§8.3 直线、平面平行的判定与性质基础篇【基础集训】考点一 直线与平面平行的判定与性质1.在如图所示的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1B、AD的中点,则直线BF与平面AD1E的位置关系是( )A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.以上均正确答案 A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是 .(填序号) ①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.答案 ①②④3.如图,在四面体ABCD中,AB=CD=AD=BD=3,AC=BC=4,用平行于AB,CD的平面截此四面体,得到截面四边形EFGH,则该四边形EFGH面积的最大值为 . 答案 4.如图,三棱锥P-ABC中,点C在以AB为直径的圆O上,平面PAC⊥平面ACB,点D在线段AB上,且BD=2AD,CP=CA=3,PA=2,BC=4,点G为△PBC的重心,点Q为PA的中点.(1)求证:DG∥平面PAC;(2)求点C到平面QBA的距离.
考点二 平面与平面平行的判定与性质5.已知m,n,l1,l2表示不同直线,α、β表示不同平面,若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是( )A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2答案 D6.如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且AB⊥CD,若平面SAD∩平面SBC=l.现有以下四个结论:①AD∥平面SBC;②l∥AD;③若E是底面圆周上的动点,则△SAE的最大面积等于△SAB的面积;④l与平面SCD所成的角为45°.其中正确结论的序号是 . 答案 ①②④7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.[教师专用题组]【基础集训】1.(2020甘肃武威调研,5)已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( )A.α内有两条直线与β平行B.直线a∥α,a∥βC.直线a,b满足a∥b,a∥α,b∥βD.异面直线a,b满足a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α答案 D 对于选项A,当α内有两条平行直线与β平行时,平面α与平面β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;对于选项B,若直线a∥α,a∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交,故B不符合题意;对于选项C,若a∥b,a∥α,b∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交,故C不符合题意;对于选项D,当a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α时,可在a上任取一点P,过点P作直线b'∥b,由线面平行的判定定理得b'∥β,又知a与b'相交,再由面面平行的判定定理得α∥β,故D符合题意,所以选D.名师点拨 在使用平面与平面平行的判定定理证明面面平行时,需注意是其中一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行.2.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则( )
A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABEDC.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF答案 A 取DG的中点M,连接AM,FM,如图所示.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,∴DEFM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故选A.3.(2018山东聊城模拟,4)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )答案 B 在B中,如图,连接MN,PN,∵A,B,C为正方体所在棱的中点,∴AB∥MN,AC∥PN,∵MN∥DE,PN∥EF,∴AB∥DE,AC∥EF,∵AB∩AC=A,DE∩EF=E,AB,AC⊂平面ABC,DE,EF⊂平面DEF,∴平面ABC∥平面DEF.故选B.4.(2020豫北名校9月联考,6)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC的面积比为( )
A.2∶5 B.3∶8 C.4∶9 D.4∶25答案 D ∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,∴A'B'∥AB,又知PA'∶AA'=2∶3,∴A'B'∶AB=PA'∶PA=2∶5,同理可得B'C'∶BC=A'C'∶AC=2∶5.∴△A'B'C'∽△ABC,且相似比为2∶5,∴==,故选D.5.(2019内蒙古呼和浩特模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在 位置时,平面D1BQ∥平面PAO.( ) A.Q与C重合 B.Q与C1重合C.Q为CC1的三等分点 D.Q为CC1的中点答案 D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,∴PO∥BD1,Q是CC1上的点,当点Q在CC1的中点位置时,PQAB,∴四边形ABQP是平行四边形,∴AP∥BQ,又∵AP∩PO=P,BQ∩BD1=B,AP、PO⊂平面APO,BQ、BD1⊂平面BQD1,∴平面D1BQ∥平面PAO.故选D.6.(2018湖南长沙长郡中学调研考试,11)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为( )A. B.2 C.2 D.2答案 C ∵PD与平面CEF交于点H,∴平面CEF∩平面PCD=CH,∵EF∥平面PCD,∴EF∥CH.过点H作HM∥PA交AD于点M,连接CM,∵EF∩AF=F,CH∩HM=H,∴平面AEF∥平面CHM,∵平面AEF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面
ABCD=CM,∴AE∥CM,∵BC∥AM,∴四边形ABCM为平行四边形,∴AM=2,又AD=4,∴M是AD的中点,则H为PD的中点,∴CH===2.7.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.证明 如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.又M是PC的中点,∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,∴AP∥GH.8.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE∥平面DMF;(2)求证:平面BDE∥平面MNG.证明 (1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.
