2.5指数与指数函数第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.\n备考指导指数函数是最重要的基本初等函数之一,也是高考的重点.备考时要注意指数函数的图象和性质的应用,尤其是其单调性的应用更要重视.通过本节的复习,要注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】\n3.分数指数幂的意义4.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).\n5.指数函数(1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象和性质\n\n问题思考幂函数与指数函数有何区别?幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;而指数函数形式为y=ax(a>0,且a≠1),其自变量x处于指数位置,常数a处于底数位置,且a须满足大于0且不等于1.\n指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.\n【知识巩固】×××√×\n2.已知x<0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是()A.B.(1,2)C.(1,+∞)D.(-∞,1)A3.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与的图象之间的关系是()A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称A\n4.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为.(2,3)∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.16\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1指数幂的化简与求值D\n\n解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里的.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂.\n对点训练1求值与化简:\n\n能力形成点2指数函数的图象及应用B\n(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.[-1,1]曲线|y|=2x+1与直线y=b的大致图象如图所示.由图可知,若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].\n(3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是.方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图象有两个不同的交点.当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.图①图②\n拓展延伸将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为.(0,1)作出曲线y=|2x-1|的图象与直线y=b如图所示.由图象可得b的取值范围是(0,1).\n解题心得1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.\n对点训练2(1)函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一平面直角坐标系内的图象可能是()C\n(2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)A指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5).\n(3)若方程|3x-1|=k有一解,则实数k的取值范围为.{0}∪[1,+∞)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.\n能力形成点3指数函数的性质及其应用命题角度1比较指数式的大小例3设y1=40.9,y2=80.48,,则()A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2D因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.\n命题角度2解简单的指数方程或指数不等式\n命题角度3指数函数性质的综合应用例5已知函数(a>0,且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.解(1)函数定义域为R,关于原点对称.\n(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,从而y=ax-a-x在R上为减函数,故f(x)在R上为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在R上为增函数.(3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增.故要使f(x)≥b在区间[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,故b的取值范围是(-∞,-1].\n解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,先构造同一指数函数,再比较大小;当指数相同,底数不同时,先构造同一幂函数,再比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.\nD\nC\n对点训练4(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.\n(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.\n第三环节 学科素养提升\n指数型复合函数的性质能力形成点1指数型复合函数的定义域和值域问题命题角度1形如y=af(x)的函数的定义域和值域问题典例1求下列函数的定义域和值域:\n解题心得1.形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.2.形如y=af(x)的函数的值域,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.\n命题角度2形如y=f(ax)的函数的定义域和值域问题典例2求函数的定义域和值域.解题心得求形如y=f(ax)的函数的值域,可先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.\n能力形成点2指数型复合函数的奇偶性典例3已知函数(1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)的单调性,并用定义证明;\n
