6.2平面向量基本定理及向量的坐标表示第六章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.备考指导本节的重点有三个:(1)平面向量基本定理的应用;(2)平面向量的坐标运算;(3)平面向量共线的坐标表示.复习时要牢记相关公式,能熟练进行向量的坐标运算,尤其是两向量平行的坐标表示是考查热点.题目难度不大,复习时不用研究太深.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示.温馨提示两个向量能否作为平面内所有向量的一个基底,关键是看这两个向量是否共线,与其长度没有关系.只要两个向量不共线,即可作为平面内所有向量的一个基底.\n2.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做平面向量的正交分解.3.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.(2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量a的坐标表示.(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).\n4.平面向量线性运算的坐标表示若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:\n5.平面向量共线的坐标表示(1)向量a与b(b≠0)共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使a=λb.(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.温馨提示两向量共线的充要条件可用口诀“交叉相乘,其差为0”来记忆.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量经过平移变换之后其坐标不变.()(3)在△ABC中,向量的夹角为∠ABC.()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.()×√×√×\nA.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)A3.已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A当m=1时,a=b,可以推出a∥b;当a∥b时,m2=1,解得m=±1,不能推出m=1.所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.\n4.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则以a,b为基底表示c等于()A.a-3bB.-a+3bC.3a-bD.-3a+b5.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=.A设c=λa+μb,由题意可得(-2,4)=(λ,λ)+(μ,-μ)=(λ+μ,λ-μ),则λ+μ=-2,λ-μ=4,解得λ=1,μ=-3,故c=a-3b.-1由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1平面向量基本定理的应用C\n2\n(3)设e1,e2是平面内所有向量的一个基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一个基底a,b的线性组合,即e1+e2=.由题意,设e1+e2=ma+nb(m,n∈R).因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.\n解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一个基底表示出来,最后运用向量的性质解决问题.\n\n3\n能力形成点2平面向量的坐标运算例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)D\n(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)A\n解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.\nB\n4\n能力形成点3平面向量共线的坐标表示例3(1)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量与向量a=(λ,1)共线,则λ=.\n(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C的大小为.60°由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理,得b2+a2-c2=ab.∵0°<C<180°,∴C=60°.\n解题心得1.向量共线的两种表示形式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a∥b⇒a=λb(b≠0);(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标的应用(2).2.两个向量共线的充要条件的作用:判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.\nA\n(2)已知向量a=(2,λ),b=(λ,2),则“λ=2”是“a∥(a-2b)”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件A∵a-2b=(2-2λ,λ-4),a∥(a-2b),∴2λ-8-λ(2-2λ)=0,∴2λ2=8,∴λ=±2.因此“λ=2”是“a∥(a-2b)”的充分不必要条件.\n第三环节 学科素养提升\n线段定比分点的坐标公式\n\n\n典例已知三点A(0,8),B(-4,0),C(5,-3),点D在AB上,且,点E在BC边上,且使△BDE的面积是△ABC面积的一半,求DE中点的坐标.分析:要求DE中点的坐标,只要求得点D,E的坐标即可,又因为点E在BC上,△BDE与△ABC有公共顶点B,所以它们的面积表达式选定一公共角可建立比例关系求解.\n\n