因为N为AD的中点,M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,E,F分别为AD,AA1的中点,Q是BC上的一个动点,且BQ=λQC(λ>0).(1)当λ=1时,求证:平面BEF∥平面A1DQ;(2)是否存在λ,使得BD⊥FQ?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:当λ=1时,Q为BC的中点,因为E是AD的中点,所以ED=BQ,又ED∥BQ,所以四边形BEDQ是平行四边形,所以BE∥QD.又BE⊄平面A1DQ,DQ⊂平面A1DQ,所以BE∥平面A1DQ.又F是A1A的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1DQ,A1D⊂平面A1DQ,所以EF∥平面A1DQ,又BE∩EF=E,所以平面BEF∥平面A1DQ.(2)存在.理由:如图,连接AQ,因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又因为BD⊥FQ,A1A、FQ⊂平面A1AQ,且A1A∩FQ=F,所以BD⊥平面A1AQ.因为AQ⊂平面A1AQ,所以AQ⊥BD.在矩形ABCD中,由AQ⊥BD,得△AQB∽△DBA,所以AB2=AD·BQ.又AB=1,AD=2,所以BQ=,所以QC=,所以=,即λ=.故存在λ=满足题意.10.(2018河南六市三模,18)已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形,△ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;(2)求三棱锥E-ABC的体积.解析 (1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.证明:连接EM,EN,取BC的中点H,连接AH,
∵△ABC是腰长为3的等腰三角形,BC=2,H为BC的中点,∴AH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH⊂平面ABC,∴AH⊥平面BCD,同理可证EN⊥平面BCD,∴EN∥AH,∵EN⊄平面ABC,AH⊂平面ABC,∴EN∥平面ABC.又M,N分别为BD,DC的中点,∴MN∥BC,∵MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN∩EN=N,MN⊂平面EMN,EN⊂平面EMN,∴平面EMN∥平面ABC,又EF⊂平面EMN,∴EF∥平面ABC,即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥DH,由(1)可知EN∥平面ABC,∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,又△BCD是边长为2的等边三角形,∴DH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH⊂平面BCD,∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,易知DH=,∴NG=,又S△ABC=·BC·AH=×2×=2,∴VE-ABC=·S△ABC·NG=.综合篇【综合集训】考法 直线与平面、平面与平面平行的证明方法1.(2020山东滨州三校联考)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α,β平行于同一条直线C.α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D.α,β垂直于同一个平面
答案 C2.(2020河南安阳天一“顶尖计划”第三次联考,7)设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列说法正确的是( )A.若m∥n,m∥α,则n∥αB.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥βC.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βD.若n⊂α,m∥n,m⊥β,则α⊥β答案 D3.(2020北京石景山一模,6)点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC,CC1的中点,动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动.若PA1∥平面AMN,则PA1的长度范围是( )A.[2,] B. C. D.[2,3]答案 B4.(多选题)(2020山东六地部分学校3月测试,11)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱AA1=1,P为上底面A1B1C1D1上的动点,下列结论中正确的是( )A.若PD=3,则满足条件的P点有且只有一个B.若PD=,则点P的轨迹是一段圆弧C.若PD∥平面ACB1,则DP长的最小值为2D.若PD∥平面ACB1,且PD=,则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为答案 ABD5.(2020江苏南通二模,6)设α、β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β.其中正确命题的序号为 . 答案 ④6.(2020湖南长沙雅礼中学月考(七),18)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,∠APB=∠ACB=90°,点E,F分别是棱AB,PB的中点,点G是△BCE的重心.(1)证明:GF∥平面PAC;(2)若GF与平面ABC所成的角为60°,求二面角B-AP-C的余弦值.
