6.3等比数列及其前n项和\n-2-知识梳理双基自测211.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学2同一个常数公比q(q≠0)\n-3-知识梳理双基自测21(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒.(3)等比数列的通项公式an=;可推广为an=.(4)等比数列的前n项和公式G2=aba1qn-1amqn-m\n-4-知识梳理双基自测212.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则am·anqm\n-5-知识梳理双基自测21④当q<0时,{an}为摆动数列.(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.递增递减常qn\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(5)若数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.()(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为××√×××\n-7-知识梳理双基自测234152.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234154.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234155.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于.答案解析解析关闭由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.答案解析关闭8\n-11-考点1考点2考点3考点4(2)(2017全国Ⅲ,理14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?-832例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()B\n-12-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意可知公比q≠1.\n-13-考点1考点2考点3考点4\n-14-考点1考点2考点3考点4解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.\n-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33(2)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0CB\n-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.\n-17-考点1考点2考点3考点4例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?\n-18-考点1考点2考点3考点4\n-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明\n-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2设a1=2,a2=4,数列{bn}满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4.∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.\n-21-考点1考点2考点3考点4(2)解：由(1)可得bn+2=4·2n-1,即bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,……an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).\n-22-考点1考点2考点3考点4考向一等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?14B\n-23-考点1考点2考点3考点4\n-24-考点1考点2考点3考点4考向二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭(方法一)∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(方法二)设等比数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)×3=15,解得q2=4.故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)=(1+4+42)×3=63.答案解析关闭C\n-25-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.\n-26-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a5·a6=4,则数列{log2an}的前10项和为()A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列{an}的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若,则公比q=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-27-考点1考点2考点3考点4例5已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)}的前2n项和.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?\n-28-考点1考点2考点3考点4\n-29-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.\n-30-考点1考点2考点3考点4对点训练4已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.\n-31-考点1考点2考点3考点4(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.\n-32-审题答题指导——如何理解条件和转化条件典例在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列{an}是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列{an}的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9m<an<92m的n的范围.\n-33-解：(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,∴an=1+(n-1)×9=9n-8,即an=9n-8.\n-34-反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列{bm}的通项公式是解答该问题的核心与关键.
