第六章数列\n第三讲 等比数列及其前n项和\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 等比数列的概念(1)等比数列的定义如果一个数列_________________________________________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母___表示．符号语言：_______(n∈N*，q为非零常数)．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比q\n(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝____.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．Gab\na1qn－1amqn－mna1\n\n\n\n\n错位相减法\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()×××\n××\nD\n3．(选修2P34T1改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.[解析]设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.12,48\n1\n题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32D\n\n\n\nD\n\n考点突破·互动探究\n例1C考点一等比数列的基本运算——自主练透\n5B\n\n\n\n\n\n\n等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．MINGSHIDIANBO\n例2考点二等比数列的判定与证明——师生共研\n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n\n〔变式训练1〕(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．\n\n\n例3B考点三等比数列性质的应用——多维探究50\n\n[引申]在本例(1)中若将a3，a15改为a2，a16，其它不变，该题应选()D\n(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．MINGSHIDIANBO\n角度2等比数列前n项和的性质(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝___.(2)(2022·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，则S12＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－502例4A\n\n\n\n\n[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[解析]由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．\nMINGSHIDIANBO\n±22B\nC\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例5\n[分析](1)用等差、等比数列基本公式求解．(2)分组求和即可．\n\n[引申](1)本例中数列{Cn}的前n项和Tn＝____________________________.(2)本例中若Cn＝an·bn，则{Cn}的前n项和Tn＝____________________.(n－1)·2n＋1＋2\n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n\n\n
