§9.1 直线方程与圆的方程专题检测1.(2018浙江金华模拟,4)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为( )A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=0答案 C 当直线经过原点,即横截距与纵截距均为0时,它的方程为=,即x+y=0.当直线不经过原点时,设它的方程为+=1,把(-10,10)代入可得+=1,求得a=.此时它的方程为+=1,即x+4y-30=0.综上可得,该直线的方程为x+y=0或x+4y-30=0,故选C.2.(2019北京新学道临川学校高二月考,1)圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标和半径分别为( )A.(-1,2),2 B.(1,-2),2 C.(-1,2),4 D.(1,-2),4答案 A 圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2),半径r=2.故选A.3.(2019北京延庆一模文,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为( )A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1答案 C 圆心(0,1)到直线y=2的距离为圆的半径r=1,所以圆的标准方程是x2+(y-1)2=1.故选C.4.(2019北京新学道临川学校高二月考,5)方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )
A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在答案 A 本题考查二元二次方程与图形问题,考查学生直观想象能力与运算求解能力,渗透数学运算的核心素养.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,解得x=1,y=-2,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2),故选A.5.(2020中学生标准学术能力基础性测试,2)已知圆C的方程为2x2+2y2-2x+4y-1=0,则圆C的圆心坐标为( )A.(1,2) B.(1,-2) C. D.答案 D 本题考查圆的一般方程,考查了学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.由2x2+2y2-2x+4y-1=0得2(x2-x)+2(y2+2y)=1,从而有2+2(y+1)2=,所以圆C的标准方程为+(y+1)2=,圆心为,故选D.方法总结 求圆心坐标有两种方法:(1)化标法:将圆的方程化为标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,从而知圆心坐标为(a,b),(2)公式法:圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为.6.(2018湖北荆州二模,8)圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是( )A.2 B.-2 C.1 D.-1答案 B ∵圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,∴直线y=kx+3过圆心(1,1),即1=k+3,解得k=-2.故选B.7.(2018安徽安庆模拟,8)设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线间距离的最大值为( )
A. B. C. D.答案 B 因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c.因为直线x+y+a=0和x+y+b=0之间的距离d=,所以d2==,因为0≤c≤,所以≤1-4c≤1,所以≤≤,即d2∈,所以这两条直线之间的距离的最大值为.故选B.关键点拨 利用a,b是关于x的方程x2+x+c=0的实根得出a+b=-1,ab=c,写出两平行线之间距离的表达式,然后求解即可.8.(2019江西新余五校8月联考,8)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,则当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为( )A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案 D 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-),所以S△OPQ=×2×2=2.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),
则圆心到直线PQ的距离d=,由平面几何知识得|PQ|=2,S△OPQ=×|PQ|×d=×2×d=≤=,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,S△OPQ取得最大值,为.因为2<,所以S△OPQ的最大值为,此时=,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0,故选D.9.(2019江苏海安中学期初)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为 . 答案 3x+4y+15=0解析 设所求直线的斜率为k,依题意有k=-×3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.10.(2018江苏宿迁期末)已知光线通过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线通过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是 . 答案 y=6x-6解析 由题意得反射光线经过点M(-3,4)关于直线l的对称点Q(x,y)与点N(2,6).由解得所以Q(1,0),所以反射光线所在直线的方程为=,即y=6x-6.11.(2019北京新学道临川学校高二月考,18)求圆心在直线3x+y-5=0上,并且经过原点O和点A(4,0)的圆的方程.
解析 本题考查圆的方程的求法,考查学生的运算求解能力,体现数学运算的核心素养.由直线和圆相交的性质可得,圆心在连接点O(0,0)和点A(4,0)所成线段的中垂线x=2上,再根据圆心在直线3x+y-5=0上,可得圆心C的坐标为(2,-1),故半径r=|OC|=.所以所求的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.12.(2019江苏扬州中学期中)已知直线l:+=1.(1)若直线l的斜率等于2,求实数m的值;(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线的方程.解析 (1)根据直线l的方程:+=1可得直线l过点(m,0),(0,4-m),所以k==2,解得m=-4.(2)由题意可知直线l过点(m,0),(0,4-m),则由m>0,4-m>0得0<m<4,则S△AOB==,则m=2时,S△AOB有最大值2,此时直线l的方程为x+y-2=0.13.(2019江苏溧阳中学周考)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解析 (1)设B关于l的对称点为B',AB'的延长线交l于P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB'|<|AB'|=|P0A|-|P0B'|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.易求得直线BB'的方程为x+3y-12=0.
设B'(a,b),则a+3b-12=0.①又线段BB'的中点在l上,故3a-b-6=0.②由①②解得a=3,b=3,所以B'(3,3).所以AB'所在直线的方程为2x+y-9=0.由可得P0(2,5),即为所求的点.(2)设C关于l的对称点为C',与(1)同理可得C'.连接AC'交l于P1,在l上另任取一点P,有|PA|+|PC|=|PA|+|PC'|>|AC'|=|P1C'|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.易知直线AC'的方程为19x+17y-93=0,联立解得P1,即为所求的点.14.(2020皖北期中联考,18)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.解析 (1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,∵圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,∴圆心(-2,1)到直线x-y+-2=0的距离d==2=r,∴圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.(2)∵圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,∴可设直线MN的方程为2x-y+c=0,∵|MN|=2,半径r=2,∴圆心(-2,1)到直线MN的距离为=1,
即=1,解得c=5±,∴直线MN的方程为2x-y+5+=0或2x-y+5-=0.
