5.3等比数列及其前n项和第五章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.备考指导作为与等差数列并重的一个特殊数列,复习本节内容时可类比等差数列,牢记相关公式和性质,并注意与等差数列的不同点,重点训练基本量的运算和性质应用.分类讨论和函数与方程思想是本节涉及较多的思想方法,对数学运算的核心素养也有一定的要求.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.温馨提示在等比数列{an}中,任取相邻的三项an,an+1,an+2,则an+1是an与an+2的等比中项,即\n问题思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?必要不充分条件.因为当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.\n3.等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.温馨提示等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上的一群孤立的点.4.等比数列的前n项和公式首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和\n\n(5)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.1.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)等比数列中不存在数值为0的项.()(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(4)若数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.()×√××\n2.在等比数列{an}中,若a3=12,a4=18,则a6等于()A.27B.36C.D.543.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是数列{an}的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54CD\n4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于.5.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).8由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.48由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列{an},且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64×210=216,得n=16,即病毒共复制了16次.故所需时间为16×3=48(分钟).\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1等比数列基本量的运算B\n(2)(2020全国Ⅱ,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则等于()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1B\n32\n解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比,进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.\n对点训练1(1)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为()A.3B.5C.9D.25D(2)已知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33C设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.\n(3)已知等比数列{an}中的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=.30由题意得,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.设等比数列{an}的公比为q(q>0),则2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,\n能力形成点2等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.(1)解因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.综上,a2=4,a3=8.\n(2)证明因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·Sn-1+2(n-1).②由①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.可得-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,则Sn+2=2(Sn-1+2).因为S1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,所以故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.(3)解由(2)可知,Sn+2=4×2n-1=2n+1.所以Sn=2n+1-2.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n.由(1)知,a1=2,故当n=1时,上式也成立.综上,an=2n.\n\n对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.解(1)根据题意可知当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.\n(2)假设存在常数λ,使得{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.下面证明{an+3}为等比数列:∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,∴2(an+3)=an+1+3,∵a1+3=6≠0,∴an+3≠0,∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1).\n能力形成点3等比数列性质的应用命题角度1等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为()B\n(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.14\n命题角度2等比数列前n项和性质的应用例4在等比数列{an}中,其前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为.63\n\n解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.\n\n(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=.31\n\n(4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=.30由题意知公比大于0,由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又S3n=14,所以S4n=14+2×23=30.\n能力形成点4等差数列与等比数列的综合问题\n\n解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.\n对点训练4已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.综上,数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.\n(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.\n能力形成点5等差数列、等比数列在实际问题中的应用例6为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用几年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车300辆,计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型公交车每年比上一年多投入m辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用8年的时间完成全部更换,求m的最小值.(参考数据:1.58≈25.6)\n\n解题心得解答数列应用题需过好“四关”\n对点训练5纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准,规定以A0,A1,A2,B1,B2,…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列,其中An(n∈N,n≤8)系列的幅面规格为①A0,A1,A2,…,A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为;②将A0纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A1规格,A1纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A2规格,……如此对开至A8规格.现有A0,A1,A2,…,A8纸各一张.若A4纸的幅宽为2dm,则A1纸的长度为dm;A1,A2,…,A8八张纸的面积之和等于dm2.8\n\n第三环节 学科素养提升\n以数阵为背景的数列问题所谓数阵,是指将某些数按照一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵中数的排列比较常见的是等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列,解决此类问题的关键是根据数的排列找出其中的规律.\n(1)直角三角形数阵排列形状为直角三角形的数阵称为直角三角形数阵.典例1下面为一个“直角三角形数阵”.满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a(i,j)(i,j∈N*),则a(20,20)=.\n\n(2)等腰三角形数阵排列形状为等腰三角形的数阵称为等腰三角形数阵.典例2将全体正整数排成一个三角形数阵,如下图所示.按照以上排列的规律,第n行从左向右的第3个数为.\n(3)矩形数阵排列形状为矩形的数阵称为矩形数阵.典例3在下面的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么x+y的值为.\n解析:由题意,设第一行构成等差数列{an},且公差为d,可得a1=6,a3=8,则a3=a1+2d,即6+2d=8,解得d=1,则a4=a1+3d=9;设第二行构成等差数列{bn},且公差为d1,可得b1=3,b3=4,\n解题心得解决数阵中数列问题的解题策略:(1)抓住问题中所给各行与各列所构成数列的特征,根据所给出的特殊项推出各行、各列的前几项,进而求出通项公式,从而顺利地解决相关问题.(2)以数阵的每一行的第一个数或最后一个数构成的新数列为研究对象,发现数列的规律特征,应用数列知识求出新数列的通项公式,进而可以求出数阵每一行的第一个数或最后一个数,最后根据数阵每行的特征规律求解未知量.(3)以数阵的每一行中的数依次排列构成新数列,求解新数列的每行项数,进而通过项数求解出数列的每一项.
