第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．(2022·北京一模)已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )A．(2，4) B．(3，7)C．(1，1)D．(－1，－1)解析：选D.如图，＝－＝(－1，－1)，所以＝＝(－1，－1)，故选D.2．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为( )A．4B．8C．0D．2解析：选A.a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，所以⇒x＝4(x>0)．3．(2022·日照一模)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B.如图，因为△DEF∽△BEA，所以DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，所以FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，所以＝b，因为＝＋＝＝a，所以＝＋＝a＋b.故选B.4．(2022·南昌十校联考)已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为( )A．(0，4)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，－2)解析：选B.因为a＝(，1)，所以－2a＝(－2，－2)，易知向量－2a与x5\n轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，所以b＝(2，－2)，故选B.5．如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )A．①②B．②④C．①③D．③⑤解析：选B.在ON上取点C使＝2，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于＝，所以＋的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B.6．(2022·洛阳统考)如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是( )A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ)·.又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．7．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________． 解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．答案：(4，7)8．已知A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，＝＋t(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________． 5\n解析：设点P(x，y)，则由＝＋t(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得所以－5＜t＜－3.答案：(－5，－3)9．(2022·合肥质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cosC，b－c)，向量b＝(cosA，a)且a∥b，则tanA＝________．解析：a∥b⇒(b－c)cosA－acosC＝0，即bcosA＝ccosA＋acosC，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝，所以sinA＝，tanA＝＝.答案：10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；＝＋＝a＋b，故②正确；＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．所以正确命题为②③④.答案：311．(2022·宿州模拟)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以，解得m＝.法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，5\n＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．因为A、B、C三点共线，所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2．(2022·太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．因为＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．3.如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫作向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．(1)求||；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，5\n所以||＝＝.(2)设||＝x，||＝y.＝m＋n(m＋n＝1)，则＝m＋n＝mxe1＋nye2.得⇒＋＝1.S△AOB＝||||sin60°＝xysin60°＝xy.因为＋＝1≥，所以≥2，S△AOB＝xy≥，当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.5
