平面向量1．与平面向量有关的简单计算1．已知平面向量，，若，则_________．【答案】【解析】因为，则，可得，故，因此，故答案为．2．已知平面向量，，若，则实数的值为（）A．10B．8C．5D．3【答案】A【解析】因为，，所以．因为，所以，解得，故选A．3．如图，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，，，则（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，故选B．4．已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动13
点的轨迹方程为_______．【答案】【解析】设，则，，因为，所以，化简得，所以动点的轨迹方程为，故答案为．5．已知，，，则向量与向量的夹角为______．【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为．6．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________．【答案】或【解析】由，得，因为向量和的夹角为150°，且，所以，得，，所以或，当时，在上的投影为，13
当时，在上的投影为，综上，在上的投影为或，故答案为或．7．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．（1）用向量，表示；（2）设向量，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵为中线上一点，且，∴．（2）∵，，，∴，又，，三点共线，∴，解得，故的值为．13
2．向量的线性运算1．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由已知得，，故，又B，O，D共线，故，所以，故选A．2．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，故选B．13
3．如图，在中，，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以，，故选D．4．（多选）已知，，，点M满足且，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】，三点共线且为中点，，，，三点共线且为上靠近A的三等分点，，，，，13
，，A正确，B错误；，C正确；，D不正确，故选AC．3．与向量有关的范围、最值问题1．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．【答案】，【解析】因为平面向量，的夹角为120°，且，，所以，，所以当时，的最小值为，故答案为，．13
2．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________．【答案】2，【解析】因为在中，，所以，即．因为点在线段上移动（不含端点），所以设．所以，对比可得．代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，，故答案为．3．（多选）已知两个向量和满足，，和的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（）A．B．C．D．【答案】AD13
【解析】因为，，和的夹角为，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且不能共线，所以，解得，当向量与向量共线时，有，即，解得，所以实数的取值范围，所以实数可能的取值为A，D，故选AD．4．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，由，故选B．5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（）13
A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是△ABC的重心，所以，又，，所以，因为三点共线，所以，即，显然，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是，故选A．6．已知、、是平面向量，是单位向量．若，，则的最大值为_______．【答案】【解析】因为，则，即，因为，即，作，，，，则，，则，固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，13
点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：，设，则，因为，，故，当时，等号成立，即的最大值为，故答案为．7．已知圆O的方程为，P是圆上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为____________．【答案】【解析】如图，13
设PA与PB的夹角为2α，则，∴．P是圆上一点，，，，令，则在上递减，所以当时，，此时P的坐标为，当时，，此时P的坐标为，∴的范围为，故答案为．8．已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________．【答案】【解析】如图所示，设（），，则，，，13
，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是，故答案为．4．与其他知识综合1．已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，故，即，所以，即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，故，则，故选C．2．四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点．若，则点的轨迹的长度是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，13
即．设向量与的夹角为，则，因为，所以，由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，即动点在过点且垂直于的直线上．在中，，，，由余弦定理得，所以；则，所以．因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹的长度为，故选B．13