7.(2020山东潍坊一模,19)如图,在等腰直角三角形ADP中,∠A=90°,AD=3,B,C分别是AP,DP上的点,且BC∥AD,E,F分别是AB,PC的中点,现将△PBC沿BC折起,得到四棱锥P-ABCD,连接EF.(1)证明:EF∥平面PAD;(2)是否存在点B,当将△PBC沿BC折起到PA⊥AB时,二面角P-CD-E的余弦值等于?若存在,求出AB的长;若不存在,请说明理由.8.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.9.(2020山东新高考质量测评联盟10月联考,21)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是矩形,△SAD是等边三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点,P为AD的中点,四棱锥S-ABCD的体积为.(1)若E为棱SA的中点,F是棱SB的中点,求证:平面PEF∥平面SCD;(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.[教师专用题组]【综合集训】考法 直线与平面、平面与平面平行的证明方法1.(2019河南安阳三模,18)如图所示,四棱锥A-BCDE中,BE∥CD,BE⊥平面ABC,CD=BE,点F在线段AD上.(1)若AF=2FD,求证:EF∥平面ABC;(2)若△ABC为等边三角形,CD=AC=3,求四棱锥A-BCDE的体积.
解析 (1)证明:取线段AC上靠近C的三等分点G,连接BG,GF.因为==,所以GF∥CD,GF=CD=BE.(2分)又BE∥CD,故GF∥BE.(3分)故四边形BGFE为平行四边形,故EF∥BG.(4分)因为EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,故EF∥平面ABC.(6分)(2)因为BE⊥平面ABC,BE⊂平面BCDE,所以平面ABC⊥平面BCDE.(8分)所以四棱锥A-BCDE的高即为△ABC中BC边上的高.(9分)易求得BC边上的高为×3=.故四棱锥A-BCDE的体积V=××(2+3)×3×=.(12分)2.(2018甘肃张掖第三次诊断)在梯形ABCD中(图1),AB∥CD,AB=2,CD=5,过A、B分别作CD的垂线,垂足分别为E、F,已知DE=1,AE=2,将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起,使得AF⊥BD,DE∥CF,得空间几何体ADE-BCF(图2).(1)证明:BE∥平面ACD;(2)求三棱锥E-ACD的体积.解析 (1)证明:设BE交AF于点O,取AC的中点H,连接OH,DH,则OH是△AFC的中位线,所以OH∥FC,且OH=FC,由已知得DE∥CF,且DE=CF,所以DEOH,所以四边形DEOH为平行四边形,所以DH∥EO,又因为EO⊄面ADC,DH⊂面ADC,所以EO∥面ACD,即BE∥面ACD.(2)由已知得,四边形ABFE为正方形,且边长为2,所以AE⊥EF,又AE⊥DE,DE∩EF=E,所以AE⊥面CDE,所以AE是三棱锥A-DEC的高,又DE∥CF,所以VE-ACD=VA-ECD=VA-EFD=×AE××DE×EF=.3.(2018重庆4月调研(二诊))三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分别为棱AC1,AB,A1C1的中点.(1)求证:直线MN∥平面AOB1;
(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10,求三棱锥A-MON的体积.解析 (1)证明:连A1B交AB1于点P,连NP,OP.则NP∥BB1,且NP=BB1,又MO∥AA1,且MO=AA1,∴MO∥NP,且MO=NP,∴四边形MOPN为平行四边形,∴MN∥OP,又MN⊄平面AOB1,OP⊂平面AOB1,∴MN∥平面AOB1.(2)由题意得VA-MON=VN-AMO===,∵BB1∥平面AA1C1,∴=,又∵===,∴VA-MON=×=.4.(2020百师联盟开学摸底考试,18)如图,三角形DCF所在平面垂直于四边形ABCD所在平面,AB=AD=FC=2,BC=,∠ADC=∠DAB=∠FCD=90°,N,P分别为AF,BC的中点.(1)证明:PN∥平面FDC;(2)求棱锥A-BDF的高.解析 (1)证明:取AD的中点M,连接PM,MN.因为P,N,M分别为BC,AF,AD的中点,所以MN∥FD,PM∥CD,(1分)又知MN⊄平面FDC,FD⊂平面FDC,所以MN∥平面FDC,同理PM∥平面FDC,又PM∩MN=M,所以平面PMN∥平面FDC,(3分)又PN⊂平面PMN,所以PN∥平面FDC.(5分)
