x+4y-1=0,则圆C1与圆C2( )A.相交 B.外切 C.内切 D.外离答案 D10.(2020山东聊城高考模拟,5)圆x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为( )A. B. C.2 D.2答案 C11.(多选题)(2019山东枣庄期中,10)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有( )A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=a D.y1+y2=2b答案 ABC[教师专用题组]【综合集训】考法一 两直线的位置关系1.(2018浙江9+1高中联盟期中,3)“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 当m=-1时,两直线不平行.当m≠-1时,由两直线平行可得-=-,且-≠,解得m=2或m=-3,
∴“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的充分不必要条件,故选A.2.(2018浙江高考模拟卷,11)已知直线l1:ax+y+2=0,l2:(a2-3)x+2y+1=0,若a∈R,则直线l1过定点 ;若l1∥l2,则实数a= . 答案 (0,-2);3或-1解析 在直线l1的方程中,令x=0,得y=-2,则直线l1过定点(0,-2).由两直线平行得-a=-,解得a=3或-1,经检验知此时两直线平行.3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是 . 答案 x-y+1=0解析 将圆的方程化为标准方程,即(x+1)2+y2=1,可得圆心坐标为(-1,0).∵直线x+y-2=0的斜率为-1,∴与直线x+y-2=0垂直的直线的斜率为1.则所求直线方程为y-0=1×(x+1),即x-y+1=0.解题分析 本题考查两直线垂直与斜率的关系,是基础题.考法二 直线和圆的位置关系1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),6)在平面直角坐标系xOy中,以(0,1)为圆心,且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是( )A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=4C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16答案 C 直线mx-y-2m-1=0过定点(2,-1),故圆心到定点的距离为2,以此为半径,圆的面积最大.故选C.2.(2017天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐近线与圆
x2+y2-4y+3=0相切,则此双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D.答案 B 取双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=x,即bx-ay=0.将圆x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.∵渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,∴=1,即3a2=b2.∴该双曲线的离心率e=====2.故选B.解题分析 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键.3.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 . 答案 20解析 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则AC=2r=10,又点(3,5)到圆心的距离为1,∴BD=2=4,又易知AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积为×10×4=20.考法三 圆和圆的位置关系1.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为 . 答案 (x+3)2+(y+3)2=18解析 将x2+y2+10x+10y=0化为标准方程为(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心坐标为(-5,-5),半径为5.由题意可知圆心C在AO的垂直平分线y=-3上,
因为圆心C在点(-5,-5)与原点的连线y=x上,所以点C的坐标为(-3,-3),则圆C的半径r==3.所以圆C的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.2.(2017天津十二区县二模,12)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B两个不同的点,且直线AB与直线3x-y+1=0垂直,则实数a= . 答案 3解析 由题意,两圆相减可得AB:2x+2ay-a2+9=0,∵直线AB与直线3x-y+1=0垂直,∴-×3=-1,∴a=3.解题分析 本题考查圆与圆的位置关系,考查两条直线垂直位置关系的运用,属于中档题.3.(2019江苏如东高级中学高三第二次学情检测,13)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,若在直线AB上存在一点P,使·≤0成立,则r的取值范围是 . 答案 (2,2]解析 ∵圆O与圆M相交于A,B两点,∴|r-2|<|OM|<r+2.又O(0,0),M(2,2),∴|r-2|<4<r+2,∴2<r<6.∵直线AB上存在一点P,使·≤0成立,∴直线AB与线段OM相交,联立两圆的方程
①-②可得直线AB的方程为4x+4y-12-r2=0.∵AB与OM相交,则点M(2,2)在直线AB的右上方,因此8+24-12-r2≥0,∴r2≤20,∴0<r≤2.又∵2<r<6,∴2<r≤2.故r的取值范围为(2,2].
