平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.\n一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝，∴a－b＝＝(－1,2)，故选D．]2．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )A．(2,2)B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)D．(2,2)或(3,1)D [由题意可知＝(3，－3)．若＝，则P点坐标为(2,2)；若＝，则P点坐标为(3,1)，故选D．]3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝.－ [由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.]\n4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为．(1,5) [设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]考点一 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[典例1] 如图，已知在△OCB中点，点A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b.\n所以(2－λ)a－b＝x.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助∥及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设＝x＋(1－x)，利用＝＋及同基底下向量表示的唯一性求得λ.1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1D [选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D．]2．(2020·三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( )A．①②B．①③C．②③D．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，\nu＋v＞1.∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B．]考点二 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )A．1B．2C．3D．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，①求3a＋b－3c；②求M，N的坐标及向量的坐标．(1)D [以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴解得λ＝－2，μ＝－.\n∴＝4.](2)[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．1．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为( )A．(6,1)B．(－6，－1)C．(0，－3)D．(0,3)A [＝(－3，－2)＝，∴＝＋＝－＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A．]2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝. [法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，\n设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)，∵＝λ＋μ＝，∴解得∴λ＋μ＝.法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，∴解得∴λ＋μ＝.]考点三 向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.\n(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.点评：熟记两向量a，b共线的条件是求解此类问题的关键所在． 利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为．(3,3) [法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC与OB的交点为P”，实际上变相告知“A，P，C三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．1．已知向量a＝(1,3)，b＝，若c为单位向量，且c∥(a－2b)，则c＝( )A．或B．或\nC．或D．或B [由题意可知a－2b＝(－3,4)，又c∥(a－2b)，∴c＝λ(－3，4)，即c＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±，即c＝或，故选B．]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为．(－3，－6) [设B(x,2x)，则＝(x－3,2x)．∵∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3.∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用平面向量的等和线由平面向量基本定理，＝λ＋μ，当点P不在直线AB上时，可以过点P作直线AB的平行线，且与OA，OB所在的直线分别交于M，N两点，则由三点P，M，N共线，不难得出：＝x＋y，且x＋y＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：＝k，＝k，则＝x＋y＝kx＋ky，即λ＝kx，μ＝ky，故λ＋μ＝k(x＋y)＝k.把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过点O时，k＝0；\n(5)若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数. (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )A．3B．2C．D．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3，故选A．][评析] 应用等和线解题的步骤(1)求k＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．1.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是．[3,4] [当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3,4]．\n]2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是．[1,3] [＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是( )A．(1,2] B．[5,6]C．[2,5]D．[3,5]C [随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)．\n设＝m＋n，由等和线结论，m＋n＝＝＝2.此为m＋n的最小值．设＝m＋n，由等和线结论，m＋n＝＝5.此为m＋n的最大值．综上可知，m＋n∈[2,5]．]
