【高考领航】2022高考数学总复习5-3等比数列及其前n项和练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化简得，2q2－5q＋2＝0，即(2q－1)(q－2)＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.答案：22．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.解析：设数列{an}的公比为q，则解得所以S5＝＝＝31.答案：313．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为________．解析：∵a1＝1,9S3＝S6，∴q≠1.则9·＝，得q3＝1(舍)，q3＝8，∴q＝2，∴＝，5\n∴数列前5项和为＝.答案：4．(2022·课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析：由S3＋3S2＝0得4a1＋4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2.答案：－25．(2022·江苏省启东中学高三第二次模拟考试)等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则＝________.解析：∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q(8＋q3)＝0∴q＝－2∴＝＝1＋q3＝－7.答案：－76．(2022·高考北京卷)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.答案：2 2n－1－7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵S99＝30，即a1(299－1)＝30.a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝a1(299－1)＝×30＝.答案：5\n二、解答题8．(2022·高考重庆卷)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn；若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意知解得a1＝2，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．因a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.9．(2022·高考江西卷)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.【B组】一、填空题1．(2022·高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝________.解析：∵a3a11＝16，∴a7＝4，又公比为2，∴a5＝1.答案：15\n2．(2022·高考广东卷)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析：由等比数列性质可得a＝a2a4＝a1a5，所以a1aa5＝(a2a4)2＝.答案：3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.解析：设等比数列的首项为a1，公比为q.由已知得q＝1不成立，因此q≠1，又因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0，∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.答案：－114．(2022·高考重庆卷)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝________.解析：S4＝＝15.答案：155．(2022·高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.解析：利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.答案：116．(2022·江苏南通二模)在等比数列{an}中，an>0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析：由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2＝2(当且仅当a4＝a5＝时取等号)．所以a4＋a5的最小值为2.答案：27．(2022·广东深圳二模)已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.解析：∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又∵a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，∴q6＝＝2，∴q3＝，∴＝q3＝.5\n答案：二、解答题8．(2022·北京西城二模)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差是d.依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，所以bn＝3n－2＋cn－1.所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．从而当c＝1时，Sn＝＋n＝.当c≠1时，Sn＝＋.9．(2022·南京八校联考)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an>恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．解：(1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得＝1，＝17.相除得＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．由q＝2可得a1＝，所以an＝.(2)由an＝>，得2n－1>2011，而210<2011<211，所以n－1≥11，即n≥12.因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an>恒成立．5
