§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差专题检测1.(2019辽宁葫芦岛期末,6)已知X是离散型随机变量P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)=( )A. B. C. D.答案 B 因为P(X=1)=,P(X=a)=,所以P(X=1)+P(X=a)=+=1,则X只有两个变量1和a.所以E(X)=1×+a=,解得a=2,即P(X=2)=.所以D(X)=×+×=,则D(2X-1)=4×=,故选B.2.(2020全国高三月考,8)已知甲盒中有2个红球,1个蓝球,乙盒中有1个红球,2个蓝球,从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中,现从甲盒中取1个球,记红球的个数为ξ1,从乙盒中取1个球,记红球的个数为ξ2,从丙盒中取1个球,记红球的个数为ξ3,则下列说法正确的是( )A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)B.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)D.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)答案 C 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算,考查运算能力和逻辑推理能力.随机变量ξ1的可能取值为0,1,P(ξ1=0)=×=,P(ξ1=1)=×1+×=,故E(ξ1)=,D(ξ1)=,随机变量ξ2的可能取值为0,1,P(ξ2=0)=×+×1=,P(ξ2=1)=×=,故E(ξ2)=,D(ξ2)=.随机变量ξ3的可能取值为0,1,当ξ3=0时,丙盒中无红球或有一个红球,无红球的概率为×=,有一个红球的概率为×+×=,故P(ξ3=0)=×1+×=,P(ξ3=1)=1-=,故E(ξ3)=,D(ξ3)=.综上,E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3).故选C.3.(2020河南安阳模拟,10)已知随机变量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤对所有a∈(0,1-b)都成立,则( )A.b≤ B.b≤ C.b≥ D.b≥答案 D 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法,考查运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.依题意,知a+b+c=1,故c=1-a-b,当a∈(0,1-b)时,E(X)=-a+c=1-b-2a,则D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,则t∈(0,1),D(X)=t-t2+4a(t-a)≤,a∈(0,t),
故4a2-4at+t2-t+≥0在a∈(0,t)上恒成立,当a=时D(X)有最小值,故4-4××t+t2-t+≥0,故t≤,即1-b≤,所以b≥,故选D.4.(2020安徽蚌埠三模,8)开学后,某学校食堂为了减少师生就餐排队时间,特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种,米饭套餐的价格是每份15元,面食套餐的价格是每份10元,如果小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为pn,给出以下论述:①小明同学第二天一定选择面食套餐;②p3=0.68;③pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N);④前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n+-.其中正确的是( )A.②④ B.①②③ C.③④ D.②③④答案 D 在①中,第1天小明选择了米饭套餐,则小明第二天有80%的可能选择面食套餐,故①错误;在②中,∵第1天小明选择了米饭套餐,∴p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正确;在③中,∵小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为pn,∴pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正确;在④中,当n=1时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15=×1+-×.当n=2时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15+15×0.2+10×0.8=×2+-×.当n=3时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15+15×0.2+10×0.8+15×0.68+10×0.32=×3+-×.由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为n+-,故④正确.故选D.思路分析 在①中,小明同学第二天有80%的可能性选择面食套餐,故①错误;在②中,p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正确;在③中,推导出pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正确;分别求出n=1,2,3时,前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望,由此猜想前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n+-,故④正确.5.(2018浙江宁波5月模拟,13)已知随机变量X的分布列如下表:Xa234Pb若EX=2,则a= ;DX= . 答案 0;解析 由题意得+b++=1,∴b=.所以EX=a×+2×+3×+4×=2,解得a=0.所以DX=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.6.(2017安徽蚌埠二模,16)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则Eξ-Eη= 元. 答案 3解析 ξ的分布列为ξ56789PEξ=×(5+6+7+8+9)=7(元).η的分布列为η2468
