2.4指数与指数函数\n-2-知识梳理双基自测2311.根式(1)根式的概念\n-3-知识梳理双基自测2312.实数指数幂(1)分数指数幂的表示且n>1).③0的正分数指数幂是,0的负分数指数幂无意义.0\n-4-知识梳理双基自测231(2)有理数指数幂的运算性质①aras=(a>0,r,s∈Q).②(ar)s=(a>0,r,s∈Q).③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.ar+sarsarbr确定\n-5-知识梳理双基自测231上方(0,1)\n-6-知识梳理双基自测231R(0,+∞)单调递减单调递增y=1y>10<y<10<y<1y>1\n2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若am>an,则m>n.()×××√×\n-8-知识梳理双基自测234152.已知当x<0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234154.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与的图象之间的关系是()A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-考点1考点2考点3解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里的.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂.\n-14-考点1考点2考点3\n-15-考点1考点2考点3例2(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.思考画指数函数的图象及应用指数函数的图象解决问题应注意什么?[-1,1]D\n-16-考点1考点2考点3解析:(1)由f(x)=ax-b的图象可以看出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b<0.故选D.(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].\n-17-考点1考点2考点3解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.\n-18-考点1考点2考点3对点训练2(1)函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是()(2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)(3)函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围为.(0,1)DA\n-19-考点1考点2考点3(2)指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5).\n-20-考点1考点2考点3(3)因为y=ax-b的图象经过第二、第三、第四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,得y=a0-b=1-b,故ab∈(0,1).\n-21-考点1考点2考点3考向一比较指数式的大小A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2思考如何进行指数式的大小比较?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-22-考点1考点2考点3考向二解简单的指数方程或指数不等式A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)思考如何解简单的指数方程或指数不等式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考向三指数型函数与函数性质的综合(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?\n-24-考点1考点2考点3解(1)函数定义域为R,关于原点对称.(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,从而y=ax-a-x在R上为减函数,故f(x)在R上为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在R上单调递增.(3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间[-1,1]上为增函数.故要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,故b的取值范围是(-∞,-1].\n-25-考点1考点2考点3解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.\n-26-考点1考点2考点3A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a(2)若函数是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)对点训练3(1)已知则a,b,c的大小关系是()DC\n-27-考点1考点2考点3\n-28-换元法在求解指数型函数问题中的应用典例1函数f(x)=的单调递减区间为,值域为.答案:(-∞,-2)[3-7,+∞)解析:令t=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,则t=-x2-4x+3在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,+∞)内单调递减,而y=在R上单调递减,故f(x)在区间(-∞,-2)内单调递减.\n-29-典例2方程4x-2x+1-3=0的解是.答案:x=log23解析:原方程可化为(2x)2-2·2x-3=0.令2x=t,则t>0,即原方程为t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1(舍去).由2x=3,解得x=log23.\n-30-反思提升1.与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往转化为二次函数的最值问题.2.换元法是高中数学解题的基本方法,对于同时含有ax与a2x(a>0,且a≠1)的函数、方程、不等式等问题,通常应用换元法以达到化繁为简的目的.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.
