§8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇【基础集训】考点 空间点、线、面的位置关系1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 C2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 B3.(多选题)已知m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥nB.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βC.若m∥n,n⊂α,α∥β,m⊄β,则m∥βD.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥β答案 BC4.(多选题)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1,E,F分别为AB,BC的中点,异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m,则( )A.m=B.直线A1E与直线C1F共面C.m=D.直线A1E与直线C1F异面答案 BC5.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是 .(填序号) 答案 ①6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.[教师专用题组]【基础集训】考点 空间点、线、面的位置关系1.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案 D ∵A,B∈γ,M∈AB,∴M∈γ,又α∩β=l,M∈l,∴M∈β,根据公理3可知,M在γ与β的交线上,同理可知,点C也在γ与β的交线上.2.(2019云南腾冲质检三,5)下列说法正确的是( )A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂平面α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线答案 D 对于选项A,直线l有可能在平面α内,A错;对于选项B,直线a在平面α外包括两种情形,即a∥α或a与α相交,B错;对于选项C,直线a有可能在平面α内,C错.故选D.3.(2018湖南衡阳模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线CC1 B.直线C1D1 C.直线HC1 D.直线GH答案 C 连接EH,HC1,则EHA1D1.又A1D1∥FC1,FC1=B1C1=A1D1,∴FC1∥EH,且FC1=EH,∴四边形FC1HE是梯形,∴EF与HC1相交.故选C.
4.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能答案 B 连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.由题意知SM为△SAB的中线,且SG1=SM,SN为△SAC的中线,且SG2=SN,∴在△SMN中,=,∴G1G2∥MN,易知MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC,因此可得G1G2∥BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.5.(2019北京清华大学中学生标准学术能力试卷文,10)已知正四面体ABCD,点E为棱AD的中点,O为△BCD的中心,则异面直线EO与CD所成的角等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°答案 C 在BC上取点F,使CF=BC,在BD上取点G,使DG=BD,连接FG、AF、FE.易知CD∥FO,所以直线FO与EO所成的角等于异面直线EO与CD所成的角,设正四面体ABCD的棱长为2a,所以EO=a,FO=a,FE=a,△EFO中,cos∠EOF==-,因而∠EOF=120°,所以异面直线EO与CD所成的角为60°.6.(2019四川成都一诊,9)在各棱长均相等的四面体A-BCD中,已知M是棱AD的中点,则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 C 设四面体A-BCD的棱长为2,取CD的中点N,连接MN,BN,∵M是棱AD的中点,∴MN∥AC,∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角.∵BM=BN==,MN=AC=1,∴在△BMN中,cos∠BMN===,∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为.7.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则异面直线AD与GF所成的角的余弦值为 .
答案 解析 取DE的中点H,连接HF,GH.由题意,知HF=AD且HF∥AD.∴∠GFH(或其补角)为异面直线AD与GF所成的角.在△GHF中,可求得HF=,GF=GH=,∴cos∠HFG==.∴异面直线AD与GF所成的角的余弦值为.8.(2019河南安阳一模,16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,过O点作一条直线l与A1D平行,设直线l与直线OC1的夹角为θ,则cosθ= . 答案 解析 如图所示,设正方体的表面ABB1A1的中心为P,容易证明OP∥A1D,所以直线l即为直线OP,角θ即为∠POC1(或其补角).设正方体的棱长为2,则OP=A1D=,OC1=,PC1=,则cos∠POC1===.综合篇【综合集训】考法一 平面的基本性质及其应用1.(2020广西桂林、崇左、贺州5月联考,9)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:①AP与CM是异面直线;②AP,CM,DD1相交于一点;③MN∥BD1;④MN∥平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是( )
A.①④ B.②④ C.①③④ D.②③④答案 B2.(2020河北正定中学第三次阶段质量检测,15)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),使四面体A1BMP体积为,则C1P的最小值是 . 答案 3.(2020广东六校联盟第三次联考,16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 . 答案 考法二 求异面直线所成的角4.(2019四川宜宾二诊,10)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )A. B.1 C. D.答案 C5.(2020浙江台州期末,8)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=,则异面直线A1B,AC1所成的角的大小为( )A. B. C. D.答案 D6.(2019江西八校联考,10)在四面体ABCD中,BD⊥AD,CD⊥AD,BD⊥BC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 D7.(多选题)(2021届江苏金陵中学月考,11)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B.点C到平面ABC1D1的距离为C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为D.三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球半径为答案 ABD[教师专用题组]【综合集训】考法一 平面的基本性质及其应用1.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是( )A.B,C,A1 B.B1,C1,A C.A1,B1,C D.A1,B,C1答案 D 过点B作BD∥AC,则BD∥A1C1,连接A1B,C1D,CD,如图所示:则平面α可以为平面A1BDC1,则α∩平面ABC=BD=l,且l∥A1C1,所以这3个点可以是A1,C1,B.故选D.2.如图所示,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.求证:O1、M、A三点共线.