(2)由已知得四边形ABCD是直角梯形,计算得CD=3,(6分)因为平面FCD⊥平面ABCD,∠FCD=90°,所以FC⊥平面ABCD.则VA-BDF=VF-ABD=××AB·AD·FC=××2×2×2=.(8分)设棱锥A-BDF的高为h,由已知得FD==,BD==2,由FC⊥平面ABCD得FC⊥BC,所以FB==3,所以cos∠DBF==.所以sin∠DBF==,所以S△BDF=BD·FB·sin∠DBF=×2×3×=.(10分)由VA-BDF=×S△BDF×h=××h=,得h=.所以棱锥A-BDF的高为.(12分)5.(2017河北衡水中学期中,18)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,点O是线段AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是线段PA的中点.(1)证明:平面PBC∥平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.解析 (1)证明:由题意,得CD∥BO,且CD=BO,∴四边形OBCD为平行四边形,∴BC∥OD.∵BC⊂平面PBC,OD⊄平面PBC,∴OD∥平面PBC.又∵AO=OB,AM=MP,∴OM∥PB.又OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴OM∥平面PBC.又OM∩OD=O,∴平面PBC∥平面ODM.(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ON⊥CD.
∵PO⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PO⊥CD.又∵ON⊥CD,PO∩ON=O,∴CD⊥平面PNO.∵PN⊂平面PNO,∴CD⊥PN.∴ON,PN分别为△ACD,△PCD的公共边CD上的高.由题意可求得ON=2,则PN=2,设点A到平面PCD的距离为d.∵V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD,即××4×2×d=××4×2×4,∴d=.即点A到平面PCD的距离为.6.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.解析 (1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA,又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,易知CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,∵∠ABC=90°,∴CB⊥AB.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAB.∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=,∴三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=××1×2×=.7.如图,直角梯形ABCD与梯形EFCD全等,其中AB∥CD∥EF,AD=AB=CD=1,且ED⊥平面ABCD,点G是CD的中点.(1)求证:平面BCF∥平面AGE;(2)求平面BCF与平面AGE间的距离.解析 (1)证明:∵AB∥CD,AB=CD,G是CD的中点,∴四边形ABCG为平行四边形,∴BC∥AG.
又∵AG⊂平面AEG,BC⊄平面AEG,∴BC∥平面AEG.∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等,EF∥CD∥AB,∴EFAB,∴四边形ABFE为平行四边形,∴BF∥AE.又∵AE⊂平面AEG,BF⊄平面AEG,∴BF∥平面AEG.∵BF∩BC=B,BF,BC⊂平面BCF,∴平面BCF∥平面AGE.(2)设点C到平面AGE的距离为d.易知AE=EG=AG=.连接EC、AC,由VC-AGE=VE-ACG,得××AE2×sin60°×d=××CG×AD×DE,即d==.∵平面BCF∥平面AGE,∴平面BCF与平面AGE间的距离为.
