高考第一轮复习——“板+块”模型【知识梳理】1．模型特点：上、下叠放两个物体，并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动．“板+块”模型类问题中，滑动摩擦力的分析方法与传送带类似，但这类问题比传送带类问题更复杂，因为木板往往受到摩擦力的影响也做匀变速直线运动，处理此类物体匀变速运动问题要注意从速度、位移、时间等角度，寻找它们之间的联系．2．建模指导解此类题的基本思路：（1）分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；（2）对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程．特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移以下为了方便分类归纳，统一设物块与木板之间的动摩擦因数为μ1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2；最大静摩擦力都等于滑动摩擦力。（一）μ1≠0，μ2＝0，即地面光滑例1．如图所示，高H=1.6m的赛台ABCDE固定于地面上，其上表面ABC光滑；质量M＝1kg、高h=0.8m、长L=1m的小车Q紧靠赛台右侧CD面(不粘连)，放置于光滑水平地面上.质量m=1kg的小物块P从赛台顶点A由静止释放，经过B点的小曲面无损失机械能的滑上BC水平面，再滑上小车的左端。已知小物块与小车上表面的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s2。（1）求小物块P滑上小车左端时的速度v1；（2）小物块P能否从小车Q的右端飞出吗？若不能，求小物块P最终离小车右端的距离；若能，求小物块P落地时与小车右端的水平距离。
变式1．如图所示，质量为6m、长为L的薄木板AB放在光滑的平台上。B端上放有质量为3m且可视为质点的滑块C，C与木板之间的动摩擦因数为。质量为m的小球用长为L的细绳悬挂在木板右边缘正上方的O点，细绳竖直时小球恰好与C接触．现将小球向右拉至细绳水平并由静止释放，小球运动到最低点时细绳恰好断裂．小球与C碰撞后反弹速率为碰前的一半。（1）求细绳能够承受的最大拉力；（2）通过计算判断C能否从木板上掉下来．（2）
（二）μ1≠0，μ2≠0，且μ1>μ2例2．如图所示，一质量为M=20kg，长为L=3m的木板放在水平面上，有一质量为m=10kg的小物块（可视为质点）以v0=4m/s的速度从木板的左端滑上木板。物块与木板间的动摩擦因数μ1=0.4，木板与水平面间的动摩擦因数为μ2=0.15，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2。则以下判断正确的是（）A．木板一定静止不动，小物块不能滑出木板B．木板一定静止不动，小物块能滑出木板C．木板一定向右滑动，小物块不能滑出木板D．木板一定向右滑动，小物块能滑出木板例3．如图所示，质量M=2kg足够长的木板静止在水平地面上，另一个质量m=1kg的小滑块以6m/s的初速度滑上木板的左端。已知滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.5，木板与地面的动摩擦因数μ2=0.1，g取l0m/s2。求：（1）求小滑块自滑上木板到相对木板处于静止的过程中，小滑块相对地面的位移大小；（2）求木板相对地面运动位移的最大值；（3）为使小滑块不能离开木板，则木板的长度至少多长。
变式2．长为1.5m的长木板B静止放在水平面上，小物块A以某一初速度从B的左端滑上B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为0.4m/s，然后A、B又一起在水平面上滑行了8.0cm后停下。若A可视为质点，它与B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1=0.25。（1）B与水平面的动摩擦因数；（2）A相对于B滑行的距离；（3）为了保证A不从B的右端滑落，A滑上B的初速度最大为多少？（三）μ1≠0，μ2≠0，且μ1≤μ2例4．如图所示，一质量为M的木板，在粗糙地面上自由滑行，当速度变为v0=5m/s时，将一质量为m的小滑块（视为质点）轻放在木板的右端，已知M=m，小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ1＝0.1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.15，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2。求：（1）从放上小滑块开始后经过多长时间两者速度相等；（2）为使小滑块不从木板上掉下来，木板的长度至少多大；（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距木板右端多远处。
变式3．如图甲所示，一长木板A在水平地面上运动，在t＝0时刻将一相对于地面静止的物块B轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图象如图乙所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g＝10m/s2，求：（1）物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；（2）从t＝0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。乙（四）μ1≠0，μ2＝0，有外力F作用例5．物体A的质量m＝1kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为M＝0.5kg、长L＝1m。某时刻A以v0＝4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数µ＝0.2，重力加速度g取10m/s2。求：（1）若F=5N，物体A在小车上运动时离小车右端的最近距离；（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足的条件。
（五）μ1≠0，μ2≠0，有外力F作用例6．（2013年江苏卷）如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为m1和m2，各接触面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g。（1）当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力大小；（2）要使纸板相对砝码运动，求所需拉力的大小；（3）本实验中，=0.5kg，=0.1kg，μ=0.2，砝码与纸板左端的距离d=0.1m，取g=10m/s2。若砝码移动的距离超过l=0.002m，人眼就能感知。为确保实验成功，纸板所需的拉力至少多大?