证明 连接AC.∵A1C1∩B1D1=O1,又B1D1⊂平面B1D1A,A1C1⊂平面AA1C1C,∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C⊂平面AA1C1C,∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C.又∵A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C,∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上,即O1、M、A三点共线.3.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.解析 已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C,且A,B,C不重合.求证:直线AB,BC,AC共面.证法一:∵AB∩AC=A,∴直线AB,AC可确定一个平面α,∵B∈AB,C∈AC,∴B∈α,C∈α,故BC⊂α,因为直线AB,BC,AC都在平面α内,∴直线AB,BC,AC共面.证法二:∵A不在直线BC上,∴点A和直线BC可确定一个平面α,∵B∈BC,∴B∈α,又∵A∈α,∴直线AB⊂α,同理可得直线AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.证法三:∵A,B,C三点不在同一条直线,∴A,B,C三点可以确定一个平面α,∴A∈α,B∈α,∴直线AB⊂α,同理AC⊂α,BC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.4.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明 证法一:∵A,C,E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A,C,E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F,D,E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,
∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B,C,D可确定一个平面,又B,C,D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析 证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.5.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH,FG,BD三线共点.解析 (1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且=,=,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.考法二 求异面直线所成的角1.(2019辽宁辽阳一模,7)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,AB=6,AD=8,AA1=7,则异面直线EF与AA1所成角的正切值为( )A. B. C. D.答案 A 取A1B1的中点G,连接EG,FG,易知EG⊥FG,因为EG∥AA1,所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角,在△EFG中,FG=5,EG=7,所以tan∠FEG=,故选A.
2.(2018广东珠海模拟,8)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切值为( )A. B.2 C. D.4答案 A 如图,取A'D的中点N,连接PN,MN,∵M是A'C的中点,∴MN∥CD,且MN=CD,∵四边形ABCD是矩形,P是AB的中点,∴PB∥CD,且PB=CD,∴MN∥PB,且MN=PB,∴四边形PBMN为平行四边形,∴MB∥PN,∴∠A'PN(或其补角)是异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△A'PN中,tan∠A'PN==,∴异面直线BM与PA'所成角的正切值为.故选A.3.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 D 如图,连接DN,取DN的中点O,连接MO,BO,∵M是AD的中点,∴MO∥AN,∴∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角,设三棱锥A-BCD的所有棱长为2,则AN=BM=DN==,则MO=AN==NO=DN,则BO===,
在△BMO中,由余弦定理得cos∠BMO===,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为.故选D.4.(2018河南百校联盟联考,11)如图所示,在四棱锥A-BCDE中,三角形ACD与三角形ADE均为正三角形,三角形ACE为直角三角形,四边形BCDE为平行四边形,M,N分别为AB,DE的中点,则异面直线CE与MN所成角的余弦值为( )A. B. C. D..答案 C 取AE的中点P,AC的中点Q,连接DP,DQ,MQ,PQ,由三角形中位线的性质可得四边形DQMN是平行四边形,所以MN∥QD,又由三角形中位线的性质得PQ∥CE,所以∠DQP或其补角就是异面直线CE与MN所成的角,设CD=2,则在△DQP中,DP=DQ=,PQ=,所以cos∠DQP==.5.(2020湖北部分重点中学9月摸底考试,15)在正四面体ABCD中,M是棱BD的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值为 . 答案 解析 取AD的中点N,连接MN,CN,又因为M是BD的中点,所以MN∥AB,故∠CMN或其补角为异面直线AB与CM所成的角.设AB=2,则MN=1,在△BCD中,易求CM=,同理可求CN=,则在△CMN中,cos∠CMN===.又异面直线所成角的取值范围为,所以异面直线AB与CM所成角的余弦值为.
