计算题专项练(四)1.(2021安徽宿州高三三模)如图所示,在竖直平面内建立xOy坐标系。一质量为m、电荷量为q的质子,自原点O以初速度v0沿x轴正方向运动。若在以O为圆心的圆形区域内分布着垂直xOy平面的匀强磁场。一段时间后质子沿与y轴夹角为30°的方向经P点射入第二象限。若撤去磁场,在第一象限内加一与x轴正方向夹角为150°的匀强电场(电场、磁场均未画出),该质子恰能经过y轴上的P点。已知点P到O的距离为L,求:(1)磁场的磁感应强度B的大小;(2)匀强电场的电场强度E的大小。2.(2021广东高三三模)一轻质弹簧竖直放置,将一质量为12m的小物块轻放于弹簧顶端,弹簧最大压缩量为L。如图所示,水平地面上有一固定挡板,将此弹簧一端固定在挡板上且水平放置,一质量为m的小物块P紧靠弹簧的另一端但不连接;在水平地面右侧有一半径R=L的竖直光滑半圆轨道,轨道最低点与地面相切。将另一质量也为m的小物块Q放置在距半圆轨道最低点L2=4L处。现向左推P压缩弹簧,使弹簧发生的形变量为L,此时P与小物块Q的距离为L1=2L。撤去外力,小物块P被弹簧弹开,然后与小物块Q正碰,碰后瞬间粘在一起。小物块P、Q均可看作质点,且与水平地面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g。(1)求弹簧压缩量为L时,弹簧具有的弹性势能。(2)若两物块P、Q与水平地面间的动摩擦因数μ0=,求两个小物块刚滑上半圆轨道时对轨道的压力大小。(3)若两物块P、Q与地面间的动摩擦因数μ可以改变,要求两个小物块能滑上半圆轨道且在半圆轨道上运动时不脱离轨道,求动摩擦因数μ的取值范围。计算题专项练(四)1.答案(1) (2)解析(1)质子在磁场中做匀速圆周运动,设其半径为r,qv0B=m由题意知,粒子在磁场中的轨迹如图甲所示,其圆心C在y轴上,由图中几何关系得L=3r联立得B=。
甲乙(2)去掉磁场,在电场力的作用下,粒子的轨迹如图乙所示由题知在x轴正方向上-Eq·sin60°=ma1由运动学公式有0-v0=a1t1在y轴正方向上Eq·cos60°=ma2L=a2由运动的对称性可知t2=2t1联立得E=。2.答案(1)12mgL (2)12mg (3)≤μ<或μ≤解析(1)当弹簧压缩量为L时,根据能量守恒定律可知弹性势能Ep=12mgL。(2)物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前瞬间有Ep-μ0mgL1=碰撞过程中动量守恒,有mv1=(m+m)v2碰撞结束后到刚滑上半圆轨道有-μ0×2mgL2=×2m×2m在半圆轨道最低点满足FN-2mg=2m联立解得FN=12mg由牛顿第三定律可知,两个小物块刚滑上半圆轨道时对轨道的压力大小为12mg。(3)不脱离轨道有两种可能,一是上滑的最大高度不超过半径R,二是可以通过半圆轨道最高点。由题目可知当弹簧压缩量为L时,弹性势能Ep=12mgL,物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前有Ep-μmgL1=碰撞过程中动量守恒,有mv4=(m+m)v5碰撞结束后到刚滑上半圆轨道有-μ×2mgL2=×2m×2m能滑上圆弧要求v6>0恰好到达圆心等高处有×2m=2mg·R联立可得≤μ<如果能够恰好通过半圆轨道最高点,有-2mg×2R=×2m×2m
在最高点恰好由重力作为向心力2mg=2m联立解得μ=要通过最高点,需要满足μ≤综上所述,动摩擦因数μ的取值范围为≤μ<或μ≤。