（七）运用动能定理处理板块问题例7．如图所示，光滑的圆弧AB，半径R＝0.8m，固定在竖直平面内。一辆质量为M＝2kg的小车处在水平光滑地面上，小车的上表面CD与圆弧在B点的切线重合，初始时B与C紧挨着，小车长L＝1m，高H＝0.2m。现有一个质量为m＝1kg的滑块（可视为质点），自圆弧上的A点从静止开始释放，滑块运动到B点后冲上小车，带动小车向右运动，当滑块与小车分离时，小车运动了x＝0.2m，此时小车的速度为v＝1m/s。求：（1）滑块与小车间的动摩擦因数；（2）滑块与小车分离时的速度；（3）滑块着地时与小车右端的水平距离。
【能力展示】【小试牛刀】1．（多选）如图所示，质量为m的木块放在质量为M的长木板上，木块和木板均处于静止状态。当一木块受到水平向右的拉力F作用时能在木板上向右加速运动，而长木板仍处于静止状态。若木块与木板间的动摩擦因数μ1表示，木板与水平地面间的动摩擦因数用μ2表示，则采取下列哪些措施后有可能使木块和木板都能运动起来（）A．若μ1=μ2，可增大拉力FB．若μ1≤μ2，可将拉力F从m上移到M上C．若μ1=μ2，可在m上加一个竖直向下的压力D．若μ1>μ2，可在m上加一个竖直向下的压力2．如图所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦．现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为( )A．物块先向左运动，再向右运动B．物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动C．木板向右运动，速度逐渐变小，直到为零D．木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零3．如图所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．在物块放到木板上之后，木板运动的速度—时间图象可能是下列选项中的( )
4．如图所示，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2。下列反映a1和a2变化的图线中正确的是( )5．如图所示，上表面光滑，长度为3m、质量M＝10kg的木板，在F＝50N的水平拉力作用下，以v0＝5m/s的速度沿水平地面向右匀速运动。现将一个质量为m＝3kg的小铁块（可视为质点）无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L＝1m时，又将第二个同样的小铁块无初速度地放在木板最右端，以后木板每运动1m就在其最右端无初速度地放上一个同样的小铁块．（g取10m/s2）求：（1）木板与地面间的动摩擦因数；（2）刚放第三个铁块时木板的速度；（3）从放第三个铁块开始到木板停下的过程，木板运动的距离。
6．如图所示，物块A、木板B的质量均为m=10kg，不计A的大小，B板长L=3m。开始时A、B均静止。现给A以某一水平初速度从B的最左端开始运动。已知A与B、B与地面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2=0.1，g取10m/s2。（1）若物块A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度多大？（2）若把木板B放在光滑水平面上，让A仍以（1）问的初速度从B的最左端开始运动，则A能否与B脱离？最终A和B的速度各是多大？【大显身手】7．如图所示，长为L＝1m、质量M＝0.25kg的木板放在光滑水平面上，质量m＝2kg的小物块（可视为质点）位于木板的左端，木板和物块间的动摩擦因数μ＝0.1。现突然给木板一向左的初速度v0＝2m/s，同时对小物块施加一水平向右的恒定拉力F＝10N，经过一段时间后，物块与木板相对静止，此时撤去力F。取g＝10m/s2，求：（1）物块最终停在木板上的位置；（2）在物块与木板达到相对静止前的运动过程中拉力F做的功和产生的内能．
8．如图所示，质量为m＝1kg的小滑块，从光滑、固定的圆弧轨道的最高点A由静止滑下，经最低点B后滑到位于水平面的木板上。已知木板质量M＝2kg，其上表面与圆弧轨道相切于B点，且长度足够长。整个过程中木板的v－t图象如图所示，g＝10m/s2。求：（1）滑块经过B点时对圆弧轨道的压力；（2）滑块与木板之间的动摩擦因数以及木板与水平面之间的动摩擦因数；（3）滑块在木板上滑过的距离；9．如图所示，质量为m=5kg的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg的物块A。木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2。现用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s，撤去拉力。设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（g取10m/s2）求：（1）拉力撤去时，木板的速度大小；（2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度至少多大；（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距板右端多远处；10．如图甲所示，质量为M＝4kg足够长的木板静止在光滑的水平面上，在木板的中点放一个质量m＝4kg大小可以忽略的铁块，铁块与木板之间的动摩擦因数为μ＝0.2