PEη=2×+4×+6×+8×=4(元),∴Eξ-Eη=7-4=3(元).故答案为3.7.(20205·3原创题)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表:ξxyP则xy的最小值是 . 答案 9解析 由题意得x,y为正实数,并且++=1,整理得xy=x+y+3①,又Eξ=x·+y·+·=3,Eξ2=x2·+y2·+·=x+y+,结合Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0得x+y+-9≥0②.由①②得xy+-3≥9,所以xy≥9,当且仅当x=y=3时等号成立,故xy的最小值是9.8.(2020吉林梅河口五中模拟,19)在庆祝澳门回归祖国20周年之际,澳门特别行政区政府为了解人们对回归20年的幸福指数,随机选择了100位市民进行了调查,将他们的年龄(单位:岁)分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从年龄在[20,30),[30,40),[40,50)范围内的人员中,按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用ξ表示年龄在[30,40)范围内的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)若将样本的频率视作概率,记X表示用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查,其中年龄在[30,50)范围内的人数.当P(X=k)(k=0,1,2,…,20)最大时,求k的值.解析 (1)按分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在[20,30)范围内的人数为×8=1,年龄在[30,40)范围内的人数为×8=2,年龄在[40,50)范围内的人数为×8=5,∴ξ的取值为0,1,2,且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.∴ξ的分布列为ξ012P则E(ξ)=0×+1×+2×=.(6分)(2)由题意知,X服从二项分布,由频率分布直方图可知,年龄在[30,50)范围内的频率为(0.010+0.025)×10=0.35,则X~B(20,0.35),且P(X=k)=(0.35)k(1-0.35)20-k(k=0,1,2,3,…,20).设t===.若t>1,则k<7.35,P(X=k)>P(X=k-1);若t<1,则k>7.35,P(X=k)<P(X=k-1),∴k=7时,P(X=k)最大.(12分)
9.(2020云南昆明民族中学高三10月适应性月考,18)昆明市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300),该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如图,把该直方图所得频率估计为概率.空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染(1)请估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);(2)用分层抽样的方法共抽取10天,则空气质量指数在(0,50],(50,100],(100,150]的天数中各应抽取几天?(3)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气,空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元,空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元.若在(2)的条件下,从空气质量指数在(0,150]的天数中任意抽取两天,求这两天的净化空气总费用X的分布列.解析 (1)由题意,根据直方图可估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110(天).(2)由频率分布直方图,可得空气质量指数在(0,50]的概率为50×0.002=0.1,所以10天中应抽取的天数为10×0.1=1天,空气质量指数在(50,100]的概率为50×0.004=0.2,所以10天中应抽取的天数为10×0.2=2天,空气质量指数在(100,150]的概率为50×0.006=0.3,所以10天中应抽取的天数为10×0.3=3天,所以空气质量指数在(0,50],(50,100],(100,150]的天数中各应抽取1,2,3天.(3)由题意知X的取值为2000,4000,6000,8000.P(X=2000)==,P(X=4000)==,P(X=6000)==,P(X=8000)==,所以X的分布列为X2000400060008000P10.(2020河南百校联盟9月联合检测,22)随着甜品的不断创新,现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人,有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢,创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某网红甜品店生产几种甜品,由于口味独特,受到越来越多人的喜爱,好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”,已知该甜品店同一种甜品售价相同,该店为了了解每个种类的甜品销售情况,专门收集了该店这个月里五种网红甜品的销售情况,统计后得如下表格:甜品种类A甜品B甜品C甜品D甜品E甜品销售总额(万元)105202012销售量(千份)521058
利润率0.40.20.150.250.2(利润率是指:一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.)(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份,求这份甜品的利润率高于0.2的概率;(2)从该甜品店的五种网红甜品中随机选取2种不同的甜品,求这两种甜品的单价相同的概率;(3)假设每类甜品利润率不变,销售一份A甜品获利x1元,销售一份B甜品获利x2元,……,销售一份E甜品获利x5元,依据上表统计数据,随机销售一份甜品获利的期望为E(x),设