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。两物块开始均静止，从t＝0时刻起铁块m受到水平向右、大小如图乙所示的拉力F的作用，F共作用时间为6s，（取g＝10m/s2）则：（1）铁块和木板在前2s的加速度大小分别为多少？（2）铁块和木板相对静止前，运动的位移大小各为多少？（3）力F作用的最后2s内，铁块和木板的位移大小分别是多少？
高考第一轮复习——“板+块”模型答案例3．（1）3.5m（2）1m（3）3m变式2．（1）μ=0.1（2）0.96m（3）3m/s例4．（1）1s（2）2.5m（3）2.25m变式3．（1）0.20；0.30 （2）1.125m例5．答案：（1）0.5m （2）1N≤F≤3N解析：（1）物体A滑上平板车B以后，做匀减速运动，由牛顿第二定律得：μMg＝MaA解得：aA＝μg＝2m/s2平板车B做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：F＋μMg＝maB解得：aB＝14m/s2两者速度相同时有：v0－aAt＝aBt解得：t＝0.25sA滑行距离：xA＝v0t－aAt2＝mB滑行距离：xB＝aBt2＝m离小车右端最近距离Δx＝L+xB－xA＝0.5m（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v1，则：＝＋L又：＝解得：aB＝6m/s2再代入F＋μMg＝maB得：F＝1N若F<1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1N当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落，则由牛顿第二定律得：对整体：F＝(m＋M)a对物体A：μMg＝Ma
解得：F＝3N若F大于3N，A就会相对B向左滑下综上所述，力F应满足的条件是1N≤F≤3N例6．答案：（1）μ(2m1＋m2)g （2）F>2μ(m1＋m2)g（3）22.4N解析：（1）砝码对纸板的摩擦力f1＝μm1g桌面对纸板的滑动摩擦力f2＝μ(m1＋m2)gf＝f1＋f2解得f＝μ(2m1＋m2)g.（2）设砝码的加速度为a1，纸板的加速度为a2，则f1＝m1a1F－f1－f2＝m2a2发生相对运动则a2>a1解得F>2μ(m1＋m2)g.（3）纸板抽出前，砝码运动的距离x1＝a1t纸板运动的距离d＋x1＝a2t纸板抽出后，砝码在桌面上运动的距离x2＝a3tl＝x1＋x2由题意知a1＝a3，a1t1＝a3t2解得F＝2μ[m1＋(1＋)m2]g代入数据得F＝22.4N例7．（1）0.5（2）2m/s（3）0.2m
【能力展示】3．A5．（1）0.5（2）4m/s（3）6．（1）m/s（2）没有脱离，m/s7．（1）最终停在木板的中点上；（2）5J、1J8．（1）30N，方向竖直向下 （2）0.5；0.1 （3）3m解析：（1）从A到B过程，滑块的机械能守恒mgR＝mv2经B点时，根据牛顿第二定律有FN－mg＝解得FN＝3mg＝30N，根据牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力大小为30N，方向竖直向下．（2）由v－t图象知，木板加速的加速度为a1＝1m/s2，滑块与木板共同减速的加速度大小a2＝1m/s2，设滑块与木板之间的动摩擦因数为μ1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，在1s～2s内，对滑块和木板：μ2(m＋M)g＝(m＋M)a2在0～1s内，对木板：μ1mg－μ2(m＋M)g＝Ma1解得：μ1＝0.5；μ2＝0.1（3）滑块在木板上滑动过程中，设滑块与木板相对静止时的共同速度为v1，滑块从滑上木板到两者达到共同速度所用时间为t1对滑块：μ2mg＝mav1＝v－at1，v1＝1m/s，t1＝1s木板的位移S1＝t1滑块的位移S2＝t1
滑块在木板上滑过的距离ΔS＝S2－S1代入数据解得ΔS＝3m9．（1）4m/s（2）1.2m（3）0.48m10．答案：（1）3m/s2 2m/s2 （2）20m 16m（3）19m 19m解析：（1）前2s，由牛顿第二定律得对铁块：F－μmg＝ma1解得a1＝3m/s2对木板：μmg＝Ma2解得a2＝2m/s2。（2）2s内，铁块的位移x1＝a1t2＝6m木板的位移x2＝a2t2＝4m2s末，铁块的速度v1＝a1t＝6m/s木板的速度v2＝a2t＝4m/s2s后，对铁块：F′－μmg＝ma1′解得a1′＝1m/s2对木板：μmg＝Ma2′解得a2′＝2m/s2设再经过t0时间铁块和木板的共同速度为v，则v＝v1＋a1′t0＝v2＋a2′t0解得t0＝2s，v＝8m/s在t0内，铁块的位移x1′＝t0＝×2m＝14m木板的位移x2′＝t0＝×2m＝12m所以铁块和木板相对静止前铁块运动的位移为x铁块＝x1＋x1′＝20m铁块和木板相对静止前木板运动的位移为x木板＝x2＋x2′＝16m。（3）力F作用的最后2s，铁块和木板相对静止，一起以初速度v＝8m/s做匀加速直线运动，对铁块和木板整体：F＝(M＋m)a
解得a＝＝m/s2＝1.5m/s2所以铁块和木板运动的位移均为x3＝vΔt＋a(Δt)2＝19m。
